近世代數(shù)基礎(chǔ)課后答案

第一章基本概念

§1.集合

1.Bu4,但8不是4的真子集，這個(gè)情況什么時(shí)候才

能出現(xiàn)？

解由題設(shè)以及真子集的定義得，4的每一個(gè)元都屬

于8,因此4u8.于是由

J3dAAczB

得4=5.所以上述情況在力=B時(shí)才能出現(xiàn).

2.假定ZuB,*八8=?XU6=?

解（i）由于4u8,所以/的每一個(gè)元都屬于8,

即”的每一個(gè)元都是4和8的共同元，因而由交集的定義得

Ac.A[\B

但顯然有

4f]3uN

所以

A[\R=A

（五）由并集的定義，NUB的每一元素都屬于“和

B之一3但/U&所以/U3的每一元素都屬于3

ZUBuB

另一方面BuNUS,所以NUB=B.

§2.映射

1.A={1,2,…，100}.找一個(gè)/x/到月的映

射.

解用(a,6)表示Nx4的任意元素，這里a和b都

屬于按照定義做一個(gè)滿(mǎn)足要求的映射即可，例如

<Pt(a,b~)--->a

就是這樣的一個(gè)，因?yàn)橹凶桑/的任何元素(a,仍規(guī)定

了一個(gè)唯一的象a,而。e/.

讀者應(yīng)該自己再找?guī)讉€(gè)/x/到/的映射..

2.在你為習(xí)題1所找到的映射之下，是不是月的每一

個(gè)元都是AxA的一個(gè)元的象？

廖在上面給出的映射⑦之下，.4的每一個(gè)元素都是

/x/的一個(gè)元的象，因?yàn)?a,b)中的a可以是力的任一

元素.

你自己找到的映射的情況如何？有沒(méi)有出現(xiàn)4的元素不

都是象的情況？假如沒(méi)有，找一個(gè)這樣的映射.

§3.代數(shù)運(yùn)算

1.-4={所有不等于零的偶數(shù)》.找一個(gè)集合。，使得

普逋除法是4x/到0的代數(shù)運(yùn)算.是不是找得到一個(gè)以上

的這樣的D?

解一個(gè)不等于零的偶數(shù)除一個(gè)不等于零的偶數(shù)所得結(jié)

果總是一個(gè)不等于零的有理數(shù).

所以敢

D={所有不等于零的有理數(shù)}

普通除去就是一個(gè)Nx5到。的代數(shù)運(yùn)算.

可以找得到一個(gè)以上的滿(mǎn)足要求的簿.讀者可以自己找

幾個(gè).

2.A={a,b,c}.規(guī)定力的兩個(gè)不同的代數(shù)運(yùn)算.

解(i)我們用運(yùn)算表來(lái)給出力的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算：。

abc

aaaa

baaa

caaa

按照這個(gè)表，通過(guò)。，對(duì)于力的任何兩個(gè)元素都可以得出一

個(gè)唯一確定的結(jié)果。來(lái)，而a仍屬于2.所以。是Z的一個(gè)

代數(shù)運(yùn)算.

這個(gè)代數(shù)運(yùn)算也可以用以下方式來(lái)加以描述

o,(r,>)--->a~xoy對(duì)一切x,y^.A

(ii)同理

o；(X,V)--->x=roy對(duì)一切x,

也是Z的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.讀者可用列表的方法來(lái)給出這個(gè)代

數(shù)運(yùn)算.

讀者還應(yīng)自己給出幾個(gè)力的代數(shù)運(yùn)算.

§4.結(jié)合律

1.N=(所有不等于零的實(shí)數(shù)》.。是普通除法:

3

aob=~r

b

這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合結(jié)合律？

解這個(gè)代數(shù)運(yùn)算。不適合結(jié)合律.例如,

當(dāng)

。=4b=c=2

時(shí)

42

(aob)oc=(4o2)o2=5。2=9=1

4

ao(6oc)=4o(2o2)=4。

HI14

所以當(dāng)。，6和c取上述值時(shí)

(aob〉cc蘆ac>(boc)

2./={所有實(shí)數(shù)}.代數(shù)運(yùn)算

ot(a,6)--->a+2b=aob

適合不適合結(jié)合律？

解讀者可以用解上一題的方法來(lái)證明，所給代數(shù)運(yùn)算

不適合結(jié)合律.

3.A~{atb,c}.由表

|ahc

-I-i

aabc

bbca

ccQb

給出的代數(shù)運(yùn)算適合不適合給合律？

解所給代數(shù)運(yùn)算。適合結(jié)合律.為了得出這個(gè)結(jié)論，

需要對(duì)元素a,b,c的27(=3與種排列(元素允許重復(fù)

出現(xiàn))加以驗(yàn)證.但是利用元素。的特性，可以把驗(yàn)證簡(jiǎn)

化.仔細(xì)考察運(yùn)算表，我們發(fā)現(xiàn)以下規(guī)律,對(duì)集合/的任意

元素％來(lái)說(shuō)，都有

aox=xoa=x

由此得出，對(duì)于有。出現(xiàn)的排列，結(jié)合律都成立.這一點(diǎn)讀

者可以自己驗(yàn)證.還剩下。不出現(xiàn)的排列.這樣的排列共有

8(=29種.我們?cè)谶@里驗(yàn)證4種，其余4種讀者可以自

己驗(yàn)證.

(bob)ob=cob=a

bo(bob)=boc=a

所以(bob)06=60(bob)

(bob)oc=coc=b

60(boc)=60a=b

所以(bob)cc=bo(boc)

(boc)06=aoh=b

bo(cob)=boa=b

所以(boc)ofe=bo(cob)

(60c)oc=aoc=c

bo(coc)-bob=c

所以(boc)oc=bo(coc)

§5.交換律

1?/=｛所有實(shí)數(shù)｝.。是普通減法一

5

aob=a-b

這個(gè)代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律？

解容易驗(yàn)證，當(dāng)。=1,6=2時(shí)

aob￥=boa

所以這個(gè)代數(shù)運(yùn)算不適合交換律.

2.A—{a,b,ctd}.由表

ddcab

所給的代數(shù)運(yùn)算適合不適合交換律？

解要回答這個(gè)問(wèn)題，只須考察一下運(yùn)算表，看一看關(guān)

于主對(duì)角線對(duì)稱(chēng)的位置上，有沒(méi)有不相同的元素.

§6.分配律

假定O,⑹是/的兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，并且十適合結(jié)合律,

O,①適合兩個(gè)分配律.證明

503十⑸06力十⑶03十(a52)

=(a1G6i)@(a20&1)@(a1G52)<+)(a20b2)

解(aD十⑸03十⑸Obi)十503

=0￡0(61?&2)+a20(fet(±)62)

=(a]十a(chǎn)?)o(b⑥62)

=(ai十a(chǎn)。。/①⑶十右)?力

-(aiQ&i).@(a2O6i)(±)(fliO62)?(a206i)、

6

§7.一一映射、變換

1.,=｛所有，。的實(shí)數(shù)｝.A=｛所有實(shí)數(shù)｝.我

11一個(gè)N與N間的——映射；

解x>lp;x對(duì)一切了七，

是一個(gè)力與力間的——映射.

首先，給了任一即任一大于0的實(shí)數(shù)無(wú)，卜工是

一個(gè)實(shí)數(shù)，BPlgrCAt并且1g上是唯一確定的，所以⑦是一

個(gè)工到N的映射..

其次，對(duì)于任一xeN,即任一實(shí)數(shù)y,10，=%是1

個(gè)大于。的實(shí)數(shù)，,而在少之下，

x—>lgx=jgioy=y

所以6是一個(gè)4到N的滿(mǎn)射.

最后，若懸為，工zC/,并且叫芋4,那么1日m小幅工2,

所以◎是一個(gè)/到）的單射.

這樣，中是一個(gè)〃與N間的—映射「

2./三｛所有二0的實(shí)數(shù)｝

N=｛所有實(shí)數(shù)G,o<^r<i｝

找一個(gè)/到N的滿(mǎn)射.

解中，X->X若。名工<1

1.

&->三若火之11

是一個(gè)/到N的滿(mǎn)射.

首先，⑦替每一工e/規(guī)定了一個(gè)唯一確定的象中（》），

7

而0式6(％)三1,所以⑦是一個(gè)d到N■的映射.其次，在@

之下，下的每一元后都是z中一個(gè)元，即下■本身的象，所以

。是一個(gè)z到二的滿(mǎn)射.

讀者可以證明，

(p1tx>|sinx|xA

<p2lx--->00<x<1

X-X>1

都是2到)的滿(mǎn)射.

3.假定中是/與N間的一個(gè)----映射，a是N的一個(gè)

元.

⑦T￡G(Q)[=?(?)1=?

若6是力的一個(gè)——變換，這兩個(gè)問(wèn)題的回答又該是什

么？

解當(dāng)⑦是/與N間的一個(gè)——映射時(shí)，

0T[0(。〉]=。①[QT(a)1未必有意義.

若中是/的一個(gè)一一變換，那么

⑦T[⑦(Q)[=a⑦[0T(Q)=a

讀者可以做一做以下補(bǔ)充習(xí)題.

(i)A=｛所有>0的整數(shù)｝

7=｛所有>o的整數(shù)｝

證明

0,x—>JC+1對(duì)一切yCN

是X與4間的一個(gè)---映射.

(ii)/=｛所有-0的實(shí)數(shù)｝

8

A=｛所有三0的實(shí)數(shù)｝

利用(i)題找一個(gè)工與工間的一-映射?：

§8.同態(tài)

1./=｛所有實(shí)數(shù)3].力四代數(shù)運(yùn)算是普通乘法.

以下映射是不是工到力的一個(gè)子集N的同態(tài)滿(mǎn)射？

a)x|x|b)x-*2xc)x-?x2

d)式一*一工

M。)取下=｛所有？。的實(shí)數(shù)｝，則NuZ,

而

曲：X-]XI(x)XQA

是4到N的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.因?yàn)椋簩?duì)任一實(shí)擎明是一

個(gè)唯一確定的工。的實(shí)數(shù)，所以少?是/到二的一個(gè)映射,

若是五e(cuò)A,那么元GN,

而

◎N無(wú))=I元I=歷

所以01是上到萬(wàn)的一個(gè)滿(mǎn)射,對(duì)任意”,yQA,

%(xy)=\xyI=|JC[|y[=(pl(x)<p1(y)

所以中i是J到N的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

6)當(dāng)》取遍一切實(shí)數(shù)值時(shí)，2x也取遍一切實(shí)數(shù)值.

讀者容易證明

d：x—2工=也(x)

是4到J的一個(gè)滿(mǎn)射，但中2不是“到力的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

因?yàn)椋喝×Φ臄?shù)2和3,那么

也(2)=4%(3)=6

9

①2(2?3)=嘰(6)=12竽鞏(2)鞏(3)

c)取N=｛所有20的實(shí)數(shù)｝,那么Nu/.讀者可

以自己證明

2

<J>3tx->x=<J>3(x)XEA

是工到N的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

d)當(dāng)x取遍一切實(shí)數(shù)值時(shí)，-%也取遍一切實(shí)數(shù)

值.容易證明

/：X-x=(Pi(x)XW/

是Z到/的一個(gè)滿(mǎn)射，但不是一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

2.假定力和N對(duì)于代數(shù)運(yùn)算。和6來(lái)說(shuō)螞態(tài)，而7和

二對(duì)于住數(shù)運(yùn)算己和5來(lái)說(shuō)同態(tài).證明，n和萬(wàn)對(duì)于代數(shù)運(yùn)

算。和W說(shuō)同態(tài).

解由題設(shè)存在4到N的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射

⑦I：。-?1=中1(。)a￡A,~aE~A

并且對(duì)于4的任意兩個(gè)元素。和6來(lái)說(shuō)

①i(aob)=ao6=<jpj(a)o見(jiàn)(b)

同樣存在N壬項(xiàng)的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射

見(jiàn)：a—a=<J>2(a)aEA,A

并口對(duì)于力的注怠兩個(gè)元素￡和8來(lái)說(shuō)

◎z(ao&-aab=(P2(a)o<J>2(6)

如下定義

①:a-*①i(a)3aW/

那么⑦是力到重的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.因?yàn)椋?/p>

(i)_由于。?和6z是同態(tài)滿(mǎn)射，所以對(duì)于任何aQN,

中】(a)是/的一個(gè)唯一確定的元素，$/021中」(。)口是毒的

一個(gè)唯一確定的元素，因而?是4到二的一個(gè)映射.

10

(ii)由于同一叫，對(duì)于任何下存在一個(gè)元

素石6)，使中2(G)=G,并且存在一個(gè)元素aej,使

3i(a)=Z,因此在⑦之下，

a一⑦z[⑦i(Q)1=⑦2(。)=。

而⑦是A到力的一個(gè)滿(mǎn)射.

(iii)由于同一原因，對(duì)于/的任何兩個(gè)元素a和6

--⑦(aob>=⑦z￡⑦1(。。6)2=中2「力1〈。)。⑦1(6)3

=。2皿(。)加2血⑹1

=<X>(a)o0(6)

而G是4到二的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

§9.同構(gòu)、自同構(gòu)

1./={。，6,c}.代數(shù)運(yùn)算。由下表給定：

Qbc

bccc

找出所有/的一一變換，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)，這些一一變

換是否都是力的自同構(gòu)？

解工共有6（=3【）個(gè)——變換9即

GT。btbC—C

021QTa6一gc—b

<f>3?a-b，bfcc一。

11

⑦《?a-*6b—*ac—*c

6$?a-?cb—*bc—*a

中e：a—?cbfac-?6

對(duì)于代數(shù)運(yùn)算。來(lái)說(shuō)，中；和⑦，是4的自同構(gòu)，其余4

個(gè)都不是,這是因?yàn)?，若氏是一個(gè)Z的自同構(gòu)，那么對(duì)力的

任何元素x和》，將有

(1)<t>i(.xoy)=(c)=<?>；(x)o^>i(y)=c

因而

(2)<i>i(c)-c

反過(guò)來(lái)，若(2)成立，那么(1)也成立.

2.A=(所有有理數(shù)｝.找一個(gè)N的對(duì)于普通加法來(lái)

說(shuō)的官同構(gòu).(映射3-X除外).

解設(shè)氏是任一有理數(shù)，且人多0,k于1.

那么

①?x—kxxEA

是J的一個(gè)對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的自同構(gòu)，并且⑦顯然不是映射

XfX.力是/的--1■?一變換，讀者可以自己證明。令X

和，是力的任意兩個(gè)元素，那么

中：x+y(r+y)=k(x+y)~kx+ky-<P(.x)+(')

所以?是,4的一個(gè)自同構(gòu).

讀者可以試證，工只有以下對(duì)于加法來(lái)說(shuō)的自同構(gòu)

x―頻工€/,R是長(zhǎng)0的有理數(shù)

3.Z=｛所有有理數(shù)｝二人的代數(shù)運(yùn)算是普通加法.

7=｛所有若0的有理數(shù)｝，N的H數(shù)運(yùn)算是普通乘法.證

明，對(duì)于給的代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)，*與N間沒(méi)有同掏映射存在.

(先決定o在一個(gè)同構(gòu)映射下的象.)

12

解設(shè)⑦是么與N間對(duì)于所給代數(shù)運(yùn)算的一個(gè)同構(gòu)映

射，而0(0)=工那么由于①是同構(gòu)映射，有

⑦(0)=9(0+0)=<P(0)<P(0)-a

但同構(gòu)映射是單射，所以得高二至二于是有

a—a-a{a—1=0

但焉WN,所以瓦豐0,因而a—1=0,即。=1?

這樣

0(0)=1(1)

由于⑦是滿(mǎn)射，下的元-1必是力的某一元a的象，

cP(a)=-1

由是得

0(2a)=<t>(a+a)~<t>{a)<3>(a)=(-1)2=1

于是由功是單射，得2a=0,即a=0,而中(。)=-1,

與(1>矛盾.這說(shuō)明，在Z與7間對(duì)所給代數(shù)運(yùn)算來(lái)說(shuō)不

存在同構(gòu)對(duì)應(yīng).

讀者可以用以下方法得出本題的另一證明,

設(shè)<f>(a)=2.考慮⑦(卷+卷)

§10.等價(jià)關(guān)系與集合的分類(lèi)

1.4={所有實(shí)數(shù)}./的元間的關(guān)系〉以及N是不

是等價(jià)關(guān)系？

解>不是等價(jià)關(guān)系.這個(gè)關(guān)系不滿(mǎn)足反射律：

不成立.

13

W也不是等價(jià)關(guān)系，它不滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)律，例如，3>2,

但2~3不成立.

2.有人說(shuō)；假如一個(gè)關(guān)系R適合對(duì)稱(chēng)律和推移律，那

么它也適合反射律.他的推論方法是:因?yàn)??適合對(duì)稱(chēng)律

&RbbRa

因?yàn)锳適合推移律

oRb,bRa=>aRa

這個(gè)推論方法有什么錯(cuò)誤？

解這個(gè)推論方法的錯(cuò)誤在于，對(duì)于“等價(jià)關(guān)系”定義

的陳述沒(méi)有準(zhǔn)確地理解.

aRb=>blia

的意思是：由。笈6可得6Ra,假如對(duì)于某一元素。，找

不到任何元素6,使得aH6成立，那么就得不出6Ka,

因而也就得不出a.例如；令人是整數(shù)集，如下定義工

的元間的關(guān)系??：

。Rb當(dāng)且僅.當(dāng)。6>0.

R顯然滿(mǎn)足對(duì)稱(chēng)律和推移律，但夫不滿(mǎn)足反射律，因?yàn)?/p>

07?0

不成立.

3.仿照例3規(guī)定整數(shù)間的關(guān)系

。三6〈一5)

證明你所規(guī)定的是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且找出模-5的剩余

類(lèi)。

解可以完全仿照例3來(lái)做.

H

第二章群論

§1.群的定義

1.全體整數(shù)的集合對(duì)于普通減法來(lái)說(shuō)是不是一個(gè)群？

解不是，因?yàn)槠胀p法不適合結(jié)合律.

例如

3-（2-1）=3-1=2（3-2）-1=1-1=0

3-（2-1）?。?-2）-1

2.舉一個(gè)有兩個(gè)元的群的例.

解令3={e,a},G的乘法由下表給出

首先，容易驗(yàn)證，這個(gè)代數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律

（1）（Xy）z=x（yz）X,y,zQG

因?yàn)椋捎赾a=ae=a,若是元素e在（1）中出現(xiàn)，

那么（1）成立.（參考第一章，§4,習(xí)題3.）若是e不

在（1）中出現(xiàn)，那么有

（aa）a=ea=aa（aa）=ae=a

而（1）仍成立.-

15

其次，G有左單位元，.就是e，e有左逆元，就是e,

。有左逆元，就是。.所以,G是一個(gè)群.

讀者可以考慮一下，以上應(yīng)算表是如何作出的.

3.證明，我們也可以用條件I,II以及下面的條件

N',V’來(lái)做群的定義：

N'G里至少存在一個(gè)右逆元Li能讓

o(?-a

對(duì)于G的任何元Q都成立；

V'對(duì)于G的每一個(gè)元。，在G里至少存在一個(gè)右逆

元a-1能讓

aa*1=e

解這個(gè)題的證法完全平行于本節(jié)中關(guān)于可以用條件

I,I,W,V來(lái)做群定義的證明，但讀者一定要自己寫(xiě)一

下.

§2.單位元、逆元、消去律

1.若群G的每一個(gè)元都適合方程/=e，那么G是交

換群.

解令。和6是G的任意兩個(gè)元.由題設(shè)

{ab)(ab)=(a6)2=e

另一方面

(06)(6a)=ab2a=aea=a2-e

于是有(Q6)(ab)=(ab)(ba).利用消去律,得

ab=ba

所以G是交換群.

16

2.茬一個(gè)著福國(guó)函譽(yù),滿(mǎn)元的個(gè)數(shù)一定是偶

數(shù).

解令G是一個(gè)有限群丁至G有元。而。的階">2?

考察我們有

a"(0T)"=ee(a-1)"=(a-1)fl=e

設(shè)正整數(shù)m<n而(a7)”=e,那么同上可得。*"=e,與"是

。的階的假設(shè)矛盾.這樣，”也是。―的階，易見(jiàn)a-1#%

否則

o2=aa~1=e

與">2的假設(shè)矛盾.這樣，我們就有一對(duì)不同的階大于2

的元a和a-1

設(shè)G還有元b,b*a,b卡b',并且b的階大于2.

那么6T的階也大于2,并且67次6.我們也有b-i乎a.

否則

e=b~1b-aa~1=6-1a-1

消去6T得6=07,與假設(shè)矛盾.同樣可證6-1ra-二這

樣，除。和a-外，又有一對(duì)不同的階大于2的元6和6-，

由于G是有限群，而G的階大于2的元總是成對(duì)出現(xiàn)，

所以G里這種元的個(gè)數(shù)一定是偶數(shù).

3.假定G是一個(gè)階是偶數(shù)的有限群.在G里階等于2

的元的個(gè)數(shù)一定是奇數(shù).

解由習(xí)題2知，G里階大于2的元的個(gè)數(shù)是偶數(shù),但

G只有一個(gè)階是1的元，就是單位元e.于是由于G的階是

偶數(shù)，得G里階等于2的元的個(gè)數(shù)是奇數(shù).

4.一個(gè)有限群的每一個(gè)元的階都有限.

解令G是一個(gè)有限群而a是G的任一元素，那么

17

a,d2,as,歲

不能都不相等.因此存在正整數(shù)；.，//>，，使出=M.用

a-i乘兩邊，得"‘、

(1)出一，=e

這樣，存在正整數(shù)i-八使(1)成立.因此也存在最小的

正整數(shù)力，使a”=e,這就是說(shuō)，元。的階是力.

§4.群的同態(tài)

假定在兩個(gè)群G和4的一個(gè)同態(tài)映射之下，a-a.。與

?的階是不是一定相同？

解不一定.例如，令G是本章§1中例2所給出的群

而1是該節(jié)中例1所給出的群.那么讀者容易證明

(Ptn-S”是G的任意元

是G到百的一個(gè)同態(tài)映射.但G的每一個(gè)元”+。都是無(wú)限

階的，而g的階是1?

§5.變換群

1.假定T是集合/的一個(gè)非一一變換.丁會(huì)不會(huì)有一

個(gè)左逆元使得/?=￡?

解可能有.例如令力=｛所有正整數(shù)｝,則

T.1-1.普一"-1">1

顯然是/的一個(gè)非---變換,而N的變換

T-1；?-??+1n(iA

就能使=

18

拉得開(kāi)房間看見(jiàn)

2.假定/是所有實(shí)數(shù)作成的集合。證明，所有Z的用

以寫(xiě)成

x-^ax+b。和6是有理數(shù)-。于0

形式的變換作成一個(gè)變換群.這個(gè)群是不是一個(gè)交換群？

解令G是由一切上述變換作成的集合.考察G的任何

兩個(gè)元素

Tzx-^ox+ba和6是有理數(shù)，。共0

A■x-*cx4-dc和d是有理數(shù)，c手0

那么

x--*xrf-—(a.r+6)"=c(ar+6)+d

=(co)x+(cb+d)

這里ca和c6+d都是有理數(shù)，并且ca￥=0?

所以也仍屬于G.

絡(luò)合律對(duì)一般變換都成立，所以對(duì)上述變換也成立.

單位變換

￡?X-*X

屬于G.

容易驗(yàn)證，T在G中有逆，即

L，丁-3+(一。)

因此G作成一個(gè)變換群.

但G不是一個(gè)交換群.令

Tj：1-1

T2：X—^2X

那么

TlTZl工一(xT1)r2=(9+1)^2=2/十2

19

TiT,T1

T2T1：x-(x)=(2r)=2x+1

Tg—Ti

3.假定S是一個(gè)集合N的所有變換作成的集合.我們

暫時(shí)仍用符號(hào)

r.a—>a'=r(a)

來(lái)說(shuō)明一個(gè)變換T.證明，我們可以用

TJT2Sa—>口[七(a)1=口丁2(a)

來(lái)規(guī)定一個(gè)S的乘法，這個(gè)乘法也適合結(jié)合律并且對(duì)于這個(gè)

乘法來(lái)說(shuō)，e還是S的單位元.

解令一和Q是S的任意兩個(gè)元而。是N的任意一個(gè)

元.那么。)和一[J"”都是N的唯一確定的元.因

此如上規(guī)定的口門(mén)仍是S的一個(gè)唯一確定的元而我們得到了

一個(gè)S的乘法.

令心也是S的一個(gè)任意元，那么

C(^iT2)r3J(a)=?,72^3(a)3=rt{jEj(。)口}

Oi(“3)1(°)=門(mén)〔七口(。力=Ti{rQs(}

所以“"2〉丁3=T1(LL〉而乘法適合結(jié)合律.

令工是S的任意元.由于對(duì)一切aC/,都有e(a)=a,

所以

e/(Q)=七匚廠(a)[=T(a)

re(a)=t[_e(a)]=r(a)

即￡/=T￡=工而￡仍是S的單位元.

4.證明，一個(gè)變換群的單位元一定是恒等變換.

解設(shè)G是由某一集合上的變換組成的一個(gè)變換群，而

￡是3的單位元.任取G的一個(gè)元T和4的一個(gè)元a.由于

20

=有

aCT=（ae）*=ar

由于r是Z的一個(gè)---變換，所以相=。而￡是2的恒等變

換.

5.證明，實(shí)數(shù)域上一切有逆的"X”矩陣對(duì)于矩陣乘

法來(lái)說(shuō)，作成一個(gè)群.

解這個(gè)題的解法很容易，這里從略.

§6.置換群

1.找出所有S3的不能和（幺力交換的元.

解Ss有6個(gè)元；

23、？123\

uulu327,\213/,

其中的

7123、7I

\1237,\2

顯然可以和（：行）交換.通過(guò)計(jì)算，易見(jiàn)其它三個(gè)元不能和

（"；》交換.

2.把S3的所有元寫(xiě)成不相連的循環(huán)置換的乘積.

解（；港）=（?（；省）=（23）

UlU.=（12bUiU=（13b（；浦）=（123）

（；!Q=（l32）

21

3?證明，

(i)兩個(gè)不相連的循環(huán)置換可以交換,

(ij)(GG--u)-1=(14JA.t????]).

解(i)看S.的兩個(gè)不相連的循環(huán)置換。和T?我們

考察乘積E使數(shù)字1,2,???,a如何變動(dòng).有三種情況.

(?)數(shù)字2.在。中出現(xiàn)，并且。把f變成f?這時(shí)

由于。和T不相連，，不在丁中出現(xiàn)，因而T使，不變，所

以8仍把i變成j.

(b)數(shù)字k在丁中出現(xiàn)，并且T把石變成2.這時(shí)

々不在。中出現(xiàn)，因而“使目不變，所以O(shè)T仍把h變成I.

(C)數(shù)字不在。利T中出現(xiàn).這時(shí)人使用不動(dòng).

如上考察丁。使數(shù)字1,2,…，”如何變動(dòng)，顯然得

到同樣的結(jié)果.因此OT=W.

(ii)由于GG…工)。山_「?&)=(1),所以

-1=(th淳-1…八)

4.證明一個(gè)k-循環(huán)置換的階是k.

解一個(gè)人-循環(huán)置換；I=八…的一次方，二次

方，…，人次方分別把L變成〃，的，…，L.同理”把

變成同，…，把U變成U,因此a=(I).由上面的分析，

若是/<"那么^*(1).這就證明了，”的階是k.

5.證明S”的每一個(gè)元都可以寫(xiě)成

(12),(13),(In)

這n-1個(gè)2-循環(huán)置換中的若干個(gè)的乘積.

解由于每--個(gè)置換都可以寫(xiě)成不相連的循環(huán)置換的乘

積，所以只須證明，一個(gè)箱環(huán)置換可以寫(xiě)成若干個(gè)(1D形

的置換的乘積.設(shè)燈是一個(gè)左一循環(huán)苴換.我們分兩個(gè)情形

22

加以討論.

(a)1在B中出現(xiàn)，這時(shí)k可以寫(xiě)成

(1hii---ik-i)

容易驗(yàn)算

(1i\，2…3T)"(1?1)(1!2)(1)

(6)1不在"中出現(xiàn)，這時(shí)

31-(tjt2?■?ik)=(1…川(1?1)

=(1。)(1均)…(1ik)(1。)

§7.循環(huán)群

1.證明，一個(gè)循環(huán)群一定是交換彈.

解設(shè)循環(huán)群G=(。).那么G的任何兩個(gè)元都可以寫(xiě)

成(T和。"(，〃，”是整數(shù))的形式.但

a”a*=ae+“=a"+，“=a”aF

所以G是一個(gè)交換群.

2.假定群的元。的階延”.證明。’的階是占，這里

d=(r,n)是r和n的最大公因子.

解由于d|r,r=ds,所以

(o')d=(udi)d-(?")s=e

現(xiàn)在證明，2就是a'的階.設(shè)爐的階為上.那么歸

令

M

方=M+ho三八三五一1

23

得

5

e=(ar)^=(ar)=(ar)kg(ar)、=(ar)

但々而R是。'的階，所以乙二0而

n,

胃=柯

于是得女子.(參看本節(jié)定理的第二種情形.)

為了證明歸=],只須反過(guò)來(lái)證明》ft.由a'h=e而

M是a的階，同上有n|r"因而2]。.但d是舞和r的

最大公因子，所以去和3互素而有2k.

3.假定。生成一個(gè)階是”的循環(huán)群G.證明：丁也生

成G,假如(r,n)=1(這就是說(shuō)r和?；ニ?.

解由習(xí)題2,"的階是n?所以

a，(a')2,…，(a')"-',(ar)"=e

互不相同.但G只有正個(gè)元，所以

G={%G),…，G)”}

而a'生成G.

4,假定G是循環(huán)群，并且G與不同態(tài).證明。也是循

環(huán)群.

解由于G與3同態(tài)，不也是一個(gè)群.設(shè)G=(a),而

在G到*的同態(tài)滿(mǎn)射⑦下，。一>a.看。的售意元T.那個(gè)

在中下，有dWG,使a1"—>g.但a"---->a.所以g=￡?

24

這樣，不的每一元都是*的一個(gè)乘方而3=

5.假定G是無(wú)限階的循環(huán)群，百是任何循環(huán)群.證明

G與"同態(tài).

解令G=(。)，在;3).定義

?一-m

CP：——>Q

我們證明，。是G到百的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

(i)由于G是無(wú)限階的循環(huán)群，G的任何元都只能

以一種方法寫(xiě)成a"■的形式，所以在◎之下，G的每一個(gè)元

有一個(gè)唯一確定的象，而①是G到◎的一個(gè)映射.

(ii)豆的每一個(gè)元都可以寫(xiě)成不的形式，因此它在

中之下是G的元砂的象，而◎是G到停的一個(gè)滿(mǎn)射.

一E+n—m

(iii)aman=--->a=aa

所以中是G到G的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射.

§8.子群

1.找出S3的所有子群.

解S3顯然右以下子群：

S3本身,((D)={{1)}?

((12))={(12),(1))；

((13))={(13),(1)1j

(<23))={(23),(1)},

((123))=((123),(132),(1)}.

若S3的一個(gè)子群H含有(12),(13)這兩個(gè)2-循環(huán)

置換，那么H含有

25

(12)(13)=(123),(123)(12)=(23)

因而”=S3.同理，若是Ss的--個(gè)子群含有兩個(gè)2?循環(huán)置

換(21),(23)或(31),(32),這個(gè)子群也必然

是.S3?

用完全類(lèi)似的方法，讀者可以算出，若是Sa的一個(gè)子

群含有一個(gè)2-循環(huán)置換和一個(gè)3-循環(huán)置換，那么這個(gè)子群也

必然是S3.

因此上面給出的6個(gè)子群是Sa的所有子群.

2.證明，群G的兩個(gè)子群的交集也是G的干群.

解設(shè)戶(hù)九和日2是G的子群.

令e是G的單位元.那么e，屈于〃；和42,因而

而“山尸九不空.

令b)那么屬于“，和九.但

a,rW2.a,b1

和以2是子群.所以必7屬于日\(chéng)和Hz,因而屬于以10日2?

這就證明了，Hi(1Hz是G的子群.

3.取S：,的子集S={(12),(123)).S生成的

子群包含哪些元？一個(gè)群的兩個(gè)不同的子集會(huì)不會(huì)生成相同

的子群？

解見(jiàn)習(xí)題1的解.

4.證明，循環(huán)群的子群也是循環(huán)群.

解設(shè)循環(huán)群G=(。)而H是G的一個(gè)子群.

若H只含單位無(wú)c=a°,則H=(e)是循環(huán)群.若〃不

僅含單位元，那么因?yàn)椤笆亲语?，它一定含有元陵，其中?/p>

是正整數(shù).令i是最小的使得a-屬于H的正整數(shù)，我們證

明，這時(shí)〃=3).看H的任一元出.令

26

t=iq+r0<r-<?

那么a，=a，”.由于出和N都屬于N,有

ar=a~i9a'GH

于是由假設(shè)，=0,出=(a，)。而H=(aO.

5.找出模12的剩余類(lèi)加群的所有子群.

解模12的剩余類(lèi)加群G是一個(gè)階為12的循環(huán)群.因此

由題4,G的子群都是循環(huán)群.容易看出：

(E03)=E0J

([ID=([5D=(匚7))=(111D=G

(C2j)=(rioj)={[2j,C4],[61,m,non,EOJ>

(L3J)=(C93)={C3],[6]，[9，LOJ)

(C4j)=(C8i)={C4j,18，con

([69={[61,con

是G的所有子群.

6.假定〃是群G的一個(gè)非空子集并且打的每一個(gè)元的

階都有限.證明，H作成一個(gè)子群的充要條件是：

a,bQH==>ab?H

解由本節(jié)定理I,條件顯然是必要的.

要證明條件也是充分的，由同一定理，只須證明；

a￡H=>a-1GH

設(shè)aGH.由于舊的每一元的階都有限，所以。的階

是某一正整數(shù)"而=。"-,于是由所給條件得

§9.子群的陪集

1.證明,階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群.

27

解設(shè)群G的階為素?cái)?shù)P.在G中取一元0豐e，則a

生成G的一個(gè)循環(huán)子群（a）.設(shè)（a）的階為"，那么"/1.

但由定理2,n|P,所以w=夕而G=（a）是一個(gè)循環(huán)群.

2.證明，階是力1"的群（。是素?cái)?shù)，^>1）一定包含

一個(gè)階是P的子群.

解設(shè)群G的階是產(chǎn).在G中取一元a/。，那么由定

理3,。的階力|0".但."于1,所以“=〃，t>1.若

t=l,那么a的階為白，而（。）是一^T?階為力的子群.若

t>1,可取那么6的階為D而（6）是一個(gè)階

為。的子群.

3.假定a和b是一個(gè)群G的兩個(gè)元，并Hab=6a,又

假定a的階是a，6的階是n,并且⑴，n）=1.證明：

a6的階是mn.

解設(shè)。b的階是6.由。6=%,得

（ab）E"=十嶗倒"=e

因此我們反過(guò)來(lái)證明，mn\人由

e=（Q6）KN=。外％&0=

以及。的階為m，得切l(wèi)As.但（m,“）=1」所以加

同理〃|k.又由（*n）=1,得血nIk.

這樣，ab的階k=懦n、

4.假定?是一個(gè)群G的元間的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，并且對(duì)

于G的任意三個(gè)元a,x,a/來(lái)說(shuō)

ar?。h'①?

證明，與G的單位元e等價(jià)的元所作成的集合是G的一個(gè)子

群.

解令H是與e等價(jià)的元所成的集合.

28

由于。?e,所以“不空.

設(shè)a,b￡H.那么。?e,6?e..6?e可寫(xiě)成

a~?。-*a

因此由題設(shè)，ab?a?e而ab€H.

a?e可寫(xiě)成ae?aa-i,因此由題設(shè)，e?。一，而aC’CH.

這樣，M作成G的一個(gè)子群.

5.我們直接下右陪集Ha的定義如下，&a剛好包含

G的可以寫(xiě)成

ha(hSH)

形式的元.由這個(gè)定義推出以下事實(shí)：G的每一個(gè)元屬于而

且只屬于一個(gè)右陪集.

解取任意元aCG.由于H是一個(gè)子群，單位元

e6H,因此a=eaCHa,這就是說(shuō)，元a屬于右陪集

Ha.

設(shè)。匕/76,ac,那么

a=hib=HiC(A,,

由此得，b=h：%c,而"b的任意元

hb—hh^'h2c￡Hc

因而HbuHc.同樣可證“cu"6.這樣"6=He而

。只能屬于一個(gè)右陪集.

6.若我們把同構(gòu)的群看成一樣的，一共只存在兩個(gè)階

是4的群，它們都是交換群.

解先給出兩個(gè)階是4的群.

模4的剩余類(lèi)加群6\=｛［01,C1LC2J,13?.

G1的元［1:］的階是4而G?是￡1：!所生成的循環(huán)群(C1J).

29

S,的的子群

=(12)(34),(13)(24),(14)(23)}

叫作克萊因四元群.3,是S,的子群容易驗(yàn)證.我們有

L(12)(34)]2=C(13)(24)]2=E(14)(23)12=(1)

(12)(34)(13)(24)=(13)(24)(12)(34)=(14)(23)

(13)(24)(14)(23)=(14)(23)(13)(24)