重積分(2重和3重)

/第六講重積分學考試內容：二重積分與三重積分的概念、性質、計算和應用.考試大綱要求:1.理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質，了解二重積分的中值定理.２.掌握二重積分的計算方法(直角坐標、極坐標），會計算三重積分(直角坐標、柱面坐標、球面坐標).（三重積分數三不要求）３.會用重積分求一些幾何量與物理量(平面圖形的面積、體積、曲面面積、弧長、質量、質心、、形心、轉動慣量、引力、功及流量等)。(數三不要求）一、二重積分的概念與性質1、背景(１)平面薄片質量有限閉區(qū)域的面密度,求其質量:將劃分成；任取,則;令，其中表示小區(qū)域的直徑,則.（2)曲頂拄體的體積柱體的頂的曲面為，其中，求其體積：將劃分成；任取，則；令，其中表示小區(qū)域的直徑，則.2、二重積分概念設二元函數為定義在有界閉區(qū)域上的有界函數，將區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域，，,…，,其中表示第個小閉區(qū)域及其面積,在每個上任取一點，作積，并作和，令，此和式的極限總存在,則稱此極限值為函數在閉區(qū)域上的二重積分，記作.注意：①閉區(qū)域上的連續(xù)函數一定是可積的(反之則未必成立),即上式右端的和的極限一定存在，且這個極限值與區(qū)域的分割方法以及點的取法無關，只與有關。②設則。例題1:.例題２：(2010年考題)。３、二重積分性質假定,在有界閉區(qū)域上可積，則有:性質１(為常數).性質2若閉區(qū)域被分成兩個小閉區(qū)域和，則.性質３如果在區(qū)域上,為區(qū)域的面積，則。性質4如果在區(qū)域上,成立,則。特殊地，有。性質５設、分別是在閉區(qū)域上的最大值和最小值,表示的面積，則.性質６（二重積分中值定理）設函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積,則在上至少存在一點,使得．例題1:設求極限.性質7(對稱性)（1）關于軸對稱,位于軸右側區(qū)域,則當時，。當時,.（2）關于軸對稱,位于軸上側區(qū)域,則①當時，.當時，.例題2：設是由所圍城的平面閉區(qū)域，其中是在第一象限的部分，則（）。A．；B。;C.；D.;補充：輪換對稱性.問題１：和是否相等?問題２：和是否相等？輪換對稱性：當和對調時，區(qū)域不變（或稱區(qū)域關于對稱），則有。例題3：設區(qū)域，是上的正值連續(xù)函數，為常數，求。二、二重積分的計算1、直角坐標法（1）型區(qū)域，有.（２）型區(qū)域，有。注意:這里下限都必須小于等于上限。例題１：計算，其中由及軸圍城。例題2:計算，其中是由拋物線及直線所圍成的閉區(qū)域．。例題3:改變積分次序．例題4:計算．2、極坐標法特征:(１)被積函數中含;（２)積分區(qū)域的邊界曲線含。變換：令,，.（1）極點在區(qū)域外；（２）極點在區(qū)域上;（３)極點在區(qū)域內；例題1：計算，其中．三、二重積分的應用1、幾何應用(1）平面圖形的面積：設為平面有限區(qū)域，則區(qū)域面積為.（2）曲頂柱體的體積：設曲頂柱體，其中，則體積為。（3)空間曲面的面積:設空間曲面，其中,則有．2、物理應用（限數學一學習)設平面薄片的面密度為,有重心坐標:．轉動慣量繞軸的轉動慣量為。繞軸的轉動慣量為．繞原點的轉動慣量為。四、三重積分的概念與性質1、三重積分的定義設三元函數為定義在區(qū)域上的有界函數，將區(qū)域任意分成個小閉區(qū)域，,，…,，其中表示第個小閉區(qū)域及其體積，在每個上任取一點，作積，并作和,令（為區(qū)域的直徑)，此和式的極限總存在，則稱此極限值為函數在閉區(qū)域上的二重積分,記作.設則.例題１：求。２、三重積分的性質假定，在有界閉區(qū)上可積，則有:(1)(為常數）.(２）如果在區(qū)域上,為區(qū)域的面積，則。(3）（三重積分中值定理）設函數在有界閉區(qū)域上連續(xù)，是的面積，則在上至少存在一點，使得。（4）(奇偶性與對稱性)（ａ)關于平面對稱（即關于變量對稱),位于平面上方區(qū)域，則①當時，．②當時，。（ｂ）關于平面對稱(即關于變量對稱），位于平面前側區(qū)域,則①當時，．②當時,.（c）關于平面對稱（即關于變量對稱）,位于平面右側區(qū)域，則①當時，.②當時，.五、三重積分的計算1、直角坐標法(1）切片法（先2后１法)設表示為，有。特征:(1）被積函數僅是的函數;(2）用垂直于的平面去截所得是圓域或其部分（比如旋轉體）.（2）鉛直投影法（先１后２法）設表示為，有。例題1：計算，其中為由及面圍成的幾何體。．2、柱面坐標變換法（直角坐標法＋極坐標法)特征:（1）被積函數中含；(2）積分區(qū)域的邊界曲面含.變換：令，，。例題1:計算，其中為由所圍成的立體．3、球面坐標變換法特征：（1）被積函數中含；（２)積分區(qū)域的邊界曲面含。變換:令,，有六、三重積分的應用1、空間幾何體重心坐標：.2、空間幾何體轉動慣量繞軸的轉動慣量為。繞軸的轉動慣量為.繞軸的轉動慣量為。繞原點的轉動慣量為。七、典型例題分析題型一：二重的概念與性質例題１：求.例題2：設其中，則(）．Ａ．；B.；C．;D．．例題3:設，則．例題4：設為平面上的有限閉區(qū)域,在上連續(xù)，且,證明存在，使得。題型二:改變積分次序例題1:交換積分次序：．例題2:交換積分次序:．例題3:將化為先后的累次積分。例題4：(２０10年考題）計算,其中.例題5：計算。例題６：設為連續(xù)函數，令,則。題型三：二重積分的計算情形一：普通二重積分的計算例題1：計算，其中是由圍成的區(qū)域。例題2：計算，其中是由與圍成的區(qū)域．例題3：設，函數在區(qū)域上連續(xù)，且,求。情形二：利用對稱性與奇偶性計算二重積分例題1:計算，其中.例題２：計算，其中.情形三：分段函數的二重積分例題1：設為平面，,計算.情形四：無限區(qū)域的二重積分例題1:計算.題型四：二重積分的綜合問題例題1:設在上連續(xù),證明：。例題2:設在上連續(xù)，且，證明：。題型五：二重積分的應用例題１：半徑為的球面中心在給定球面上