推斷統(tǒng)計和統(tǒng)計檢驗

（優(yōu)選）推斷統(tǒng)計和統(tǒng)計檢驗現(xiàn)在是1頁\一共有37頁\編輯于星期五現(xiàn)在是2頁\一共有37頁\編輯于星期五4、正態(tài)曲線的形態(tài)變化正態(tài)曲線的形態(tài)隨平均數(shù)（決定位置）和標準差（決定形狀的高矮胖瘦）的不同而不同。

6080σ

1<σ2,X1<X2現(xiàn)在是3頁\一共有37頁\編輯于星期五5、標準正態(tài)面積M=0(X=0),σ=1(S=1),Y0=1/√2π=0.39890現(xiàn)在是4頁\一共有37頁\編輯于星期五（二）正態(tài)曲線的面積在正態(tài)曲線圖上，縱線Y表示對應(yīng)于X的次數(shù)，曲線下的全面積（為1個單位）代表次數(shù)的總和?！墩龖B(tài)分布面積與橫軸關(guān)系對照表》是以為計算面積的單位經(jīng)數(shù)學(xué)計算得出來的。根據(jù)此表，可以求出橫軸上某點與平均數(shù)之間所包含面積的比例。計算過程：（1）計算x=X-σ,（2）計算x/σ,（3）查表，即得出點X與平均數(shù)σ之間所包含的曲線面積在全部面積中所占的比例。σ現(xiàn)在是5頁\一共有37頁\編輯于星期五正態(tài)分布面積與橫軸關(guān)系對照表X/σ.00.01.02.03.04.05.06.07.08.09000.1

…0.5…1.0…1.92.0…2.53.0…3.1…3.4

000003981915341347724986.54990.34996.6310040043800800478012005170160019002394750027903194951

0359現(xiàn)在是6頁\一共有37頁\編輯于星期五在正態(tài)分布曲線下以σ為距離單位所包含的面積

σ面積+0.5σ之間+1σ之間+1.5σ之間+2σ之間+2.5σ之間+3σ之間

38.30%

68.26%86.24%

95.44%98.76%

99.74%現(xiàn)在是7頁\一共有37頁\編輯于星期五（三）正態(tài)分布在教育研究中的應(yīng)用1、按照正態(tài)分布進行能力分組或評定成績的等級（即等級分組）2、在正態(tài)分布的情況下，求各種分數(shù)之間的百分比和人數(shù)（即分數(shù)分布）現(xiàn)在是8頁\一共有37頁\編輯于星期五二、數(shù)據(jù)的統(tǒng)計檢驗當需要判斷兩個樣本的統(tǒng)計值之間的差異是來自相同總體（隨機誤差、抽樣誤差）還是來自不同總體（系統(tǒng)誤差、實質(zhì)差異）時，即差異是否存在于兩個總體之間時，需要對樣本的差異顯著性進行檢驗，即進行統(tǒng)計檢驗，也稱假設(shè)檢驗或差異顯著性檢驗，是推斷統(tǒng)計中最重要內(nèi)容。差異顯著性水平α：統(tǒng)計上給出的允許判斷失誤的小概率p，常取0.05或0.01基本思想：反證法現(xiàn)在是9頁\一共有37頁\編輯于星期五一、差異程度檢驗的基本原理：１、建立虛無假設(shè)Ｈ０：μ１＝μ２２、統(tǒng)計運算３、選定顯著性水平α，根據(jù)運算結(jié)果，確定Ｈ０成立的概率P,并得出結(jié)論：小概率P≤0.01,否定H0，差異非常顯著事件P≤0.05,否定H0，差異顯著

P>0.05,肯定H0，差異不顯著現(xiàn)在是10頁\一共有37頁\編輯于星期五二、大樣本平均數(shù)差異程度的檢驗——Z檢驗（樣本容量大于30）步驟：1、建立虛無假設(shè)H0:X1=X22、規(guī)定差異顯著性水平α：0.01或0.053、計算Z值，公式為：4、比較Z值與理論Z值，推斷H0發(fā)生的概率，并做出判斷。Z=X1-X2S1S222n1n2√+現(xiàn)在是11頁\一共有37頁\編輯于星期五

Z值、P值與差異顯著性的關(guān)系

|Z|

P差異顯著性

<1.96

>0.05差異不顯著≥1.96≤0.05差異顯著≥2.58≤0.01差異非常顯著現(xiàn)在是12頁\一共有37頁\編輯于星期五舉例：某項教育實驗中，，實驗組50人，控制組48人。實驗組前測的平均分為76分，標準差為14分。控制組前測的平均分為78分，標準差為16分。實驗組后測的平均分為85分，標準差為8分，控制組后測的平均分為80分，標準差為14分。試比較兩組前測、后測是否存在差異。解：前測：Z=∵Z=0.658?1.96∴前測兩組差異不顯著后測：Z=∵Z=2.16?1.96∴后測兩組差異顯著76-78√14250+16248=-0.65885-80√8250+14248=2.16現(xiàn)在是13頁\一共有37頁\編輯于星期五三、小樣本平均值差異程度的檢驗——t檢驗（樣本容量小于30）t檢驗是利用兩個平均值之差的t值與規(guī)定的理論t值相比較，看是否大于規(guī)定的理論t值，從而判斷兩組小樣本的平均值的差異顯著程度的一種統(tǒng)計檢驗方法。有三種類型的t檢驗現(xiàn)在是14頁\一共有37頁\編輯于星期五t檢驗的步驟第一步，建立虛無建設(shè)，即先認為兩個平均數(shù)之間無顯著差異；第二步，規(guī)定差異顯著性水平（0.01或0.05）；第三步，計算兩個平均數(shù)之差的t值，對不同類型問題，要采用不同的t值計算公式；第四步，根據(jù)自由度df,查t值表，找出規(guī)定的理論t值；第五步，比較計算所得的t值與理論t值，推斷H0發(fā)生的概率，依據(jù)t值與差異顯著性關(guān)系表作出推斷?，F(xiàn)在是15頁\一共有37頁\編輯于星期五自由度，是指能獨立變化的數(shù)據(jù)的數(shù)目，它是根據(jù)研究的問題所受限制的數(shù)目多少而有所不同的。對小樣本平均數(shù)差異檢驗，df=n-1對于不同自由度df和顯著性水平的理論t值，記為t(df)0.01和t(df)0.05?，F(xiàn)在是16頁\一共有37頁\編輯于星期五簡化t值表差異等級α自由度df0.050.01αdf0.050.01αdf0.050.011234567891012.7064.3033.1822.7762.5712.4472.3652.3062.2622.22863.6579.9255.8414.6044.0323.7073.4993.3553.2503.169111213141516171819202.2012.1792.1602.1452.1312.1202.1102.1012.0932.0863.1063.0553.0122.9772.9472.9212.8982.8782.8612.845212223242526272829302.0802.0742.0692.0642.0602.0562.0522.0482.0452.0422.8312.8192.8072.7972.7872.7792.7712.7632.7562.750現(xiàn)在是17頁\一共有37頁\編輯于星期五t值、P值與差異顯著性的關(guān)系|t|P差異顯著性<t(df)0.05≥t(df)0.05≥t(df)0.01P>0.05P≤0.05P≤0.01差異不顯著差異顯著差異非常顯著現(xiàn)在是18頁\一共有37頁\編輯于星期五（一）檢驗樣本平均數(shù)X和總體平均數(shù)μ0之間的差異程度已知總體N的平均值為μ0，標準差為σ，樣本n的平均數(shù)為X，標準差為S。t值的計算公式：t=X-μ0σ/√n現(xiàn)在是19頁\一共有37頁\編輯于星期五舉例：在某校初二年級中抽出一組共20人，利用幻燈進行語文教學(xué)實驗。期終全級進行統(tǒng)考，得全級語文考試平均分為70分，標準差為15分，而參加實驗的20人的得分如表所示。試檢驗該實驗的效果。X7566848092747088909565837277696481777379現(xiàn)在是20頁\一共有37頁\編輯于星期五解：第一步，建立虛無假設(shè)H0:X=μ0第二步，確定差異顯著性水平為α=0.05第三步，計算樣本平均數(shù)

X=(∑Xi)/n=1554/20=77.7第四步，計算t值根據(jù)自由度df=n-1=20-1=19,查t值表，得理論t值為t(df)0.05=t(19)0.05=2.093所以t=2.296>t(19)0.05，由此，拒絕H0,即X和μ0之間差異顯著，也就是說X>μ0,表示實驗組的平均數(shù)顯著高于總體的平均數(shù)。X-μ0σ/√n77.7-7015/√20t===2.296現(xiàn)在是21頁\一共有37頁\編輯于星期五（二）兩組樣本平均數(shù)X1與X2的差異程度檢驗t值的計算公式：

t=舉例：某項研究采用等組實驗，實驗后從實驗組中抽取10人、從控制組中抽取9人進行差異程度分析，這兩組樣本的得分數(shù)據(jù)如下表所示。X1-X2√∑x1+∑x222n1+n2-2×√n1+n2n1n2組別樣本得分數(shù)據(jù)平均數(shù)實驗組1095678072748877929085X1=82控制組9655579768480607862/X2=71現(xiàn)在是22頁\一共有37頁\編輯于星期五解：第一步，建立虛無假設(shè)H0：X1=X2第二步，確定差異顯著性水平為α=0.05第三步，計算兩組樣本的平均數(shù)

X1=…=82X2=…=71第四步，計算t值。必須先分別計算各樣本的數(shù)據(jù)與平均數(shù)之間的離差，如下表所示。實驗組X1=82,x1=X1-X1,則∑x1=796X195678072748877929085x113-15-2-10-86-51083x1169225410064362510064922現(xiàn)在是23頁\一共有37頁\編輯于星期五控制組X2=71,x2=X2-X2,則∑x2=882根據(jù)公式，t==2.41第五步，根據(jù)自由度df=n1+n2-2=17查t值表，得理論t值為t(df)0.05=t(17)0.05=2.11所以t=2.41>t(17)0.05,則拒絕H0,即X1與X2之間存在顯著差異，也就是說，實驗組的平均水平顯著高于控制組的平均水平。2X2655579768480607862x2-6-1685139-117-9x236256642516981121498182-71√796+88210+9-2×√10+910×92現(xiàn)在是24頁\一共有37頁\編輯于星期五（三）對同一組樣本，在不同情況下測試結(jié)果的平均數(shù)X1和X2的差異程度檢驗t值計算公式為：

t=式中D=X2-X1,即兩次測試中每對分數(shù)之差。舉例：在某班中進行前測、后測實驗，隨機抽出8名學(xué)生作樣本，其兩次測試的數(shù)據(jù)如下表所示。分析兩次測試是否有差異，從而判斷實驗的效果。X2-X1√∑D-(∑D)/nn(n-1)22現(xiàn)在是25頁\一共有37頁\編輯于星期五解：第一步，建立虛無假設(shè)H0:X1=X2第二步，確定差異顯著性水平為α=0.05第三步，計算兩次測試數(shù)據(jù)的平均數(shù)第四步，計算t值.先計算D與D，如表中所示t=…=學(xué)生編號

12345678前測數(shù)據(jù)1114121013121514X=12.625后測數(shù)據(jù)1514151415131416X=14.5兩次之差D

403421-14∑D=15D16091641116∑D=51222√51-(15)/88×(8-1)=2.9342現(xiàn)在是26頁\一共有37頁\編輯于星期五第五步，根據(jù)自由度df=n-1=8-1=7,查t值表，得理論t值t(df)0.05=t(7)0.05=2.365所以t=2.934>t(7)0.05,所以拒絕H0,即前后兩次測試結(jié)果的平均值有顯著差異?，F(xiàn)在是27頁\一共有37頁\編輯于星期五五、計數(shù)資料的檢驗——卡方(χ)檢驗計數(shù)資料，就是按品質(zhì)分類，然后按類別計數(shù)的資料。χ檢驗是對實際觀測所獲得的分類計數(shù)資料與依據(jù)某種假設(shè)所期望的理論次數(shù)之間是否相符合的問題，即對兩者差異的顯著性進行檢驗。22現(xiàn)在是28頁\一共有37頁\編輯于星期五χ檢驗的步驟1、建立虛無假設(shè)H0:觀測的結(jié)果與期望結(jié)果無差異2、確定差異顯著性水平α=0.05或0.013、計算理論次數(shù)和實測次數(shù)的χ值。χ

值的計算公式為χ=∑4、按自由度df查χ值表，得理論χ

值：χ(df)α5、把計算所得的χ

與χ(df)α進行比較，判斷結(jié)果22(f0-fe)2fe2222222現(xiàn)在是29頁\一共有37頁\編輯于星期五簡化χ

值表2

檢驗等級α0.050.01123456789103.8415.9957.8159.48811.07012.59214.06215.50716.91918.3076.6359.21011.34512.27715.06716.81218.47520.09021.66623.209自由度df現(xiàn)在是30頁\一共有37頁\編輯于星期五χ

值與P值及差異顯著性的關(guān)系2χP差異顯著性χ≥χ(df)αP≤0.01差異非常顯著χ≥χ(df)αP≤0.05差異顯著χ<χ(df)αP>0.05差異不顯著2222222現(xiàn)在是31頁\一共有37頁\編輯于星期五（一）單組樣本態(tài)度差異性的檢驗態(tài)度計數(shù)資料同意不同意不置可否自由度觀測次數(shù)f0N1N2N3df=n-1=3-1=2理論次數(shù)fefe=N/3N=N1+N2+N3對于這類問題，由于虛無假設(shè)認為三項之間應(yīng)無差異，所以理論次數(shù)fe=N/3.現(xiàn)在是32頁\一共有37頁\編輯于星期五舉例：某項關(guān)于物理實驗系列教材的研究問卷中，其中征求44位物理教師的意見所得到的結(jié)果如下表所示。問各類意見之間是否差異顯著。解：1、建立虛無假設(shè)H0:各類意見之間無顯著差異2、對a問題選擇0.01差異顯著性水平，對b問題選擇0.05差異顯著性水平很同意同意不同意很不同意a本片對學(xué)生復(fù)習(xí)有很大作用231362b本片能幫助提高課堂教學(xué)效率1414106現(xiàn)在是33頁\一共有37頁\編輯于星期五3、計算χ值。對這項研究，其理論次數(shù)fe=N/4=44/4=11對于a問題，

χ

=…=12/11+2/11+(-5)/11+(-9)/11=23.09對于b問題，χ=…=3/11+3/11+(-1)/11+(-5)/11=4.004、根據(jù)自由度df=n-1=4-1=3,查χ值表，得χ(df)0.05=χ(3)0.05=7.815χ(df)0.01=χ(3)0.01=11.3452222222222222222現(xiàn)在是34頁\一共有37頁\編輯于星期五5、比較χ和χ(df)0.05與χ(df)0.01，做出判斷對于a問題，χ=23.09>χ(df)0.01，則拒絕H0,說明對