數(shù)字邏輯課件 第二章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

數(shù)字邏輯課件第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1第1頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六邏輯代數(shù)是數(shù)字系統(tǒng)邏輯設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)和重要數(shù)學(xué)工具！

1847年,英國數(shù)學(xué)家喬治·布爾(G.Boole)提出了用數(shù)學(xué)分析方法表示命題陳述的邏輯結(jié)構(gòu)，并將形式邏輯歸結(jié)為一種代數(shù)演算，從而誕生了著名的“布爾代數(shù)”。

1938年，克勞德·向農(nóng)(C.E.Shannon)將布爾代數(shù)應(yīng)用于電話繼電器的開關(guān)電路，提出了“開關(guān)代數(shù)”。隨著電子技術(shù)的發(fā)展，集成電路邏輯門已經(jīng)取代了機(jī)械觸點(diǎn)開關(guān)，故人們更習(xí)慣于把開關(guān)代數(shù)叫做邏輯代數(shù)。2第2頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六本章知識要點(diǎn)：

☆基本概念；☆基本定理和規(guī)則；☆邏輯函數(shù)的表示形式；☆邏輯函數(shù)的化簡。3第3頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六邏輯代數(shù)L是一個(gè)封閉的代數(shù)系統(tǒng)，它由一個(gè)邏輯變量集K，常量0和1以及“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算所構(gòu)成，記為L={K,+,·,-,0,1}。該系統(tǒng)應(yīng)滿足下列公理。

2.1邏輯代數(shù)的基本概念公理1交換律對于任意邏輯變量A、B，有

A+B=B+A；A·B=B·A公理2結(jié)合律

對于任意的邏輯變量A、B、C，有

(A+B)+C=A+(B+C)

(A·B)·C=A·(B·C)4第4頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六公理3分配律

對于任意的邏輯變量A、B、C，有

A+(B·C)=(A+B)·(A+C)；

A·(B+C)=A·B+A·C公理40─1律

對于任意邏輯變量A，有

A+0=A；A·1=AA+1=1；A·0=0

公理是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)的基本出發(fā)點(diǎn)，無需加以證明。公理5互補(bǔ)律

對于任意邏輯變量A，存在唯一的，使得5第5頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.1.1邏輯變量及基本邏輯運(yùn)算

邏輯代數(shù)和普通代數(shù)一樣，是用字母表示其值可以變化的量，即變量。所不同的是：

1．任何邏輯變量的取值只有兩種可能性——取值0或取值1。

2．邏輯值0和1是用來表征矛盾的雙方和判斷事件真?zhèn)蔚男问椒?，無大小、正負(fù)之分。一、變量6第6頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、基本邏輯運(yùn)算

描述一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，必須反映一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中各開關(guān)元件之間的聯(lián)系，這種相互聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上就是幾種運(yùn)算關(guān)系。

邏輯代數(shù)中定義了“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算。1．“或”運(yùn)算

如果決定某一事件是否發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“或”邏輯。

例如，用兩個(gè)開關(guān)并聯(lián)控制一個(gè)燈的照明控制電路。7第7頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

電路中，開關(guān)A和B并聯(lián)控制燈F?？梢钥闯觯?dāng)開關(guān)A、B中有一個(gè)閉合或者兩個(gè)均閉合時(shí)，燈F即亮。因此，燈F與開關(guān)A、B之間的關(guān)系是“或”邏輯關(guān)系?？杀硎緸?/p>

并聯(lián)開關(guān)電路

ABF例如，下圖所示電路。F=A+B或者F=A∨B，讀作“F等于A或B”。8第8頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

假定開關(guān)斷開用0表示，開關(guān)閉合用1表示；燈滅用0表示，燈亮用1表示，則燈F與開關(guān)A、B的關(guān)系如下表所示。即：A、B中只要有一個(gè)為1，則F為1；僅當(dāng)A、B均為0時(shí)，F(xiàn)才為0。A0111100BF01011

“或”運(yùn)算表F

并聯(lián)開關(guān)電路

AB“或”運(yùn)算的運(yùn)算法則：0+0=0

1+0=10+1=1

1+1=1實(shí)現(xiàn)“或”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“或”門。

9第9頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

2．“與”運(yùn)算

如果決定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件必須同時(shí)具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“與”邏輯。在邏輯代數(shù)中，“與”邏輯關(guān)系用“與”運(yùn)算描述。兩變量“與”運(yùn)算關(guān)系可表示為F=A·B

或者F=A∧B即：若A、B均為1，則F為1；否則，F(xiàn)為0。

A0110000BF01011

“與”運(yùn)算表

10第10頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六ABF

串聯(lián)開關(guān)電路

例如，兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)控制同一個(gè)燈。顯然，僅當(dāng)兩個(gè)開關(guān)均閉合時(shí)，燈才能亮，否則，燈滅。假定開關(guān)閉合狀態(tài)用1表示，斷開狀態(tài)用0表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則F和A、B之間的關(guān)系“與”運(yùn)算關(guān)系。數(shù)字系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)“與”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“與”門。“與”運(yùn)算的運(yùn)算法則:

0·0=0

1·0=0

0·1=0

1·1=111第11頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

3．“非”運(yùn)算

如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯。

在邏輯代數(shù)中，“非”邏輯用“非”運(yùn)算描述。其運(yùn)算符號為“ˉ”，有時(shí)也用“￢”表示。“非”運(yùn)算的邏輯關(guān)系可表示為F=或者

F=￢A讀作“F等于A非”。即：若A為0，則F為1；若A為1，則F為0。

“非”運(yùn)算表AF010112第12頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六A開關(guān)與燈并聯(lián)電路F例如，下面開關(guān)與燈并聯(lián)的電路中，僅當(dāng)開關(guān)斷開時(shí)，燈亮；一旦開關(guān)閉合，則燈滅。令開關(guān)斷開用0表示，開關(guān)閉合用1表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則電路中燈F與開關(guān)A的關(guān)系即為上表所示“非”運(yùn)算關(guān)系。

“非”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

；

數(shù)字系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)“非”運(yùn)算功能的邏輯電路稱為“非”門，有時(shí)又稱為“反相器”。13第13頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.1.2邏輯函數(shù)及邏輯函數(shù)間的相等邏輯代數(shù)中函數(shù)的定義與普通代數(shù)中函數(shù)的定義類似，即隨自變量變化的因變量。但和普通代數(shù)中函數(shù)的概念相比，邏輯函數(shù)具有如下特點(diǎn)：

1．邏輯函數(shù)和邏輯變量一樣，取值只有0和1兩種可能；

2．函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。一、邏輯函數(shù)的定義14第14頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

圖中，F(xiàn)被稱為A1，A2，…，An的邏輯函數(shù)，記為F=f(A1，A2，…，An)

邏輯電路輸出函數(shù)的取值是由邏輯變量的取值和電路本身的結(jié)構(gòu)決定的。

廣義的邏輯電路邏輯電路

FA1A2An…

設(shè)某一邏輯電路的輸入邏輯變量為A1，A2，…，An，輸出邏輯變量為F，如下圖所示。15第15頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)有兩個(gè)相同變量的邏輯函數(shù)

F1=f1(A1,A2,…,An)

F2=f2(A1,A2,…,An)

若對應(yīng)于邏輯變量A1,A2,…,An的任何一組取值，F(xiàn)1和F2的值都相同，則稱函數(shù)F1和F2相等，記作F1=F2

。如何判斷兩個(gè)邏輯函數(shù)是否相等？通常有兩種方法：真值表法，邏輯代數(shù)法。二、邏輯函數(shù)的相等16第16頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.1.3邏輯函數(shù)的表示法函數(shù)F和變量A、B的關(guān)系是：

當(dāng)變量A和B取值不同時(shí)，函數(shù)F的值為“1”；取值相同時(shí)，函數(shù)F的值為“0”。邏輯表達(dá)式是由邏輯變量和“或”、“與”、“非”3種運(yùn)算符以及括號所構(gòu)成的式子。例如一、邏輯表達(dá)式

常用的方法有邏輯表達(dá)式、真值表、卡諾圖3種。17第17頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六邏輯表達(dá)式的簡寫:

1.“非”運(yùn)算符下可不加括號，如，等。

2.“與”運(yùn)算符一般可省略，如A·B可寫成AB。

高低

3.在一個(gè)表達(dá)式中，如果既有“與”運(yùn)算又有“或”運(yùn)算，則按先“與”后“或”的規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，可省去括號,如

(A·B)+(C·D)可寫為AB+CD。

注意:(A+B)·(C+D)不能省略括號,即不能寫成A+B·C+D！

運(yùn)算優(yōu)先法則：

()?⊕+

4.(A+B)+C或者A+(B+C)可用A+B+C代替；(AB)C或者A(BC)可用ABC代替。

18第18頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、真值表

依次列出一個(gè)邏輯函數(shù)的所有輸入變量取值組合及其相應(yīng)函數(shù)值的表格稱為真值表。

一個(gè)n個(gè)變量的邏輯函數(shù)，其真值表有2n行。例如，真值表由兩部分組成：

左邊一欄列出變量的所有取值組合，為了不發(fā)生遺漏，通常各變量取值組合按二進(jìn)制數(shù)碼順序給出；右邊一欄為邏輯函數(shù)值。19第19頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六三、卡諾圖卡諾圖是由表示邏輯變量所有取值組合的小方格所構(gòu)成的平面圖。

這種用圖形描述邏輯函數(shù)的方法，在邏輯函數(shù)化簡中十分有用，將在后面結(jié)合函數(shù)化簡問題進(jìn)行詳細(xì)介紹。

描述邏輯邏輯函數(shù)的3種方法可用于不同場合。但針對某個(gè)具體問題而言，它們僅僅是同一問題的不同描述形式，相互之間可以很方便地進(jìn)行變換。20第20頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.2邏輯代數(shù)的基本定理和規(guī)則

常用的８組定理：2.2.1基本定理定理10+0=0

1+0=1

0·0=0

1·0=00+1=1

1+1=1

0·1=0

1·1=1證明：在公理4中，A表示集合K中的任意元素，因而可以是0或1。用0和1代入公理4中的A，即可得到上述關(guān)系。如果以1和0代替公理5中的A，則可得到如下推論：

21第21頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六證明

A+A·B=A·1+A·B 公理4 =A·(1+B) 公理3 =A·(B+1) 公理1 =A·1 公理4 =A 公理4證明

A+A=(A+A)·1 公理4 =(A+A)·(A+A) 公理5 =A+(A·A) 公理3 =A+0 公理5 =A 公理4定理2

A+A=A；A·A=A

定理3

A+A·B=A；A·(A+B)=A22第22頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理4

A+A·B=A+B; A·(A+B)=A·B證明

A+A·B=(A+A)·(A+B) 公理3 =1·(A+B) 公理5 =A+B 公理4證明

令 A=X

因而 X·A=0 X+A=1 公理5

但是 A·A=0 A+A=1 公理5由于X和A都滿足公理5，根據(jù)公理5的唯一性，得到：A=X

由于 A=X，所以A=A定理5

=A

A23第23頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理6證明由于()+(A+B)=(+A)+B公理2=(+A)+B定理4=A+(B+)公理1,2=A+1公理5=1公理4

而且()·(A+B)=·A+·B公理3=0+0公理1,5=0定理1

所以，根據(jù)公理5的唯一性可得24第24頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理7

A·B+A·=A

(A+B)·(A+)=A

證明

A·B+A·=A·(B+)公理3=A·1公理5=A公理425第25頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六定理8

A·B+·C+B·C=A·B+·C(A+B)·(+C)·(B+C)=(A+B)·(+C)

證明

A·B+·C+B·C=A·B+·C+B·C·(A+)公理5=A·B+·C+B·C·A+B·C·公理3=A·B+A·B·C+·C+·B·C公理1=A·B·(1+C)+·C·(1+B)公理3=A·B·(C+1)+·C·(B+1)公理1=A·B+·C公理4

26第26頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.2.2重要規(guī)則

例如，將邏輯等式A(B+C)=AB+AC中的C都用(C+D)代替，該邏輯等式仍然成立，即A〔B+(C+D)〕=AB+A(C+D)代入規(guī)則的正確性是顯然的，因?yàn)槿魏芜壿嫼瘮?shù)都和邏輯變量一樣，只有0和1兩種可能的取值。

任何一個(gè)含有變量A的邏輯等式,如果將所有出現(xiàn)A的位置都代之以同一個(gè)邏輯函數(shù)F，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。

一、代入規(guī)則

27第27頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六代入規(guī)則的意義：

利用代入規(guī)則可以將邏輯代數(shù)公理、定理中的變量用任意函數(shù)代替，從而推導(dǎo)出更多的等式。這些等式可直接當(dāng)作公式使用，無需另加證明。注意：使用代入規(guī)則時(shí),必須將等式中所有出現(xiàn)同一變量的地方均以同一函數(shù)代替，否則代入后的等式將不成立。28第28頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、反演規(guī)則例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則可得到

若將邏輯函數(shù)表達(dá)式F中所有的“·”變成“+”，“+”變成“·”,“0”變成“1”,“1”變成“0”,原變量變成反變量，反變量變成原變量，并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變，則所得到的新的函數(shù)為原函數(shù)F的反函數(shù)。即:“·”“+”,“0”“1”,原變量反變量29第29頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

注意:

使用反演規(guī)則時(shí)，應(yīng)保持原函數(shù)式中運(yùn)算符號的優(yōu)先順序不變！三、對偶規(guī)則如果將邏輯函數(shù)表達(dá)式F中所有的“·”變成“+”,“+”變成“·”，“0”變成“1”，“1”變成“0”，并保持原函數(shù)中的運(yùn)算順序不變，則所得到的新的邏輯表達(dá)式稱為函數(shù)F的對偶式，并記作F’。例如，例如，已知函數(shù)，根據(jù)反演規(guī)則得到的反函數(shù)應(yīng)該是

而不應(yīng)該是×！錯(cuò)誤30第30頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六注意:求邏輯表達(dá)式的對偶式時(shí)，同樣要保持原函數(shù)的運(yùn)算順序不變。

顯然，利用對偶規(guī)則可以使定理、公式的證明減少一半。

若兩個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式F和G相等，則其對偶式F’和G’也相等。這一規(guī)則稱為對偶規(guī)則。

根據(jù)對偶規(guī)則，當(dāng)已證明某兩個(gè)邏輯表達(dá)式相等時(shí)，即可知道它們的對偶式也相等。例如，已知AB+C+BC=AB+C，根據(jù)對偶規(guī)則對等式兩端的表達(dá)式取對偶式，即可得到等式

(A+B)(+C)(B+C)=(A+B)(+C)31第31頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.2.3復(fù)合邏輯

實(shí)際應(yīng)用中廣泛采用“與非”門、“或非”門、“與或非”門、“異或”門等門電路。這些門電路輸出和輸入之間的邏輯關(guān)系可由3種基本運(yùn)算構(gòu)成的復(fù)合運(yùn)算來描述，故通常將這種邏輯關(guān)系稱為復(fù)合邏輯，相應(yīng)的邏輯門則稱為復(fù)合門。

一、與非邏輯

與非邏輯是由與、非兩種邏輯復(fù)合形成的，可用邏輯函數(shù)表示為

邏輯功能：只要變量A、B、C、…中有一個(gè)為0，則函數(shù)F為1；僅當(dāng)變量A、B、C、…全部為1時(shí)，函數(shù)F為0。

實(shí)現(xiàn)與非邏輯的門電路稱為“與非”門。

32第32頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六只要有了與非門便可組成實(shí)現(xiàn)各種邏輯功能的電路，通常稱與非門為通用門。

與:

或:

非:使用與非門可以實(shí)現(xiàn)與、或、非三種基本運(yùn)算：33第33頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、或非邏輯邏輯功能：只要變量A、B、C…中有一個(gè)為1，則函數(shù)F為0；僅當(dāng)變量A、B、C…全部為0時(shí)，函數(shù)F為1。實(shí)現(xiàn)或非邏輯的門電路稱為“或非”門。

或非邏輯是由或、非兩種邏輯復(fù)合形成的，可表示為與：或:非:

或非門同樣可實(shí)現(xiàn)各種邏輯功能，是一種通用門?；蚍沁壿嬕部梢詫?shí)現(xiàn)與、或、非3種基本邏輯。34第34頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六三、與或非邏輯邏輯功能：僅當(dāng)每一個(gè)“與項(xiàng)”均為0時(shí)，才能使F為1，否則F為0。實(shí)現(xiàn)與或非功能的門電路稱為“與或非”門。

可以僅用與或非門去組成實(shí)現(xiàn)各種功能的邏輯電路。但實(shí)際應(yīng)用中這樣做一般會(huì)很不經(jīng)濟(jì)，所以，與或非門主要用來實(shí)現(xiàn)與或非形式的函數(shù)。必要時(shí)可將邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式變換成與或非的形式。與或非邏輯是由3種基本邏輯復(fù)合形成的，邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式為

35第35頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六四、異或邏輯及同或邏輯

邏輯功能：變量A、B取值相同，F(xiàn)為0；變量A、B取值相異，F(xiàn)為1。

實(shí)現(xiàn)異或運(yùn)算的邏輯門稱為“異或門”。

1．異或邏輯

當(dāng)多個(gè)變量進(jìn)行異或運(yùn)算時(shí)，可用兩兩運(yùn)算的結(jié)果再運(yùn)算，也可兩兩依次運(yùn)算。異或邏輯是一種兩變量邏輯關(guān)系，可用邏輯函數(shù)表示為

根據(jù)異或邏輯的定義可知：

A⊕0=A

A⊕1=

A⊕A=0

A⊕=136第36頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六注意：在進(jìn)行異或運(yùn)算的多個(gè)變量中，若有奇數(shù)個(gè)變量的值為1，則運(yùn)算結(jié)果為1；若有偶數(shù)個(gè)變量的值為1，則運(yùn)算結(jié)果為0。例如，

F=A⊕B⊕C⊕D

=(A⊕B)⊕(C⊕D)

(兩兩運(yùn)算的結(jié)果再運(yùn)算)

=［(A⊕B)⊕C］⊕D

(兩兩依次運(yùn)算)2．同或邏輯同或邏輯也是一種兩變量邏輯關(guān)系，其邏輯函數(shù)表達(dá)式為

功能邏輯：變量A、B取值相同，F(xiàn)為1；變量A、B取值相異，F(xiàn)為0。實(shí)現(xiàn)同或運(yùn)算的邏輯門稱為“同或門”

。

F=A⊙B=+AB

式中，“⊙”為同或運(yùn)算的運(yùn)算符。37第37頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

同或邏輯與異或邏輯的關(guān)系既互為相反，又互為對偶。即有：由于同或?qū)嶋H上是異或之非，所以實(shí)際應(yīng)用中通常用異或門加非門實(shí)現(xiàn)同或運(yùn)算。

注意：當(dāng)多個(gè)變量進(jìn)行同或運(yùn)算時(shí)，若有奇數(shù)個(gè)變量的值為0，則運(yùn)算結(jié)果為0；反之，若有偶數(shù)個(gè)變量的值為0，則運(yùn)算結(jié)果為1。

38第38頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的形式與變換任何一個(gè)邏輯函數(shù)，其表達(dá)式的形式都不是唯一的。下面介紹邏輯函數(shù)表達(dá)式的基本形式、標(biāo)準(zhǔn)形式及其相互轉(zhuǎn)換。2.3.1邏輯函數(shù)表達(dá)式的兩種基本形式

兩種基本形式：指“與-或”表達(dá)式和“或-與”表達(dá)式。

一、“與-或”表達(dá)式

“與-或”表達(dá)式：是指由若干“與項(xiàng)”進(jìn)行“或”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。例如，“與項(xiàng)”有時(shí)又被稱為“積項(xiàng)”，相應(yīng)地“或—與”表達(dá)式又稱為“積之和”表達(dá)式。39第39頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、“或-與”表達(dá)式

“或項(xiàng)”有時(shí)又被稱為“和項(xiàng)”，相應(yīng)地“或—與”表達(dá)式又稱為“和之積”表達(dá)式。

“或-與”表達(dá)式：是指由若干“或項(xiàng)”進(jìn)行“與”運(yùn)算構(gòu)成的表達(dá)式。例如，40第40頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

該函數(shù)既不是“與—或”式？也不是“或—與”式！2.3.2邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式可以被表示成任意的混合形式。例如，

邏輯函數(shù)的基本形式都不是唯一的。例如為了在邏輯問題的研究中使邏輯功能能和唯一的邏輯表達(dá)式對應(yīng)，引入了邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式。邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式是建立在最小項(xiàng)和最大項(xiàng)概念的基礎(chǔ)之上的。41第41頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六一、最小項(xiàng)和最大項(xiàng)

（1）定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量的函數(shù)的“與項(xiàng)”包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“與項(xiàng)”被稱為最小項(xiàng)。有時(shí)又將最小項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)“與項(xiàng)”。

1．最小項(xiàng)（3）簡寫：用mi表示最小項(xiàng)。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：按照變量順序?qū)⒆钚№?xiàng)中的原變量用1表示，反變量用0表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。（2）最小項(xiàng)的數(shù)目：n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最小項(xiàng)。例如，3個(gè)變量A、B、C可以構(gòu)成、、…、

ABC共8個(gè)最小項(xiàng)。42第42頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六在由n個(gè)變量構(gòu)成的任意“與項(xiàng)”中，最小項(xiàng)是使其值為1的變量取值組合數(shù)最少的一種“與項(xiàng)”，這也就是最小項(xiàng)名字的由來。

（4）性質(zhì)——

最小項(xiàng)具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1：

任意一個(gè)最小項(xiàng)，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個(gè)最小項(xiàng)的值為1。并且，最小項(xiàng)不同，使其值為1的變量取值不同。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最小項(xiàng)AC可用m5表示。因?yàn)閙5

(5)10101AC43第43頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

性質(zhì)3：

n個(gè)變量的全部最小項(xiàng)相“或”為1。通常借用數(shù)學(xué)中的累加符號“Σ”，將其記為

性質(zhì)2：

相同變量構(gòu)成的兩個(gè)不同最小項(xiàng)相“與”為0。

因?yàn)槿魏我环N變量取值都不可能使兩個(gè)不同最小項(xiàng)同時(shí)為1，故相“與”為0。

即mi·mj=0

性質(zhì)4：

n個(gè)變量構(gòu)成的最小項(xiàng)有n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。

相鄰最小項(xiàng)：是指除一個(gè)變量互為相反外，其余部分均相同的最小項(xiàng)。例如，三變量最小項(xiàng)ABC和相鄰。44第44頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

定義：如果一個(gè)具有n個(gè)變量函數(shù)的“或項(xiàng)”包含全部n個(gè)變量，每個(gè)變量都以原變量或反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，則該“或項(xiàng)”被稱為最大項(xiàng)。有時(shí)又將最大項(xiàng)稱為標(biāo)準(zhǔn)“或項(xiàng)”。2．最大項(xiàng)

數(shù)目：n個(gè)變量可以構(gòu)成2n個(gè)最大項(xiàng)。例如，3個(gè)變量A、B、C可構(gòu)成、、…、共8個(gè)最大項(xiàng)。45第45頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)：最大項(xiàng)具有如下四條性質(zhì)。

性質(zhì)1

任意一個(gè)最大項(xiàng)，其相應(yīng)變量有且僅有一種取值使這個(gè)最大項(xiàng)的值為0。并且，最大項(xiàng)不同，使其值為0的變量取值不同。簡寫：用Mi表示最大項(xiàng)。

下標(biāo)i的取值規(guī)則是：將最大項(xiàng)中的原變量用0表示，反變量用1表示，由此得到一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，與該二進(jìn)制數(shù)對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即下標(biāo)i的值。例如，3變量A、B、C構(gòu)成的最大項(xiàng)可用M5

表示。因?yàn)镸5

(5)10101

在n個(gè)變量構(gòu)成的任意“或項(xiàng)”中，最大項(xiàng)是使其值為1的變量取值組合數(shù)最多的一種“或項(xiàng)”，因而將其稱為最大項(xiàng)。

46第46頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

性質(zhì)2

相同變量構(gòu)成的兩個(gè)不同最大項(xiàng)相“或”為1。因?yàn)槿魏我环N變量取值都不可能使兩個(gè)不同最大項(xiàng)同時(shí)為0，故相“或”為1。即Mi+Mj=1

性質(zhì)3

n個(gè)變量的全部最大項(xiàng)相“與”為0。通常借用數(shù)學(xué)中的累乘符號“Π”將其記為

性質(zhì)4

n個(gè)變量構(gòu)成的最大項(xiàng)有n個(gè)相鄰最大項(xiàng)。相鄰最大項(xiàng)是指除一個(gè)變量互為相反外，其余變量均相同的最大項(xiàng)。47第47頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六兩變量最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的真值表如下。m2

000101001000M3

M2

M1

M0

m3

m1m0

0010111011011011011100011011AB最大項(xiàng)最小項(xiàng)變量

2變量最小項(xiàng)、最大項(xiàng)真值表

真值表反映了最小項(xiàng)、最大項(xiàng)的有關(guān)性質(zhì)。48第48頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六3．最小項(xiàng)和最大項(xiàng)的關(guān)系

在同一問題中，下標(biāo)相同的最小項(xiàng)和最大項(xiàng)互為反函數(shù)?；蛘哒f，相同變量構(gòu)成的最小項(xiàng)mi和最大項(xiàng)Mi之間存在互補(bǔ)關(guān)系。即或者例如，由3變量A、B、C構(gòu)成的最小項(xiàng)m3和最大項(xiàng)M3之間有49第49頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式

邏輯函數(shù)表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)形式有標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式和標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式兩種類型。1．標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

由若干最小項(xiàng)相“或”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式，也叫做最小項(xiàng)表達(dá)式。該函數(shù)表達(dá)式又可簡寫為F(A，B，C)=m1+m2+m4+m7

=例如，如下所示為一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式

50第50頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2．標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式

由若干最大項(xiàng)相“與”構(gòu)成的邏輯表達(dá)式稱為標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式，也叫做最大項(xiàng)表達(dá)式。該表達(dá)式又可簡寫為例如，、、為3變量構(gòu)成的3個(gè)最大項(xiàng)，對這3個(gè)最大項(xiàng)進(jìn)行“與”運(yùn)算，即可得到一個(gè)3變量函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式51第51頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.3.3邏輯函數(shù)表達(dá)式的轉(zhuǎn)換將一個(gè)任意邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式有兩種常用方法。一、代數(shù)轉(zhuǎn)換法

1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式一般步驟如下：

第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成一般“與-或”表達(dá)式。

所謂代數(shù)轉(zhuǎn)換法，就是利用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則進(jìn)行邏輯變換，將函數(shù)表達(dá)式從一種形式變換為另一種形式。

第二步：反復(fù)使用將表達(dá)式中所有非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。52第52頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例將邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。

解第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成“與-或”表達(dá)式。即第二步：把“與-或”式中非最小項(xiàng)的“與項(xiàng)”擴(kuò)展成最小項(xiàng)。53第53頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六所得標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式的簡寫形式為當(dāng)給出函數(shù)表達(dá)式已經(jīng)是“與-或”表達(dá)式時(shí)，可直接進(jìn)行第二步。

2.求一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式

一般步驟：

第一步：將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換成一般“或-與”表達(dá)式。

第二步：反復(fù)利用定理把表達(dá)式中所有非最大項(xiàng)的“或項(xiàng)”擴(kuò)展成最大項(xiàng)。54第54頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六解

第一步：將函數(shù)表達(dá)式變換成“或-與”表達(dá)式。即例將邏輯函數(shù)表達(dá)式變換成標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式。=155第55頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

第二步：將所得“或-與”表達(dá)中的非最大項(xiàng)擴(kuò)展成最大項(xiàng)。即當(dāng)給出函數(shù)已經(jīng)是“或-與”表達(dá)式時(shí)，可直接進(jìn)行第二步。該標(biāo)準(zhǔn)“或-與”表達(dá)式的簡寫形式為56第56頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、真值表轉(zhuǎn)換法

具體：真值表上使函數(shù)值為1的變量取值組合對應(yīng)的最小項(xiàng)相“或”,即可構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式。

邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式與真值表具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

假定函數(shù)F的真值表中有k組變量取值使F的值為1，其他變量取值下F的值為0，那么，函數(shù)F的最小項(xiàng)表達(dá)式由這k組變量取值對應(yīng)的k個(gè)最小項(xiàng)相或組成。

1.求標(biāo)準(zhǔn)“與-或”式57第57頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六1001

1011

0110

ABCF

11011110

0000

0101

0010

函數(shù)的真值表

解:

首先，列出F的真值表如下表所示，然后，根據(jù)真值表可直接寫出F的最小項(xiàng)表達(dá)式例將函數(shù)表達(dá)式變換成標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式。58第58頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

具體：真值表上使函數(shù)值為0的變量取值組合對應(yīng)的最大項(xiàng)相“與”即可構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式。

2.求一個(gè)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)“或-與”式

邏輯函數(shù)的最大項(xiàng)表達(dá)式與真值表之間同樣具有一一對應(yīng)的關(guān)系。

假定在函數(shù)F的真值表中有p組變量取值使F的值為0，其他變量取值下F的值為1，那么，函數(shù)F的最大項(xiàng)表達(dá)式由這p組變量取值對應(yīng)的p個(gè)最大項(xiàng)“相與”組成。59第59頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

解：首先，列出F的真值表如下表所示。然后，根據(jù)真值表直接寫出F的最大項(xiàng)表達(dá)式函數(shù)的真值表1

0

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

0

A

B

C

F

0

0

0

0

0

0

1

1

例將函數(shù)表達(dá)式表示成最大項(xiàng)表達(dá)式的形式。60第60頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六由于函數(shù)的真值表與函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系，而任何個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，可見，任何一個(gè)邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式也是唯一的。邏輯函數(shù)表達(dá)式的唯一性給我們分析和研究邏輯問題帶來了很大的方便。61第61頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.4邏輯函數(shù)化簡

實(shí)現(xiàn)某一邏輯功能的邏輯電路的復(fù)雜性與描述該功能的邏輯表達(dá)式的復(fù)雜性直接相關(guān)。

為了降低系統(tǒng)成本、減小復(fù)雜度、提高可靠性，必須對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡。

由于“與-或”表達(dá)式和“或-與”表達(dá)式可以很方便地轉(zhuǎn)換成任何其他所要求的形式。因此，從這兩種基本形式出發(fā)討論函數(shù)化簡問題，并將重點(diǎn)放在“與-或”表達(dá)式的化簡上。邏輯函數(shù)化簡有3種常用方法。即：代數(shù)化簡法、卡諾圖化簡法和列表化簡法。62第62頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.4.1代數(shù)化簡法

代數(shù)化簡法就是運(yùn)用邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數(shù)進(jìn)行化簡的方法。

一、“與-或”表達(dá)式的化簡

最簡“與-或”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：

1．表達(dá)式中的“與”項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個(gè)“與”項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)最少。

滿足上述兩個(gè)條件可以使相應(yīng)邏輯電路中所需門的數(shù)量以及門的輸入端個(gè)數(shù)均為最少，從而使電路最經(jīng)濟(jì)。63第63頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六幾種常用方法如下：

1．并項(xiàng)法

2．吸收法利用定理3中A+AB=A

，吸收多余的項(xiàng)。例如，利用定理7中的，將兩個(gè)“與”項(xiàng)合并成一個(gè)“與”項(xiàng)，合并后消去一個(gè)變量。例如，64第64頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六3．消去法

利用定理4中，消去多余變量。例如，4．配項(xiàng)法利用公理4和公理5中的A·1=A及A+A=1，先從函數(shù)式中適當(dāng)選擇某些“與”項(xiàng)，并配上其所缺的一個(gè)合適的變量，然后再利用并項(xiàng)、吸收和消去等方法進(jìn)行化簡。例如，65第65頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例

化簡

解

實(shí)際應(yīng)用中遇到的邏輯函數(shù)往往比較復(fù)雜，化簡時(shí)應(yīng)靈活使用所學(xué)的公理、定理及規(guī)則，綜合運(yùn)用各種方法。66第66頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例

化簡

解

67第67頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六二、“或-與”表達(dá)式的化簡

最簡“或-與”表達(dá)式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：

1．表達(dá)式中的“或”項(xiàng)個(gè)數(shù)最少；

2．在滿足上述條件的前提下，每個(gè)“或”項(xiàng)中的變量個(gè)數(shù)最少。

用代數(shù)化簡法化簡“或-與”表達(dá)式可直接運(yùn)用公理、定理中的“或-與”形式，并綜合運(yùn)用前面介紹“與-或”表達(dá)式化簡時(shí)提出的各種方法進(jìn)行化簡。68第68頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例化簡

解

此外，可以采用兩次對偶法。具體如下：

第一步：對“或-與”表達(dá)式表示的函數(shù)F求對偶，得到“與-或”表達(dá)式F’；

第二步：求出F’的最簡“與-或”表達(dá)式；

第三步：對F’再次求對偶,即可得到F的最簡“或-與”表達(dá)式。69第69頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例化簡

第二步：化簡F’；

第三步：對F'求對偶,得到F的最簡“或-與”表達(dá)式。解第一步：求F的對偶式F’；70第70頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六歸納：

代數(shù)化簡法的優(yōu)點(diǎn)是：不受變量數(shù)目的約束；當(dāng)對公理、定理和規(guī)則十分熟練時(shí)，化簡比較方便。缺點(diǎn)是：沒有一定的規(guī)律和步驟，技巧性很強(qiáng)，而且在很多情況下難以判斷化簡結(jié)果是否最簡。71第71頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六2.4.2卡諾圖化簡法

卡諾圖化簡法具有簡單、直觀、容易掌握等優(yōu)點(diǎn)，在邏輯設(shè)計(jì)中得到廣泛應(yīng)用。一、卡諾圖的構(gòu)成

卡諾圖是一種平面方格圖，每個(gè)小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)，故又稱為最小項(xiàng)方格圖。

結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：

(1)n個(gè)變量的卡諾圖由2n個(gè)小方格構(gòu)成；

(2)幾何圖形上處在相鄰、相對、相重位置的小方格所代表的最小項(xiàng)為相鄰最小項(xiàng)。72第72頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

2變量、3變量、4變量卡諾圖如圖(a)、(b)、(c)所示。m3

m1

m2m0

AB0110(a)0m5m4m7m6m3

m1

m2m0

100011110ABC(b)m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4m0

00011110ABCD00011110(c)73第73頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例如，四變量卡諾圖中，如m5的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)分別是和m5相連的m1，m4，m7，m13。

m2的4個(gè)相鄰最小項(xiàng)除了與之幾何相鄰的m3和m6之外，另外兩個(gè)是處在“相對”位置的m0(同一列的兩端)和m10(同一行的兩端)。這種相鄰稱為相對相鄰。

m10m14m6m2m11m15m7m3m9m8m13m12m5

m1

m4

m0

00011110ABCD00011110從各卡諾圖可以看出，在n個(gè)變量的卡諾圖中，能從圖形上直觀、方便地找到每個(gè)最小項(xiàng)的n個(gè)相鄰最小項(xiàng)。74第74頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六10146211157398131251

402630221827312319252429282117201600011110000001011010100101111110ABCDE(d)

5變量卡諾圖

5變量卡諾圖如圖（d）所示。此外，處在“相重”位置的最小項(xiàng)相鄰，如五變量卡諾圖中的m3，除了幾何相鄰的m1，m2，m7和相對相鄰的m11外，還與m19相鄰。這種相鄰稱為重疊相鄰。75第75頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六m15m7m13m5

00011110ABCD00011110BD二、卡諾圖的性質(zhì)

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)的基本原理：把卡諾圖上表征相鄰最小項(xiàng)的相鄰小方格“圈”在一起進(jìn)行合并，達(dá)到用一個(gè)簡單“與”項(xiàng)代替若干最小項(xiàng)的目的。

通常把用來包圍那些能由一個(gè)簡單“與”項(xiàng)代替的若干最小項(xiàng)的“圈”稱為卡諾圈。

性質(zhì)：可以從圖形上直觀地找出相鄰最小項(xiàng)合并。合并的理論依據(jù)是并項(xiàng)定理：。76第76頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六三、邏輯函數(shù)在卡諾圖上的表示

當(dāng)邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式時(shí)，只需在卡諾圖上找出和表達(dá)式中最小項(xiàng)對應(yīng)的小方格填上1，其余小方格填上0，即可得到該函數(shù)的卡諾圖。

1．給定邏輯函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)“與-或”表達(dá)式例如，3變量函數(shù)的卡諾圖如下圖所示。

00010111

0100011110ABC

F(A,B,C)=∑m(1,2,3,7)的卡諾圖77第77頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六例如，4變量函數(shù)

的卡諾圖如右圖所示。

010111110011000000011110ABCD00011110為了敘述的方便，通常將卡諾圖上填1的小方格稱為1方格，填0的小方格稱為0方格。0方格有時(shí)用空格表示。

2．邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式

當(dāng)邏輯函數(shù)為一般“與-或”表達(dá)式時(shí)，可根據(jù)“與”的公共性和“或”的疊加性作出相應(yīng)卡諾圖。78第78頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六四、卡諾圖上最小項(xiàng)的合并規(guī)律

1．兩個(gè)小方格相鄰,或處于某行(列)兩端時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去一個(gè)變量。

例如，下圖給出了2、3變量卡諾圖上兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。

當(dāng)一個(gè)函數(shù)用卡諾圖表示后，究竟哪些最小項(xiàng)可以合并呢？下面以2、3、4變量卡諾圖為例予以說明。兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的情況A0110B10100110B1010B1101B1010ABA0100010100011110ABC01ABBC79第79頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

2．四個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成一行（列）、或處于相鄰兩行（列）的兩端、或處于四角時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去兩個(gè)變量。

例如,下圖給出了3變量卡諾圖上四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。0011101000011110ABC01BB1100010100011110ABC0180第80頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的幾種情況00011110CD1001011001101001AB00011110BDBD00011110CD0110100110010110AB00011110BDBD00011110CD0010111100001010AB00011110CDAB4變量卡諾圖上四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況：81第81頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

3．八個(gè)小方格組成一個(gè)大方格、或組成相鄰的兩行(列)、或處于兩個(gè)邊行(列)時(shí)，所代表的最小項(xiàng)可以合并，合并后可消去三個(gè)變量。

例如，下圖給出了3、4變量卡諾圖上八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的典型情況的。8個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并的兩種情況111101100111101100011110ABCD00011110(b)BD1111111100011110ABC011(a)82第82頁，共94頁，2023年，2月20日，星期六

n個(gè)變量卡諾圖中最小項(xiàng)的合并規(guī)律歸納如下：

(1)卡諾圈中小方格的個(gè)數(shù)必須為2m個(gè)，m為小于或等于n的整數(shù)。

(2)卡諾圈中的2m個(gè)小方格有一定的排列規(guī)律，具體地說，它們含有m個(gè)不同變量，(n-m)個(gè)相同變量。

(3)