數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課件第七章圖

數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)課件第七章圖第1頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

圖是由一個(gè)頂點(diǎn)集V和一個(gè)弧集R構(gòu)成的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。Graph=(V,R)其中，R＝{<v,w>|v,w∈V且P(v,w)}

<v,w>表示從v到w的一條弧，并稱v為弧頭，w為弧尾。

圖的結(jié)構(gòu)定義:VW第2頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

由于“弧”是有方向的，因此稱由頂點(diǎn)集和弧集構(gòu)成的圖為有向圖。

ABECD例如:G1=(V1,VR1)其中V1={A,B,C,D,E}VR1={<A,B>,<A,E>,<B,C>,<C,D>,<D,B>,<D,A>,<E,C>}第3頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六若<v,w>VR

必有<w,v>VR,則稱(v,w)為頂點(diǎn)v和頂點(diǎn)w之間存在一條邊。

BCADFE由頂點(diǎn)集和邊集構(gòu)成的圖稱作無向圖。例如:G2=(V2,VR2)V2={A,B,C,D,E,F}VR2={(A,B),(A,E),(B,E),(C,D),(D,F),(B,F),(C,F)}第4頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六名詞和術(shù)語網(wǎng)、子圖

完全圖、稀疏圖、稠密圖鄰接點(diǎn)、度、入度、出度路徑、路徑長度、簡單路徑、簡單回路連通圖、連通分量、強(qiáng)連通圖、強(qiáng)連通分量生成樹、生成森林第5頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六ABECFAEABBC設(shè)圖G=(V,{VR})和圖

G=(V,{VR}),且

VV,VRVR,則稱

G為G的子圖。1597211132

弧或邊帶權(quán)的圖分別稱作有向網(wǎng)或無向網(wǎng)。第6頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六假設(shè)圖中有

n

個(gè)頂點(diǎn)，e

條邊，則

含有e=n(n-1)/2條邊的無向圖稱作完全圖；

含有e=n(n-1)條弧的有向圖稱作

有向完全圖；若邊或弧的個(gè)數(shù)e<nlogn，則稱作稀疏圖，否則稱作稠密圖。第7頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

假若頂點(diǎn)v和頂點(diǎn)w之間存在一條邊，則稱頂點(diǎn)v

和w

互為鄰接點(diǎn)，ACDFE例如:ID(B)=3ID(A)=2邊(v,w)

和頂點(diǎn)v和w

相關(guān)聯(lián)。

和頂點(diǎn)v關(guān)聯(lián)的邊的數(shù)目定義為頂點(diǎn)v的度。B第8頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六頂點(diǎn)的出度:以頂點(diǎn)v為弧尾的弧的數(shù)目；ABECF對(duì)有向圖來說，頂點(diǎn)的入度:以頂點(diǎn)v為弧頭的弧的數(shù)目。頂點(diǎn)的度(TD)=出度(OD)+入度(ID)例如:ID(B)=2OD(B)=1TD(B)=3第9頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)圖G=(V,{VR})中的一個(gè)頂點(diǎn)序列{u=vi,0,vi,1,…,vi,m=w}中，(vi,j-1,vi,j)VR1≤j≤m,則稱從頂點(diǎn)u到頂點(diǎn)w之間存在一條路徑。路徑上邊的數(shù)目稱作路徑長度。ABECF如:長度為3的路徑{A,B,C,F}簡單路徑:序列中頂點(diǎn)不重復(fù)出現(xiàn)的路徑。簡單回路:序列中第一個(gè)頂點(diǎn)和最后一個(gè)頂點(diǎn)相同的路徑。第10頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六若圖G中任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有路徑相通，則稱此圖為連通圖；若無向圖為非連通圖，則圖中各個(gè)極大連通子圖稱作此圖的連通分量。BACDFEBACDFE第11頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

若任意兩個(gè)頂點(diǎn)之間都存在一條有向路徑，則稱此有向圖為強(qiáng)連通圖。ABECFABECF對(duì)有向圖，否則，其各個(gè)強(qiáng)連通子圖稱作它的強(qiáng)連通分量。第12頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

假設(shè)一個(gè)連通圖有n個(gè)頂點(diǎn)和e條邊，其中n-1條邊和n個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)極小連通子圖，稱該極小連通子圖為此連通圖的生成樹。對(duì)非連通圖，則稱由各個(gè)連通分量的生成樹的集合為此非連通圖的生成森林。BACDFE第13頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六結(jié)構(gòu)的建立和銷毀插入或刪除頂點(diǎn)對(duì)鄰接點(diǎn)的操作對(duì)頂點(diǎn)的訪問操作遍歷插入和刪除弧基本操作第14頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六CreatGraph(&G,V,VR)://按定義(V,VR)構(gòu)造圖DestroyGraph(&G)://銷毀圖結(jié)構(gòu)的建立和銷毀第15頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)頂點(diǎn)的訪問操作LocateVex(G,u);

//若G中存在頂點(diǎn)u，則返回該頂點(diǎn)在

//圖中“位置”

；否則返回其它信息。GetVex(G,v);//返回v的值。PutVex(&G,v,value);//對(duì)v賦值value。第16頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六對(duì)鄰接點(diǎn)的操作FirstAdjVex(G,v);

//返回v的“第一個(gè)鄰接點(diǎn)”。若該頂點(diǎn)//在G中沒有鄰接點(diǎn)，則返回“空”。NextAdjVex(G,v,w);

//返回v的（相對(duì)于w的）“下一個(gè)鄰接//點(diǎn)”。若w是v的最后一個(gè)鄰接點(diǎn)，則//返回“空”。第17頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六插入或刪除頂點(diǎn)InsertVex(&G,v);

//在圖G中增添新頂點(diǎn)v。DeleteVex(&G,v);//刪除G中頂點(diǎn)v及其相關(guān)的弧。第18頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六插入和刪除弧InsertArc(&G,v,w);//在G中增添弧<v,w>，若G是無向的，

//則還增添對(duì)稱弧<w,v>。DeleteArc(&G,v,w);

//在G中刪除弧<v,w>，若G是無向的，

//則還刪除對(duì)稱弧<w,v>。第19頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六遍歷DFSTraverse(G,v,Visit());//從頂點(diǎn)v起深度優(yōu)先遍歷圖G，并對(duì)每//個(gè)頂點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。BFSTraverse(G,v,Visit());

//從頂點(diǎn)v起廣度優(yōu)先遍歷圖G，并對(duì)每//個(gè)頂點(diǎn)調(diào)用函數(shù)Visit一次且僅一次。第20頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.2圖的存儲(chǔ)表示一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲(chǔ)表示二、圖的鄰接表存儲(chǔ)表示三、有向圖的十字鏈表存儲(chǔ)表示四、無向圖的鄰接多重表存儲(chǔ)表示第21頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六Aij={0(i,j)VR1(i,j)VR一、圖的數(shù)組(鄰接矩陣)存儲(chǔ)表示BACDFE定義:矩陣的元素為無向圖的鄰接矩陣為對(duì)稱矩陣ABCDEFABCDEF第22頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六有向圖的鄰接矩陣為非對(duì)稱矩陣ABDCEABCDEABCDE第23頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六鄰接矩陣表示法特點(diǎn)：1）無向圖鄰接矩陣是對(duì)稱矩陣，同一條邊表示了兩次；2）頂點(diǎn)v的度：在無向圖中等于二維數(shù)組對(duì)應(yīng)行（或列）中1的個(gè)數(shù)；在有向圖中,統(tǒng)計(jì)第i行1的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)i的出度，統(tǒng)計(jì)第j列1的個(gè)數(shù)可得頂點(diǎn)j的入度。3）判斷兩頂點(diǎn)v、u是否為鄰接點(diǎn)：只需判二維數(shù)組對(duì)應(yīng)分量是否為1；4）頂點(diǎn)不變，在圖中增加、刪除邊：只需對(duì)二維數(shù)組對(duì)應(yīng)分量賦值1或清0；5）設(shè)存儲(chǔ)頂點(diǎn)的一維數(shù)組大小為n(圖的頂點(diǎn)數(shù)n),G占用存儲(chǔ)空間：n+n2；G占用存儲(chǔ)空間只與它的頂點(diǎn)數(shù)有關(guān)，與邊數(shù)無關(guān)；適用于邊稠密的圖；第24頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstructArcCell{//弧的定義

VRTypeadj;//VRType是頂點(diǎn)關(guān)系類型

//對(duì)無權(quán)圖，用1或0表示相鄰否；

//對(duì)帶權(quán)圖，則為權(quán)值類型。

InfoType*info;//該弧相關(guān)信息的指針}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];第25頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstruct{//圖的定義

VertexType//頂點(diǎn)信息

vexs[MAX_VERTEX_NUM];AdjMatrixarcs;//弧的信息

intvexnum,arcnum;//頂點(diǎn)數(shù)，弧數(shù)

GraphKindkind;//圖的種類標(biāo)志

}MGraph;第26頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣ABDCE1597211132第27頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六0A141B0452C353D254E015F123BACDFE二、圖的鄰接表存儲(chǔ)表示

同一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)出的邊鏈接在同一個(gè)邊鏈表中，每一個(gè)鏈結(jié)點(diǎn)代表一條邊(邊結(jié)點(diǎn)),結(jié)點(diǎn)中有另一頂點(diǎn)的下標(biāo)adjvex

和指針nextedge。第28頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六142301201234

ABCDE有向圖的鄰接表ABECD可見，在有向圖的鄰接表中不易找到指向該頂點(diǎn)的弧。第29頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六ABECD有向圖的逆鄰接表ABCDE30342001234在有向圖的鄰接表中，對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，鏈接的是指向該頂點(diǎn)的弧。第30頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六鄰接表表示法特點(diǎn)：1）無向圖鄰接表邊結(jié)點(diǎn)數(shù)是邊數(shù)的兩倍.2）頂點(diǎn)vi的度：在無向圖中等于第i個(gè)鏈表中的結(jié)點(diǎn)數(shù)；在有向圖鄰接表中,第i行的結(jié)點(diǎn)數(shù)等于頂點(diǎn)i的出度，在有向圖逆鄰接表中,第i行的結(jié)點(diǎn)數(shù)等于頂點(diǎn)i的入度。3）在鄰接表上容易找到任一頂點(diǎn)的第一個(gè)鄰接點(diǎn)和下一個(gè)鄰接點(diǎn)4）設(shè)存儲(chǔ)頂點(diǎn)的一維數(shù)組大小為n(圖的頂點(diǎn)數(shù)n),G占用存儲(chǔ)空間：n+e；G占用存儲(chǔ)空間與它的頂點(diǎn)數(shù)和邊數(shù)有關(guān)；適用于邊稀疏的圖；第31頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstructArcNode{

intadjvex;//該弧所指向的頂點(diǎn)的位置

structArcNode*nextarc;//指向下一條弧的指針

InfoType*info;//該弧相關(guān)信息的指針}ArcNode;adjvexnextarcinfo弧的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)第32頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstructVNode{

VertexTypedata;//頂點(diǎn)信息

ArcNode*firstarc;//指向第一條依附該頂點(diǎn)的弧

}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];

datafirstarc頂點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)第33頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstruct{

AdjListvertices;

intvexnum,arcnum;

intkind;//圖的種類標(biāo)志

}ALGraph;圖的結(jié)構(gòu)定義第34頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六三、有向圖的十字鏈表存儲(chǔ)表示

弧的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)弧尾頂點(diǎn)位置弧頭頂點(diǎn)位置弧的相關(guān)信息指向下一個(gè)有相同弧尾的結(jié)點(diǎn)指向下一個(gè)有相同弧頭的結(jié)點(diǎn)typedefstructArcBox{//弧的結(jié)構(gòu)表示

inttailvex,headvex;InfoType*info;structArcBox*hlink,*tlink;

}VexNode;第35頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六頂點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)信息數(shù)據(jù)指向該頂點(diǎn)的第一條入弧指向該頂點(diǎn)的第一條出弧typedefstructVexNode{//頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)表示

VertexTypedata;ArcBox*firstin,*firstout;}VexNode;第36頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstruct{VexNodexlist[MAX_VERTEX_NUM];//頂點(diǎn)結(jié)點(diǎn)(表頭向量)

intvexnum,arcnum;//有向圖的當(dāng)前頂點(diǎn)數(shù)和弧數(shù)}OLGraph;有向圖的結(jié)構(gòu)表示(十字鏈表)第37頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六ABCDABCD010220233031320123第38頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六四、無向圖的鄰接多重表存儲(chǔ)表示typedefstructEbox{VisitIfmark;//訪問標(biāo)記

intivex,jvex;//該邊依附的兩個(gè)頂點(diǎn)的位置

structEBox*ilink,*jlink;InfoType*info;//該邊信息指針}EBox;邊的結(jié)構(gòu)表示第39頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六typedefstruct{//鄰接多重表

VexBoxadjmulist[MAX_VERTEX_NUM];

intvexnum,edgenum;

}AMLGraph;頂點(diǎn)的結(jié)構(gòu)表示typedefstructVexBox{VertexTypedata;EBox*firstedge;//指向第一條依附該頂點(diǎn)的邊}VexBox;無向圖的結(jié)構(gòu)表示第40頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六ABCDE01234ABCDE010321232441第41頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.3圖的遍歷

從圖中某個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)游歷圖，訪遍圖中其余頂點(diǎn)，并且使圖中的每個(gè)頂點(diǎn)僅被訪問一次的過程。深度優(yōu)先搜索廣度優(yōu)先搜索遍歷應(yīng)用舉例第42頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

從圖中某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)，訪問此頂點(diǎn)，然后依次從V0的各個(gè)未被訪問的鄰接點(diǎn)出發(fā)深度優(yōu)先搜索遍歷圖，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點(diǎn)都被訪問到。一、深度優(yōu)先搜索遍歷圖連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷第43頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六Vw1SG1SG2SG3W1、W2和W3

均為V的鄰接點(diǎn)，SG1、SG2和SG3分別為含頂點(diǎn)W1、W2和W3

的子圖。訪問頂點(diǎn)V：for(W1、W2、W3)

若該鄰接點(diǎn)W未被訪問，

則從它出發(fā)進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷。w2w3w2第44頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六從上頁的圖解可見:1.從深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖的過程類似于樹的先根遍歷；解決的辦法是：為每個(gè)頂點(diǎn)設(shè)立一個(gè)“訪問標(biāo)志visited[w]”。2.如何判別V的鄰接點(diǎn)是否被訪問？第45頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六acbdegfFFFFFFFTTTTTTTacbdgfeacbgfed訪問標(biāo)志:訪問次序:例如:01234560234516第46頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六voidDFS(GraphG,intv){//從頂點(diǎn)v出發(fā)，深度優(yōu)先搜索遍歷連通圖Gvisited[v]=TRUE;VisitFunc(v);

for(w=FirstAdjVex(G,v);w!=0;w=NextAdjVex(G,v,w))

if(!visited[w])DFS(G,w);

//對(duì)v的尚未訪問的鄰接頂點(diǎn)w//遞歸調(diào)用DFS}//DFS第47頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六首先將圖中每個(gè)頂點(diǎn)的訪問標(biāo)志設(shè)為FALSE,之后搜索圖中每個(gè)頂點(diǎn)，如果未被訪問，則以該頂點(diǎn)為起始點(diǎn)，進(jìn)行深度優(yōu)先搜索遍歷，否則繼續(xù)檢查下一頂點(diǎn)。非連通圖的深度優(yōu)先搜索遍歷第48頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abchdekfgFFFFFFFFFTTTTTTTTTachdkfebgachkfedbg訪問標(biāo)志:訪問次序:例如:012345678021345678第49頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六voidDFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

//對(duì)圖G作深度優(yōu)先遍歷。

VisitFunc=Visit;

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//訪問標(biāo)志數(shù)組初始化

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(!visited[v])DFS(G,v);//對(duì)尚未訪問的頂點(diǎn)調(diào)用DFS}第50頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六二、廣度優(yōu)先搜索遍歷圖Vw1w8w3w7w6w2w5w4對(duì)連通圖，從起始點(diǎn)V到其余各頂點(diǎn)必定存在路徑。其中，V->w1,V->w2,V->w8

的路徑長度為1；V->w7,V->w3,V->w5

的路徑長度為2；V->w6,V->w4

的路徑長度為3。w1Vw2w7w6w3w8w5w4第51頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六從圖中的某個(gè)頂點(diǎn)V0出發(fā)，并在訪問此頂點(diǎn)之后依次訪問V0的所有未被訪問過的鄰接點(diǎn)，之后分別從這些鄰接點(diǎn)出發(fā)依次訪問它們的鄰接點(diǎn)，并使“先被訪問的頂點(diǎn)的鄰接點(diǎn)”先于“后被訪問的頂點(diǎn)的鄰接點(diǎn)”被訪問，直至圖中所有和V0有路徑相通的頂點(diǎn)都被訪問到。若此時(shí)圖中尚有頂點(diǎn)未被訪問，則另選圖中一個(gè)未曾被訪問的頂點(diǎn)作起始點(diǎn)，重復(fù)上述過程，直至圖中所有頂點(diǎn)都被訪問到為止。第52頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六Vw1w8w3w7w6w2w5w4w1Vw2w7w6w3w8w5w4FFFFFFFFFTTTTTTTTT012345678VisitedQV訪問次序:w1w2w8w4w7w3w5w6第53頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

voidBFSTraverse(GraphG,

Status(*Visit)(intv)){

for(v=0;v<G.vexnum;++v)visited[v]=FALSE;//初始化訪問標(biāo)志

InitQueue(Q);

//置空的輔助隊(duì)列Q

for(v=0;v<G.vexnum;++v)

if(

!visited[v]){

//v尚未訪問

}

}//BFSTraverse……第54頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六visited[u]=TRUE;Visit(u);//訪問uEnQueue(Q,v);

//v入隊(duì)列while(!QueueEmpty(Q)){

DeQueue(Q,u);//隊(duì)頭元素出隊(duì)并置為ufor(w=FirstAdjVex(G,u);w!=0;w=NextAdjVex(G,u,w))

if(!visited[w])

{

visited[w]=TRUE;Visit(w);EnQueue(Q,w);

//訪問的頂點(diǎn)w入隊(duì)列

}//if}//while第55頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

連通分量(Connectedcomponent)

當(dāng)無向圖為非連通圖時(shí),從圖中某一頂點(diǎn)出發(fā),利用深度優(yōu)先搜索算法或廣度優(yōu)先搜索算法不可能遍歷到圖中的所有頂點(diǎn),只能訪問到該頂點(diǎn)所在的最大連通子圖(連通分量)的所有頂點(diǎn)。圖的連通性問題LEDHGABFICJKM第56頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

若從無向圖的每一個(gè)連通分量中的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)進(jìn)行遍歷,可求得無向圖的所有連通分量。求連通分量的算法需要對(duì)圖的每一個(gè)頂點(diǎn)進(jìn)行檢測：若已被訪問過，則該頂點(diǎn)一定是落在圖中已求得的連通分量上；若還未被訪問，則從該頂點(diǎn)出發(fā)遍歷圖，可求得圖的另一個(gè)連通分量。對(duì)于非連通的無向圖，所有連通分量的生成樹組成了非連通圖的生成森林。EDHGIKLABFCJMHGIKLABFCJMED第57頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六非連通無向圖DFS訪問序列:ALMJBFCDEGKHILABFCJMHGIKLABFCJMEDEDHGIKHGIKLABFCJMED第58頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.4(連通網(wǎng)的)最小生成樹

假設(shè)要在n個(gè)城市之間建立通訊聯(lián)絡(luò)網(wǎng)，則連通n個(gè)城市只需要修建n-1條線路，如何在最節(jié)省經(jīng)費(fèi)的前提下建立這個(gè)通訊網(wǎng)？問題：第59頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六構(gòu)造網(wǎng)的一棵最小生成樹，即：在e條帶權(quán)的邊中選取n-1條邊（不構(gòu)成回路），使“權(quán)值之和”為最小。算法二：（克魯斯卡爾算法）該問題等價(jià)于：算法一：（普里姆算法）第60頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六假設(shè)N={V,{E})是連通網(wǎng)，TE是N上最小生成樹邊的集合。算法從U＝{u0}(u0∈V)，TE={}開始，重復(fù)執(zhí)行下述操作：在所有u∈V，v∈V-U的邊(u,v)∈E中找一條代價(jià)最小的邊（u0，v0）并入集合TE,同時(shí)v0并入U(xiǎn)，直至U=V為止。此時(shí)TE中必有n-1條邊，則T=(V,{TE})為N的最小生成樹。普里姆算法的基本思想:第61頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六在生成樹的構(gòu)造過程中，圖中n個(gè)頂點(diǎn)分屬兩個(gè)集合：已落在生成樹上的頂點(diǎn)集U

和尚未落在生成樹上的頂點(diǎn)集V-U

，則應(yīng)在所有連通U中頂點(diǎn)和V-U中頂點(diǎn)的邊中選取權(quán)值最小的邊。

一般情況下所添加的頂點(diǎn)應(yīng)滿足下列條件:第62頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcdegf例如:195141827168213ae12dcbgf7148531621所得生成樹權(quán)值和=14+8+3+5+16+21=67第63頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六設(shè)置一個(gè)輔助數(shù)組，對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)，記錄從頂點(diǎn)集U到V－U具有代價(jià)最小的邊：struct{VertexTypeadjvex;//U集中的頂點(diǎn)

VRTypelowcost;//邊的權(quán)值}closedge[MAX_VERTEX_NUM];

adjvexlowcost第64頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcdegf195141827168213ae12dcb7aaa19141814e12ee8168d3dd7213c550123456U:V-U:abcdefgfg1621019∞∞14∞181905712∞∞∞503∞∞∞∞730821∞1412∞80∞16∞∞∞21∞02718∞∞∞16270abcdefgabcdefg第65頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六voidMiniSpanTree_P(MGraphG,VertexTypeu){//用普里姆算法從頂點(diǎn)u出發(fā)構(gòu)造網(wǎng)G的最小生成樹

k=LocateVex(G,u);

for(j=0;j<G.vexnum;++j)//輔助數(shù)組初始化

if(j!=k)

closedge[j]={u,G.arcs[k][j].adj};

closedge[k].lowcost=0;//初始，U＝{u}

for(i=0;i<G.vexnum;++i){}繼續(xù)向生成樹上添加頂點(diǎn);第66頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

k=minimum(closedge);

//求出加入生成樹的下一個(gè)頂點(diǎn)(k)

printf(closedge[k].adjvex,G.vexs[k]);//輸出生成樹上一條邊

closedge[k].lowcost=0;//第k頂點(diǎn)并入U(xiǎn)集

for(j=0;j<G.vexnum;++j)//修改其它頂點(diǎn)的最小邊

if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].lowcost)closedge[j]={G.vexs[k],G.arcs[k][j].adj};

第67頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六具體做法:先構(gòu)造一個(gè)只含n個(gè)頂點(diǎn)的子圖SG，然后從權(quán)值最小的邊開始，若它的添加不使SG中產(chǎn)生回路，則在SG上加上這條邊，如此重復(fù)，直至加上n-1條邊為止?？紤]問題的出發(fā)點(diǎn):為使生成樹上邊的權(quán)值之和達(dá)到最小，則應(yīng)使生成樹中每一條邊的權(quán)值盡可能地小?？唆斔箍査惴ǖ幕舅枷耄旱?8頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcdegf195141827168213ae12dcbgf7148531621例如:7121819第69頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六算法描述:構(gòu)造非連通圖ST=(V,{});k=i=0;//k計(jì)選中的邊數(shù)

while(k<n-1){++i;

檢查邊集E中第i條權(quán)值最小的邊(u,v);

若(u,v)加入ST后不使ST中產(chǎn)生回路，

則輸出邊(u,v);

且k++;}第70頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六普里姆算法克魯斯卡爾算法時(shí)間復(fù)雜度O(n2)O(eloge)稠密圖稀疏圖算法名適應(yīng)范圍比較兩種算法第71頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.7拓?fù)渑判?/p>

問題:

假設(shè)以有向圖表示一個(gè)工程的施工圖或程序的數(shù)據(jù)流圖，則圖中不允許出現(xiàn)回路。

檢查有向圖中是否存在回路的方法之一，是對(duì)有向圖進(jìn)行拓?fù)渑判?。?2頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六何謂“拓?fù)渑判颉?？?duì)有向圖進(jìn)行如下操作：

按照有向圖給出的次序關(guān)系，將圖中頂點(diǎn)排成一個(gè)線性序列，對(duì)于有向圖中沒有限定次序關(guān)系的頂點(diǎn)，則可以人為加上任意的次序關(guān)系。第73頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六例如：對(duì)于下列有向圖BDAC可求得拓?fù)溆行蛐蛄校?/p>

ABCD

或

ACBD由此所得頂點(diǎn)的線性序列稱之為拓?fù)溆行蛐蛄械?4頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六BDAC反之，對(duì)于下列有向圖不能求得它的拓?fù)溆行蛐蛄?。因?yàn)閳D中存在一個(gè)回路

{B,C,D}第75頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六如何進(jìn)行拓?fù)渑判颍恳?、從有向圖中選取一個(gè)沒有前驅(qū)的頂點(diǎn)，并輸出之；

重復(fù)上述兩步，直至圖空，或者圖不空但找不到無前驅(qū)的頂點(diǎn)為止。二、從有向圖中刪去此頂點(diǎn)以及所

有以它為尾的?。坏?6頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcghdfeabhcdgfe在算法中需要用定量的描述替代定性的概念

沒有前驅(qū)的頂點(diǎn)入度為零的頂點(diǎn)刪除頂點(diǎn)及以它為尾的弧弧頭頂點(diǎn)的入度減1第77頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcghdfe01234567abcdefgh266734645500112231indegree01234567sab輸出次序:b02hh1a01ccd0dgfe000第78頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六算法描述StatusTopologicalsort(ALGraphG){

FindinDegree(G,indegree);InitStack(s)

For(i=0;i<G.vexnum;++i)if(!indegree[i])push(s,i);Count=0;

While(!StackEmpty(s)){pop(s,i);printf(i,G.vertices[i].data);++count;for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){k=p->adjvex;if(!(--indegree[k]))push(s,k);}}

if(count<g.vexnum)returnERROR;}第79頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.8關(guān)鍵路徑問題:

假設(shè)以有向網(wǎng)表示一個(gè)施工流圖，弧上的權(quán)值表示完成該項(xiàng)子工程所需時(shí)間。問：哪些子工程項(xiàng)是“關(guān)鍵工程”？即：哪些子工程項(xiàng)將影響整個(gè)工程的完成期限的。第80頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcdefghk64521187244例如:“關(guān)鍵活動(dòng)”指的是：該弧上的權(quán)值增加

將使有向圖上的最長路徑的長度增加。整個(gè)工程完成的時(shí)間為：從有向圖的源點(diǎn)到匯點(diǎn)的最長路徑。源點(diǎn)匯點(diǎn)6174第81頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

如何求關(guān)鍵活動(dòng)？“事件(頂點(diǎn))”的最早發(fā)生時(shí)間ve(j)ve(j)=從源點(diǎn)到頂點(diǎn)j的最長路徑長度；“事件(頂點(diǎn))”的最遲發(fā)生時(shí)間vl(k)

vl(k)=從頂點(diǎn)k到匯點(diǎn)的最短路徑長度。第82頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

假設(shè)第i條弧為<j,k>

則對(duì)第i項(xiàng)活動(dòng)言

“活動(dòng)(弧)”的最早開始時(shí)間e(i)e(i)=ve(j)；

“活動(dòng)(弧)”的最遲開始時(shí)間l(i)l(i)=vl(k)–dut(<j,k>)；活動(dòng)ai的時(shí)間余量：l(i)-e(i)

若l[k]==e[k]表示活動(dòng)ai是關(guān)鍵活動(dòng)。jkai第83頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

事件發(fā)生時(shí)間的計(jì)算公式：

ve(源點(diǎn))=0；

ve(k)=Max{ve(j)+dut(<j,k>)}vl(匯點(diǎn))=ve(匯點(diǎn))；

vl(j)=Min{vl(k)–dut(<j,k>)}第84頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六abcdefghk6452118724400000000064571157151418181818181818181818161486610807拓?fù)溆行蛐蛄?a-d-f-c-b-e-h-g-k第85頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六0645771514181814161078660000645777151414160236688710第86頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

算法的實(shí)現(xiàn)要點(diǎn):顯然，求ve的順序應(yīng)該是按拓?fù)溆行虻拇涡颍?/p>

而求vl的順序應(yīng)該是按拓?fù)淠嫘虻拇涡?；因?yàn)橥負(fù)淠嫘蛐蛄屑礊橥負(fù)溆行蛐蛄械哪嫘蛄?，因此?yīng)該在拓?fù)渑判虻倪^程中，另設(shè)一個(gè)“?！庇浵峦?fù)溆行蛐蛄?。?7頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六

StatusTopologicalOrder(ALGraphG,Stack&T){

FindinDdegree(G,indegree);InitStack(T);count=0;ve[0..G.vexnum-1]=0;

while(!StackEmpty(S)){pop(S,j);Push(T,j);++count;for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc){k=p->adjvex;if(--indegree[k]==0)Push(S,k);if(ve[j]+*(p->info)=dut(<j,k>)ve[k]=ve[j]+*(p->info);}}

if(count<G.vexnum)ruturnERROR;elsereturnOK;}第88頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六StatusCriticalPath(ALGraphG){if(!TopologicalOrder(G,t))returnERROR;

vl[0..G.vexnum-1]=ve[G.vexnum-1];

while(!StackEmpty(T))for(Pop(T,j),p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->vextarc){k=p->adjvex;dut=*(p->info);if(vl[k]-dut<vl[j])vl[j]=vl[k]-dut;}

for(j=0;j<G.vexnum;++j)for(p=G.vertices[j].firstarc;p;p=p->nextarc){k=p->adjvex;dut=*(p->info);ee=ve[j];el=vl[k]-dut;

tag=(ee==el)?‘*’:’’printf(j,k,dut,ee,el,tag);}}第89頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六7.6兩點(diǎn)之間的

最短路徑問題求從某個(gè)源點(diǎn)到其余各點(diǎn)的最短路徑每一對(duì)頂點(diǎn)之間的最短路徑

第90頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六求從源點(diǎn)到其余各點(diǎn)的最短路徑的算法的基本思想:依最短路徑的長度遞增的次序求得各條路徑源點(diǎn)v1…其中，從源點(diǎn)到頂點(diǎn)v的最短路徑是所有最短路徑中長度最短者。v2第91頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六這條路徑必定是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)v1只含一條弧，并且這條弧的權(quán)值最小。下一條路徑長度次短的最短路徑的特點(diǎn)：路徑長度最短的最短路徑的特點(diǎn)：它只可能有兩種情況：或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)v2(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過頂點(diǎn)v1，再到達(dá)該頂點(diǎn)v2(由兩條弧組成)。第92頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六其余最短路徑的特點(diǎn)：再下一條路徑長度次短的最短路徑的特點(diǎn):它可能有三種情況：或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)v3(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過頂點(diǎn)v1，再到達(dá)該頂點(diǎn)(由兩條弧組成)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過頂點(diǎn)v2，再到達(dá)該頂點(diǎn)v3。它或者是直接從源點(diǎn)到該點(diǎn)(只含一條弧)；或者是從源點(diǎn)經(jīng)過已求得最短路徑的頂點(diǎn)，再到達(dá)該頂點(diǎn)。第93頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六求最短路徑的迪杰斯特拉算法：一般情況下，Dist[k]=<源點(diǎn)到頂點(diǎn)k的弧上的權(quán)值>或者=<源點(diǎn)到已求出最短路徑的頂點(diǎn)的路徑長度>+<已求出最短路徑的頂點(diǎn)到頂點(diǎn)k的弧上的權(quán)值>。

設(shè)置輔助數(shù)組Dist，其中每個(gè)分量Dist[k]表示當(dāng)前所求得的從源點(diǎn)到其余各頂點(diǎn)k的最短路徑。第94頁，共100頁，2023年，2月20日，星期六1）在所有從源點(diǎn)出發(fā)的弧中選取一條權(quán)值最小的弧，即為第一條最短路徑。2）修改其它各頂點(diǎn)的Dist[k