應(yīng)用不變量化簡二次曲線方程后的作圖問題

應(yīng)用不變量化簡二次曲線方程后的作圖問題一、題目分析本題要求將給定二次曲線方程進(jìn)行不變量化簡并畫出其圖像，具體步驟如下：1.首先對(duì)二次曲線方程進(jìn)行不變量化簡，得到方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。2.根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)形式確定二次曲線的類型。3.確定二次曲線的焦點(diǎn)、直線、頂點(diǎn)等特征點(diǎn)。4.根據(jù)特征點(diǎn)作出二次曲線的精確圖形。二、解題思路1.不變量化簡本題中給定的二次曲線方程為$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=0$$為了將其化簡成不變量形式，我們需要首先完成配方法。根據(jù)配方法：$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=(2x^2+2xy+y^2)-(y^2-4y+4)-(4x^2-8x+4)$$$$=(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2$$于是，原方程化簡為$$(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2=0$$2.標(biāo)準(zhǔn)形式與類型從不變量化簡后的方程中可以看出，該二次曲線具有橢圓和拋物線的特點(diǎn)。結(jié)合一次項(xiàng)系數(shù)關(guān)系求解即可得：$$a=-2<0,\\b=1,\\c=-1$$因此，該二次曲線為橢圓，其標(biāo)準(zhǔn)形式為：$$\\frac{(x+y)^2}{2}+\\frac{(y-2)^2}{2}=1$$3.特征點(diǎn)確定（1）橢圓的中心點(diǎn)：由標(biāo)準(zhǔn)形式可知，橢圓的中心點(diǎn)為$$\\left(-1,2\\right)$$（2）橢圓的長短軸及方向：由標(biāo)準(zhǔn)形式可知，橢圓的長短軸長度為相等的，且在$x$軸和$y$軸上，因此橢圓的長軸在$x$軸和$y$軸之間轉(zhuǎn)動(dòng)$45°$。故橢圓的長軸長度為$\\sqrt{2}$，短軸長度同樣為$\\sqrt{2}$。（3）橢圓的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)：代入標(biāo)準(zhǔn)方程，可以求得橢圓的頂點(diǎn)為$$(0,2)\\\\text{和}\\(-2,2)$$由于$a=\\sqrt{2}$，則焦距$c$可以根據(jù)公式求解：$c=\\sqrt{2-a^2}$，得到$$c=1$$于是，焦點(diǎn)的坐標(biāo)為$$\\left(-1,1\\right)\\\\text{和}\\\\left(-1,3\\right)$$（4）橢圓的對(duì)稱軸：由于該橢圓為以$(-1,2)$為中心，$x$軸和$y$軸夾角為$45°$的橢圓，并且$a=b=\\sqrt{2}/2$，則其對(duì)稱軸為$$x+y=1\\\\text{和}\\x-y=-3$$4.作圖求解在求解完橢圓的特征點(diǎn)后，可以進(jìn)一步作圖求解：（1）確定橫坐標(biāo)范圍：橢圓的中心點(diǎn)縱坐標(biāo)為$2$，橫坐標(biāo)為$-1$，因此橫坐標(biāo)的范圍為$-1\\pm\\sqrt{2}$。（2）以中心點(diǎn)為中心，長軸方向?yàn)?x$軸，短軸方向?yàn)?y$軸作出坐標(biāo)系。（3）在坐標(biāo)系上標(biāo)出各個(gè)特征點(diǎn)：中心點(diǎn)$(-1,2)$，頂點(diǎn)$(0,2)$和$(-2,2)$，焦點(diǎn)$(-1,1)$和$(-1,3)$，對(duì)稱軸$x+y=1$和$x-y=-3$。（4）連接各個(gè)特征點(diǎn)，得到橢圓的準(zhǔn)確圖形。三、解題步驟1.配方法將給定方程進(jìn)行不變量化簡。2.根據(jù)不變量化簡后的標(biāo)準(zhǔn)形式，確定二次曲線的類型為橢圓，進(jìn)一步求得橢圓的長短軸、中心點(diǎn)、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、對(duì)稱軸等特征點(diǎn)。3.在坐標(biāo)系上標(biāo)出各個(gè)特征點(diǎn)，并連接各個(gè)特征點(diǎn)得到準(zhǔn)確的橢圓圖形。四、解題過程1.不變量化簡：$$2x^2+2xy-2y^2-4x+8y-8=(x+y)^2-(y-2)^2-2(x-1)^2$$$$\\because\\a=-2<0,\\b=1,\\c=-1$$$$\\therefore\\\\text{橢圓的標(biāo)準(zhǔn)形式為}\\\\frac{(x+y)^2}{2}+\\frac{(y-2)^2}{2}=1$$2.確定特征點(diǎn)：（1）橢圓的中心點(diǎn)為$(-1,2)$。（2）橢圓的長軸長度為$\\sqrt{2}$，短軸長度同樣為$\\sqrt{2}$。（3）橢圓的頂點(diǎn)為$(0,2)$和$(-2,2)$；焦點(diǎn)為$(-1,1)$和$(-1,3)$。（4）橢圓的對(duì)稱軸為$x+y=1$和$x-y=-3$。3.作圖：將求得的特征點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)系上，連接各個(gè)特征點(diǎn)即可得到準(zhǔn)確的橢圓圖形。作圖見下圖：五、總結(jié)本題通過不變量化簡的方式將給