中考數(shù)學(xué)《二次函數(shù)的應(yīng)用》聯(lián)系及答案

二次函數(shù)的應(yīng)用(60分)一、選擇題(每題6分，共12分)1．圖18－1②是圖①中拱形大橋的示意圖，橋拱與橋面的交點(diǎn)為O，B，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，水平直線OB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，橋的拱形可以近似看成拋物線y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16，橋拱與橋墩AC的交點(diǎn)C恰好在水面，且有AC⊥x軸，若OA＝10m，則橋面離水面的高度AC為 (B)圖18－1A．16eq\f(9,40)m B.eq\f(17,4)mC．16eq\f(7,40)m D.eq\f(15,4)m【解析】∵AC⊥x軸，OA＝10m，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為－10.當(dāng)x＝－10時(shí)，y＝－eq\f(1,400)(x－80)2＋16＝－eq\f(1,400)×(－10－80)2＋16＝－eq\f(17,4)，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－10，－\f(17,4)))，∴橋面離水面的高度AC為eq\f(17,4)m.2．[2017·臨沂]足球運(yùn)動(dòng)員將足球沿與地面成一定角度的方向踢出，足球飛行的路線是一條拋物線，不考慮空氣阻力，足球距離地面的高度h(單位：m)與足球被踢出后經(jīng)過的時(shí)間t(單位：s)之間的關(guān)系如下表：t01234567…h(huán)0814182020184…下列結(jié)論：①足球距離地面的最大高度為20m；②足球飛行路線的對(duì)稱軸是直線t＝eq\f(9,2)；③足球被踢出9s時(shí)落地；④足球被踢出1.5s時(shí)，距離地面的高度是11m．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 (B)A．1 B．2 C．3 D．4【解析】利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)表達(dá)式；將函數(shù)表達(dá)式配方成頂點(diǎn)式可得對(duì)稱軸和足球距離地面的最大高度；求出h＝0時(shí)t的值，即可得足球的落地時(shí)間；求出t＝1.5s時(shí)h的值，即可對(duì)④作出判斷．由表格可知拋物線過點(diǎn)(0，0)，(1，8)，(2，14)，設(shè)該拋物線的表達(dá)式為h＝at2＋bt，將點(diǎn)(1，8)，(2，14)分別代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝8，,4a＋2b＝14，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝9.))∴h＝－t2＋9t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(9,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(81,4)，則足球距離地面的最大高度為eq\f(81,4)m，對(duì)稱軸是直線t＝eq\f(9,2)，①錯(cuò)誤、②正確；∵h(yuǎn)＝－t2＋9t＝0，∴當(dāng)h＝0時(shí)，t＝0或9，③正確；當(dāng)t＝1.5s時(shí)，h＝－t2＋9t＝11.25，④錯(cuò)誤．綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.二、填空題(每題6分，共18分)3．[2016·臺(tái)州]豎直上拋的小球離地高度是它運(yùn)動(dòng)時(shí)間的二次函數(shù)，小軍相隔1s依次豎直向上拋出兩個(gè)小球，假設(shè)兩個(gè)小球離手時(shí)離地高度相同，在各自拋出后1.1s時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度，第一個(gè)小球拋出后t(s)時(shí)在空中與第2個(gè)小球的離地高度相同，則t＝__1.6__s.【解析】設(shè)各自拋出后1.1s時(shí)到達(dá)相同的最大離地高度為h，則小球的高度y＝a(t－1.1)2＋h，由題意，得a(t－1.1)2＋h＝a(t－1－1.1)2＋h，解得t＝1.6.故第一個(gè)小球拋出后1.6s時(shí)在空中與第二個(gè)小球的離地高度相同．圖18－24．如圖18－2，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以2mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以4mm/s的速度移動(dòng)(不與點(diǎn)C重合)．如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過__3__s，四邊形APQC的面積最?。畧D18－2【解析】設(shè)經(jīng)過ts，四邊形面積最小，S四邊形APQC＝eq\f(1,2)×12×24－eq\f(1,2)(12－2t)×4t＝4t2－24t＋144(0<t<6)，∴當(dāng)t＝－eq\f(b,2a)＝－eq\f(－24,2×4)＝3時(shí)，S四邊形APQC最?。?．[2017·溫州]小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖18－3①)，完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點(diǎn)A，出水口B和落水點(diǎn)C恰好在同一直∴代入得3a(3－4)＝eq\f(3,2)，解得a＝－eq\f(1,2)，∴拋物線的表達(dá)式為y＝－eq\f(1,2)x(x－4)．當(dāng)y＝1時(shí)，－eq\f(1,2)x(x－4)＝1，解得x1＝2＋eq\r(2)，x2＝2－eq\r(2)，∴BC＝(2＋eq\r(2))－(2－eq\r(2))＝2eq\r(2)≈2.8(m)．答：水面上升1m后，水面寬約為2.8m.(25分)8．(10分)[2017·德州]隨著新農(nóng)村的建設(shè)和舊城的改造，我們的家園越來越美麗．小明家附近的廣場(chǎng)中央新修了個(gè)圓形噴水池(如圖18－5)，在水池中心豎直安裝了一根高為2m的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，水柱落地處離池中心3m.圖18－5(1)請(qǐng)你建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求出水柱拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)水柱的最大高度是多少？【解析】(1)由于題目所給數(shù)據(jù)均與水池中心相關(guān)，故可選取水池中心為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，再利用頂點(diǎn)式求解函數(shù)關(guān)系式；(2)拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)即為水柱的最大高度．第8題答圖解：(1)如答圖，以水管與地面交點(diǎn)為原點(diǎn)，第8題答圖原點(diǎn)與水柱落地點(diǎn)所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y＝a(x－1)2＋h(0≤x≤3)．拋物線過點(diǎn)(3，0)和(0，2)，代入拋物線表達(dá)式，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋h＝0，,a＋h＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(2,3)，,h＝\f(8,3).))∴拋物線表達(dá)式為y＝－eq\f(2,3)(x－1)2＋eq\f(8,3)(0≤x≤3)，化為一般式為y＝－eq\f(2,3)x2＋eq\f(4,3)x＋2(0≤x≤3)；(2)由(1)知拋物線表達(dá)式為y＝－eq\f(2,3)(x－1)2＋eq\f(8,3)，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝eq\f(8,3).答：水柱的最大高度為eq\f(8,3)m.9．(15分)[2017·成都]隨著地鐵和共享單車的發(fā)展，“地鐵＋單車”已成為很多市民出行的選擇，李華從文化宮站出發(fā)，先乘坐地鐵，準(zhǔn)備在離家較近的A，B，C，D中的某一站出地鐵，再騎共享單車回家，設(shè)他出地鐵的站點(diǎn)與文化宮距離為x(單位：km)，乘坐地鐵的時(shí)間y1(單位：min)是關(guān)于x的一次函數(shù)，其關(guān)系如下表：地鐵站ABCDE x(km) 8 9 10 11.5 13y1(min) 18 20 22 25 28(1)求y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；(2)李華騎單車的時(shí)間y2(單位：min)也受x的影響，其關(guān)系可以用y2＝eq\f(1,2)x2－11x＋78來描述，請(qǐng)問：李華應(yīng)選擇在哪一站出地鐵，才能使他從文化宮回到家里所需的時(shí)間最短？并求出最短時(shí)間．解：(1)設(shè)乘坐地鐵的時(shí)間y1關(guān)于x的一次函數(shù)是y1＝kx＋b，把x＝8，y1＝18；x＝10，y1＝22代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(18＝8k＋b，,22＝10k＋b，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,b＝2，))∴y1關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y1＝2x＋2；(2)設(shè)回家所需的時(shí)間為y，則y＝y(tǒng)1＋y2，即y＝2x＋2＋eq\f(1,2)x2－11x＋78＝eq\f(1,2)x2－9x＋80＝eq\f(1,2)(x－9)2＋eq\f(79,2)，∴當(dāng)x＝9時(shí)，y最?。絜q\f(79,2)(min)．答：李華選擇從B地鐵口出站，騎單車回家的時(shí)間最短，最短時(shí)間為eq\f(79,2)min.(15分)10．(15分)[2017·嘉興]如圖18－6，某日的錢塘江觀潮信息如下表：2017年×月×日，天氣：陰；能見度：1.8km.11：40時(shí)，甲地“交叉潮”形成，潮水勻速奔向乙地；12：10時(shí)，潮頭到達(dá)乙地，形成“一線潮”，開始均勻加速，繼續(xù)向西；12：35時(shí)，潮頭到達(dá)丙地，遇到堤壩阻擋后回頭，形成“回頭潮”．圖18－6按上述信息，小紅將“交叉潮”形成后潮頭與乙地之間的距離s(km)與時(shí)間t(min)的函數(shù)關(guān)系用圖③表示，其中：“11：40時(shí)甲地‘交叉潮’的潮頭離乙地12km”記為點(diǎn)A(0，12)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(m，0)，曲線BC可用二次函數(shù)s＝eq\f(1,125)t2＋bt＋c(b，c是常數(shù))刻畫．(1)求m的值，并求出潮頭從甲地到乙地的速度；(2)11：59時(shí)，小紅騎單車從乙地出發(fā)，沿江邊公路以0.48km/min的速度往甲地方向去看潮，問她幾分鐘后與潮頭相遇？(3)相遇后，小紅立即調(diào)轉(zhuǎn)車頭，沿江邊公路按潮頭速度與潮頭并行，但潮頭過乙地后均勻加速，而單車最高速度為0.48km/min，小紅逐漸落后，問小紅與潮頭相遇到落后潮頭1.8km共需多長(zhǎng)時(shí)間？eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(潮水加速階段速度v＝v0＋\f(2,125)（t－30），v0是加速前的速度))解：(1)由題意可知：m＝30，∴B(30，0)，∴潮頭從甲地到乙地的速度為eq\f(12,30)＝0.4(km/min)；(2)∵潮頭的速度為0.4km/min，∴到11：59時(shí)，潮頭已前進(jìn)19×0.4＝7.6(km)，設(shè)小紅出發(fā)xmin與潮頭相遇，∴0.4x＋0.48x＝12－7.6，解得x＝5，∴小紅5min與潮頭相遇；(3)把B(30，0)，C(55，15)代入s＝eq\f(1,125)t2＋bt＋c，解得b＝－eq\f(2,25)，c＝－eq\f(24,5)，∴s＝eq\f(1,125)t2－eq\f(2,25)t－eq\f(24,5).∵v0＝0.4，∴v＝eq\f(2,125)(t－30)＋eq\f(2,5)，當(dāng)潮頭的速度達(dá)到單車最高速度0.48km/min，0.48＝eq\f(2,125)(t－30)＋eq\f(2,5)，解得t＝35.此時(shí)，s＝eq\f(1,125)t2－eq\f(2,25)t－eq\f(24,5)＝eq\f(11,5).∴從t＝35min(12：15時(shí))開始，潮頭快于小紅速度奔向丙地，小紅逐漸落后，但小紅仍以0.48km/min的速度勻速追趕潮頭．設(shè)她離乙地的距離為s1，則s1與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為s1＝0.48t＋h(t≥35)，當(dāng)t＝35時(shí)，s1＝s＝eq\f(11,5)，代入可得h＝－eq\f(7