2019-2020學(xué)年江蘇南通啟東啟東中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2019.2020學(xué)年江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)高二上學(xué)期期

末數(shù)學(xué)試題一、單選題.圓爐十寸一21=0和圓/+：/+4），=0的位置關(guān)系是（）A.內(nèi)切 B.外切 C.相交 D.外離答案C把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心的距離d,然后求出R-t和R+I的值，判斷d與R-1及R+r的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系.解：把圓x2+y2-2x=0與圓x2+y2+4y=0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-1）2+y2=l,x2+（y+2）2=4,故圓心坐標(biāo)分別為（1,0）和（0,-2）,半徑分別為R=2和r=l,???圓心之間的距離d=J（1-Op+（0+2『=，則R+r=3,R-r=l,/.R-r<d<R+r,工兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：C.點(diǎn)評：本題考查兩圓的位置關(guān)系，比較兩圓的圓心距，兩圓的半徑之和，之差的大小是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題..“〃?=4”是“機(jī)為2與8的等比中項(xiàng)”的（ ）A,充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件答案A利用等比中項(xiàng)公式及充分必要條件判斷求解.解：解：〃是兩個(gè)正數(shù)2和8的等比中項(xiàng)，/.m=±5/2x8=±4.故〃?=4是m=±4的充分不必要條件，即“加=4”是“加為2與8的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件，故選A.點(diǎn)評：本題考查兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)..下列命題中，不正確的是（ ）A.若a>b,c>d,則4—cB.^a2x>a2y,則工〉、C.若a>b,則^D.若則〃/?</

a-ba ab答案C根據(jù)不等式的性質(zhì)、特殊值法可判斷出各選項(xiàng)中不等式的正誤.解：對于A選項(xiàng)，?.,c>d,.d>-c,又,；a>b,由不等式的性質(zhì)得q-d>Z?—c,A選項(xiàng)中的不等式正確：對于B選項(xiàng)，若則/>0，B選項(xiàng)中的不等式正確：對于C選項(xiàng)，取〃=0,則工=L,C選項(xiàng)中的不等式不成立：a-ba對于D選項(xiàng)，<! <0,二.一白>一:>0,則一Z?> >0,則Z?<a<0,ab abb2>ab,D選項(xiàng)中的不等式正確.故選c.點(diǎn)評：本題考查不等式正誤的判斷，常見的方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法、比較法，在判斷時(shí)可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法，考杳推理能力，屬于中等題..在等差數(shù)列｛〃“｝中，首項(xiàng)可>0,公差dwO,前〃項(xiàng)和為S“（〃eN*）,且滿足S3=S15,則S”的最大項(xiàng)為（ ）A.S7 B.S3 C.s9 D.510答案C由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得，（+%+…+《5=0,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,a9+6/10=0,結(jié)合己知可得。9>0,q0<0,即可判斷.解:解：等差數(shù)列{4}中，且滿足S3=、5,％+。5+…+。15=°，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，。9+。10=0，??首項(xiàng)可>0,公差dwO,??d<0,a9>0,al0<0,則S”的最大項(xiàng)為5曠故選：C.點(diǎn)評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.5.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)X,y滿足4x+y=xy,且不等式工+：<〃/一句〃有解，則實(shí)數(shù)股4的取值范圍是()A.(-1,4) B.(",T)U(4,”)C(-44)D.(-oo.O]U[3,+<x))C(-44)答案B利用'T'的代換的思想進(jìn)行構(gòu)造，運(yùn)用基本不等式求解最值，最后解出關(guān)于〃，的一元二次不等式的解集即可得到答案.解：解：-4x+y=xy,4txy.?.》)=a+H+4=2+；+”之2+2fZ1Z=4,4I4){xy)4xy yy4x -當(dāng)且僅當(dāng)丁二——即x=2,丁=8時(shí)等號成立，4xyVx+—<th*—3m有解94(y}，2,x+—<m-3機(jī)，\ 4Jmin：?4<nf-3m，即（加一4）（，〃+1）>0,解得加<一1,或〃7>4,故選:B.點(diǎn)評:本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查“廣的代換，屬于基礎(chǔ)題..在三棱錐P—ABC中，PA±YffiABC,ZBAC=90°,D>E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為()TOC\o"1-5"\h\zA1 r2 6 2>/55 5 5 5答案C試題分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知：0（；,0,0）, 0）,尸乙 乙乙 乙 1 11A戶=（0,0,2）,DE=（0y-,0）,DF= 1）,設(shè)萬=(x,y,Z)是平面DEF的一個(gè)法向量,6?運(yùn)二0二產(chǎn)。則七科。即22。設(shè)PA與平面DEF所成的角為8,PAn=1=7?則sin9=用G（5 5.2十【考點(diǎn)】本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算.點(diǎn)評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算.在計(jì)算問題中，有“幾何法”和“向量法：利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則簡化了證明過程..雙曲線［=1(。>02>0)的一個(gè)焦點(diǎn)尸與拋物線尸=4x的焦點(diǎn)重合，若這兩er\y曲線的一個(gè)交點(diǎn)p滿足產(chǎn)產(chǎn)_Lx軸，貝1。=（L L 1 LA.V2-1 B.V2+1 C.- D.2V2-2答案A根據(jù)拋物線方程得F點(diǎn)坐標(biāo),得c；根據(jù)?產(chǎn)_L%軸可知|P尸|既是拋物線通徑長的一半,又是雙曲線通徑長的一半，從而可得。力的關(guān)系；通過標(biāo)+〃=/構(gòu)造出關(guān)于。的方程，解方程求得結(jié)果.解：由題意得：F（1,O）,即c=lPFVx軸 ：］PF\為拋物線通徑長的一半 |尸日二2又|P日為雙曲線通徑長的一半，即忙=2 .?方=24a由a?+〃？=c［得：/+2。=1,解得：a=-1—5/2（舍）或。=—1+JT本題正確選項(xiàng)：A點(diǎn)評：本題考查雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題..已知F是橢圓C：5+y2=l的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（4,3）,則|PQ|+|PF|的最大值為（）A.5yli B.3無 C.后 D.472答案A由題意，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F（LO）,由已知條件推導(dǎo)出|PQ|+|PF|=|PQ|4-25/2-|PF|,利用Q,F，P共線，可得|PQ|+|PF］取最大值.解：由題意，點(diǎn)F為橢圓C：券+y2=l的左焦點(diǎn)，，F(xiàn)（—L0）,..?點(diǎn)P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,3）,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'（1,O）,.-.|PQ|+|PF|=|PQ|+2近-|PF|=2V2+|PQ|-|PF|,?/|PQ|-|PF|<|QF|=35/2,.?.|PQ|+|PF|<5>/2,即最大值為5&,此時(shí)Q,F,P共線,故選A.點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其簡單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和簡單的幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想以及推理與運(yùn)算能力.二、多選題TOC\o"1-5"\h\z.在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有( )A./(x)=xz+4r B.f(x}=cosx+—^—0c''r cosx12C?/(x)=7=^= D?/W=3'+^-2，廣+3 3答案AD根據(jù)基本不等式成立的條件，可分別判斷四個(gè)選項(xiàng)是否滿足最小值為2.解：7 1 1對于a,Y>0,7>且/?「=1，滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知X2 廠f(x)=x2+-^>2/2.1=2，當(dāng)且僅當(dāng)V=5，即x=±1時(shí)取等號，所以A正確；] ( k、 1對于B.cosx>0.——>00<文<彳，且cosx =1,滿足都是正數(shù)且乘積為定cosx I 2； COSX值.由基本不等式可知f(x)=cosx+—-—>2./C0SX--—=2.當(dāng)且僅當(dāng)COSXVCOSXTOC\o"1-5"\h\zcosX=-，即X=0時(shí)取等號，因?yàn)?<X<W所以取不到等號，即B錯(cuò)誤；cosX 2對于C,/(加4=。=E+4，E>0，±>5\o"CurrentDocument"Jjt+3Jjt+3 Jr+3 +3且,1 =1.滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知+3=77+3+ 1 >2危+3.1=2.當(dāng)且僅當(dāng)行+3=,1 ,Jx'+3VyJx2+3 Jx-+3即丁+2=0時(shí)取等號,因?yàn)榉匠虩o解，所以取不到等號，即C錯(cuò)誤；4 4對于D.31>0,下>0且31f=4,滿足都是正數(shù)且乘枳為定值.由基本不等式可知f(x)=3、+*-222卜卜2=2.當(dāng)且僅當(dāng)3、=y，即3、=2/=log32時(shí)取等號，所以D正確；綜上可知最小值是2的函數(shù)有AD故答案為:AD點(diǎn)評：本題考查了根據(jù)基本不等式求函數(shù)的最值，注意“一正二定三相等”的成立條件，屬于基礎(chǔ)題.10.下面命題正確的是()A.是的充分不必要條件aB.命題“任意X￡R,則V+x+lcO”的否定是“存在xeR,則Y+X+1N0”.C.設(shè)貝！I“x22且了之2”是“大+)/之4"的必要而不充分條件D.設(shè)凡bwR,貝!二0”是“"w0”的必要不充分條件答案ABD分別判斷充分性與必要性，即可得出選項(xiàng)ACD的正誤：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，判斷選項(xiàng)B的正誤.解：解：對于A,巴士>0O4(a-l)>0oa<0或 則“a>l”是“，<1”

的充分不必要條件，故A對;對于B,全稱命題的否定是特稱命題，“任意xeR,則V+x+lvO”的否定是“存在xeR,則V+x+120”，故B對；對于C,“XN2且）亞2"=>“犬+）/之4”，"xN2且）亞2"是“/+）尸之4”的充分條件，故C錯(cuò)；對于D,abwOOaWO,且6W0,則W0”是?山芋0”的必要不充分條件，故D對；故選：ABD.點(diǎn)評：本題主要考查命題真假的判斷，考查充分條件與必要條件的判斷，考杳不等式的性質(zhì)與分式不等式的解法，屬于易錯(cuò)的基礎(chǔ)題.A.P?！ㄆ矫鍽MN.如圖，在棱長均相等的四棱錐尸-A88中，。為底面正方形的中心，"，N分別為側(cè)棱PA,05A.P。〃平面QMNB.平面尸CD〃平面OWNC.直線PO與直線MN所成角的大小為90D.ON1PB答案ABD選項(xiàng)A,利用線面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)B,先利用線面平行的判定定理證明CD〃平面OMN,再利用面面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)C,平移直線，找到線面角，再計(jì)算：選項(xiàng)D,因?yàn)镺N〃PD,所以只需證明PD_LPB,利用勾股定理證明即可.解：選項(xiàng)A,連接BD,顯然O為BD的中點(diǎn)，又N為PB的中點(diǎn)，所以尸O〃ON,由線面平行的判定定理可得，尸。〃平面OMV;選項(xiàng)B,由"，N分別為側(cè)棱AA，尸6的中點(diǎn),得MN〃AB,又底面為正方形，所以MN〃CD,由線面平行的判定定理可得，CD〃平面OMN,又選項(xiàng)A得〃平面QMN,由面面平行的判定定理可得，平面PCD〃平面OMN;選項(xiàng)C,因?yàn)镸N〃CD,所以NPDC為直線PO與直線A/N所成的角，又因?yàn)樗欣忾L都相等，所以NPDC=6（r，故直線與直線/WN所成角的大小為60°;選項(xiàng)D,因底面為正方形，所以A*+A￡>2=8O:又所有棱長都相等，所以PB2+PD?=BD\故PB工PD、又尸?！∣N,所以O(shè)N上PB,故ABD均正確.點(diǎn)評：解決平行關(guān)系基本問題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視.(2)結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.(3)會舉反例或用反證法推斷命題是否正確..將/個(gè)數(shù)排成"行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如下圖：an % 死 ……4”%】 a22 %3……%”旬 ?32 。33……生”%1 an2 ann該數(shù)陣第一列的〃個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以〃?為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以加為公比的等比數(shù)列(其中〃7>0).已知q=2,%=%+1，記這戶個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有()A.777=3 B.467=17x3，C.%=(3i-l)x3，T D.S=[〃(3〃+D(3”—l)答案ACD根據(jù)題設(shè)中的數(shù)陣，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.解：由題意，該數(shù)陣第一列的〃個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以〃，為公差的等差數(shù)列，每一行的〃個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以〃7為公比的等比數(shù)列，且。“=2,《3=。61+1，可得《3= =2〃7:a6l=an+5d=2+5mf所以2m?=2+5加+1，解得〃?=3或〃7=-！(舍去)，所以選項(xiàng)A是正確的；2又由。67=。6]帚=(2+5X3)X3,=17X3”,所以選項(xiàng)B不正確；又由%=%〃?'=[(&+(/-l)xm]x〃1=[2+(i—1)x3]x3y-1=(3/-l)x3y-1,所以選項(xiàng)c是正確的;又由這療個(gè)數(shù)的和為s,則S=(?！?《2+…+q”)+(生]++…+/“)+…+(%]+〃心+…+%“)一%(1-3〃)「鼠1-3”)「」%(1—3〃)_1 1)(2+3"1)〃1-3 1-3 1-3 2 2=L?(3〃+1)(3〃—1),所以選項(xiàng)D是正確的，4故選：ACD.點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的求解，以及等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中合理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.三、填空題.命題叼x°€R,4工；-。/+1<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .答案[-4,4]由題得“V&￡R. —ar°+1之0”為真命題,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于。的不等式，解不等式即得解.解：由題得“Vxo￡R,4%/一。幾+1之0”為真命題，所以16K0，所以一4?。K4.故答案為：[T,4]點(diǎn)評：本題主要考查特稱命題的否定，考杳二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，意在考杳學(xué)生對這些知識的理解掌握水平..點(diǎn)尸(x,y)滿足7(x-2)2+(y-2)2=13y61，則點(diǎn)尸的軌跡為離心率為.答案橢圓 -2直接根據(jù)橢圓的第二定義即可.得出結(jié)論.

解:10解:???點(diǎn)夕到定點(diǎn)（2,2）的距離與到定直線3.丫一4〉一6=0的距離之比為2￡（0』）,，點(diǎn)P的軌跡為橢圓，其離心率為1，10故答案為：橢圓，—.2點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的第二定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.⑸設(shè)雙曲線.-左=1（"。力＞°通左右焦點(diǎn)分別為月小過K的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)M、N.若以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)F?且|g|二|”|,則雙曲線的離心率為.答案"由題意可得AMNE為等腰直角三角形，設(shè)附目=|”|=〃?，則MN|=J3m,結(jié)合雙曲線的定義可得|MN|二4。,再由勾股定理可得離心率.解：解：如圖，設(shè)”為線段/WN的中點(diǎn)，由題意可得AMNE為等腰直角三角形，為直角三角形,設(shè)明用二|N周=m,則\MN\=0m,由雙曲線的定義可得|峭曰崢|=2%|%卜叫|=2a,又|nh|=|mn|+|m/3，=4a，：.y(2m-4a,則m=2>j2a,|峭|=\MF2卜2。=2?-2a，：.\HF\=\MF\+\MH\=2四,\HF2\=^\MN\=2a,在放中，由勾股定理可得僅JTcJ+44=4/,即3/=c"???。=4，???離心率e，=Ga故答案為：y/3.點(diǎn)評：本題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考杳計(jì)算能力，屬于中檔題.16.已知圓。：/+尸=4,點(diǎn)。是圓(X—1尸+()「1尸=/上一動點(diǎn)，若在圓。上存在點(diǎn)0,使得NQPO=30。，則正數(shù)廣的最大值為.答案4-無分析可得外尤,y)滿足/+/<16,結(jié)合條件可得圓(x—1尸+(y—1尸=/與圓/+)尸=16內(nèi)切，從而可得答案.解：解：要使「最大，考慮點(diǎn)尸在圓。外，若在圓。上存在點(diǎn)0,使得/。尸。=30。，當(dāng)直線尸。與圓。相切時(shí)，NQP。有最大值，???僚=焉之sin3()o=g,即OPK4,則尸(x,y)滿足V+)/<16,又點(diǎn)P是圓是-1)2+(y-1)2=r上一動點(diǎn),

由圖可知，圓(X—1尸+(y-1尸=/與圓V+尸=16內(nèi)切,?**JF+，=4-r，即r=4->/2，故答案為：4—5/2?點(diǎn)評：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.四、解答題17.已知集合4=卜|一1<1?3},集合5={x[(x-a)(x-"l)<0},aeR.(1)若“l(fā)e8”是真命題，求實(shí)數(shù)"取值范圍；⑵若“xeA”是“X￡6”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.答案(1)0<?<1(2)[-1,2](1)解不等式即得a的取值范圍；⑵先化簡B={x[〃<x<4+1},由題得3是A的a>-\真子集，解不等式組《得解.a+1<3解：解：(1)若“itzr是真命題，則一。。-4)<0,得(2)8={x(x-<7)(x-t7-l)<o|=何4<X<4+1},若A”是6”的必要不充分條件，則8是人的真子集，a>-l.，a>-l.，得a<2[?+1<3即實(shí)數(shù)4的取值范圍是點(diǎn)評：本題主要考查元素與集合的關(guān)系，考查充要條件和集合的關(guān)系，意在考杳學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.18.已知橢圓C:二+5=1(。>〃>0)的長軸長為8,短軸長為4?a-b-⑴求橢圓方程；⑵過尸(2,1)作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長.

答案⑴上+工=1;(2)x+2y—4=0,26?16 4(1)根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出4,b,C即可；(2)設(shè)以點(diǎn)P(2,1)為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A(r,yi),B(q,”)，利用點(diǎn)差法求出A,然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A,B,再求出|A8|.解：(1)由橢圓C:[+與=1(。>b>0)長軸長為8,短軸長為4，crb-得2〃=8,2/?=4,所以。=4力=2,2 2所以橢圓方程為二+二=1.16 4X；4十16靈-1 -1?4(2)設(shè)以點(diǎn)X；4十16靈-1 -1?4???4(七,工),5(羽，4)在橢圓上，所以9+&=1164兩式相減可得(％+x2)(xl-x2)+4()1+K)(兒一K)=0,V—V1所以AB的斜率為k= 7,工一七2工+上=1164x+2y-4=0工點(diǎn)P(2,l)為中點(diǎn)的弦所在直線方程為工+上=1164x+2y-4=0fx=0fx=4得4x=0,所以《 「或〈八〔)=2[y=0所以|AB|=>]42+22=2小?點(diǎn)評：本題考查橢圓的方程，直線方程的求法，弦長公式，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用.19.某企業(yè)用180萬元購買一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來100萬元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬元，且從第二年開始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬元(1)求該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤了(萬元)與使用年數(shù)x(xeN*)的函數(shù)關(guān)系；(2)試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年,可使年平均利潤最大？年平均利潤最大為多少萬元?

答案（1）），=-5（/-19x+36）,xsN*（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元（1）運(yùn)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可以求出x年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來的總利潤）（萬元）與使用年數(shù)x（xeN"）的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤最大值.解：解：（1）由題意知，x年總收入為lOOx萬元工年維護(hù)總費(fèi)用為10（1+2+3+…+x）=5x（x+l）萬元.工總利潤y=100.V-5x（x+1）-180,x￡N”即y=-5（/-19工+36）,xgN*（36、xh +95丁x>0, x+—>x當(dāng)且僅當(dāng)工=一，即工=6當(dāng)且僅當(dāng)工=一，即工=6時(shí)取“=”x???）《35X答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤最大，最大利潤為35萬元.點(diǎn)評：本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考杳了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.如圖,長方體43CD-的底面43C。是正方形,點(diǎn)E在棱441上（1）證明：平面E'G；（2）若4E=4E,求二面角B-EC-G的正弦值.答案（1）證明見解析；（2）也2（1）利用長方體的性質(zhì)，可以知道4G，側(cè)面A片￡4,利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出BE1平面EgG；（2）以點(diǎn)8坐標(biāo)原點(diǎn)，以8a8A8瓦分別為x，y，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形A5C。的邊長為。，=求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用8E_LEC\,可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面E5C、平面ECC1的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角6-EC-G的余弦值的絕對值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角8—EC—G的正弦值.解：證明（1）因?yàn)锳BC?！狝4GA是長方體，所以用G，側(cè)面A用￡4,而6EU平面4484,所以8E_L4G又BELEC「aGcEG=G，與G，ECu平面E6iG，因此BE1平面石與6；（2）以點(diǎn)8坐標(biāo)原點(diǎn)，以8G8A8瓦分別為％y,Z軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，8（0,0,0）,c（4,0,0）,G（4,o力）,七（0,4,9,乙

bb 、護(hù)BE-ECk=0=>(0.a,-)?(a.-a,-)=0=>一<r+—=0=>b=2。,2 2所以E(0,a),EC=(a,-a.-a),CCL=(0,0,2a),BE=(0,a,a),設(shè)機(jī)=（Xi，）[,Zi）是平面BEC的法向量,所以所以n.cC[=o，nnEC=0.設(shè)5=（乙,K，Z?）是平面ECG所以n.cC[=o，nnEC=0.2。乙二0, z=>n=(1,1,0),ax、-ay.- =0.二面角B-EC-C,的余弦值的絕對值為二面角B-EC-C,的余弦值的絕對值為1_1V2xV2~2所以二面角6-EC—G的正弦值為卜（3=*.點(diǎn)評：本題考查了利用線而垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.21.設(shè)數(shù)列也｝、也｝都有無窮項(xiàng)，｛?！ǎ那啊?xiàng)和為邑=；（3獷+5〃），也,｝是等比數(shù)列，4=4且〃6=32.（1）求｛/｝和也｝的通項(xiàng)公式;（2）記如吟，求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為4.答案(1)?！?3〃+1；”=2“t,(〃￡N*)(2)14-^^(1)可求出心，根據(jù)定義求出數(shù)列｛a｝的公比，從而可求出(1)（2）由題意得加=尊二，再用錯(cuò)位相減法求和即可.乙解：解：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，%=S[=4；當(dāng)?shù)吨?時(shí),

a.=S"一S"t=；(3〃2+5/?)-y[3(/?-l)2+5(//-1)]=y[3(2/7-1)+5]=3〃+1,乙 乙 乙且q=4亦滿足此關(guān)系,：?{g}的通項(xiàng)為4〃=3〃+1,(〃￡N"),設(shè)也｝的公比為好則q，設(shè)也｝的公比為好則q，則(7=2,???“二"W"=2"t(〃￡N*)；an3〃+1（2）由題意，%=力=萬丁而7；=—.+

"124而7；=—.+

"1243〃-237?+12小8+?+空…”〃 1 2 4 2〃7兩式相減,有［=8+31+；+：…+點(diǎn)一個(gè)口\ T 乙）乙=8+32-2〃一23〃+7=8+32-2〃一2點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.22.在平面直角坐標(biāo)系XO.V中，橢圓C:*+*=l（o〉〃〉0）的離心率為乎，直線）'=X被橢圓C截得的線段長為處.5（1）求橢圓C的方程；（2）過原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A5兩點(diǎn)（A,8不是橢