橢圓及其性質(zhì)（練習(xí)）（含解析）2023年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)

考點(diǎn)8-2橢圓及其性質(zhì)1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，分別為C的左右頂點(diǎn)，則，B為上頂點(diǎn)，所以.所以，因?yàn)樗?，將代入，解得，故橢圓的方程為.故選：B.2．（2019·福建·高考模擬（文））設(shè)圓錐曲線r的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線r上存在點(diǎn)P滿足|PF1|：|F1F2|：|PF2|=4：3：2，則曲線r的離心率等于A． B．或2 C．2 D．【答案】A【詳解】試題分析：根據(jù)題意可設(shè)出|PF1|，|F1F2|和|PF2|，然后分曲線為橢圓和雙曲線兩種情況，分別利用定義表示出a和c，則離心率可得．解：依題意設(shè)|PF1|=4t，|F1F2|=3t，|PF2|=2t，若曲線為橢圓則2a=|PF1|+|PF2|=6t，c=t則e==，若曲線為雙曲線則，2a=4t﹣2t=2t，a=t，c=t∴e==故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來(lái)解決．3．（2020·浙江·高考模擬（文））如圖，中心均為原點(diǎn)O的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M，N是雙曲線的兩頂點(diǎn).若M，O，N將橢圓長(zhǎng)軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是A．3 B．2 C． D．【答案】B【詳解】是雙曲線的兩頂點(diǎn)，將橢圓長(zhǎng)軸四等分橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是雙曲線實(shí)軸長(zhǎng)的倍雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，的離心率的比值是故答案選4.（2022·全國(guó)·高考真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是________________．【答案】13【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過(guò)且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.故答案為：13.5．（2021·福建·高考模擬（理））橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,焦距為，若直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)滿足,則該橢圓的離心率等于_____【答案】【詳解】注意到直線過(guò)點(diǎn)即為左焦點(diǎn)，又斜率為，所以傾斜角為，即．又故，那么．，，．【考點(diǎn)定位】考查離心率的算法，要求學(xué)生要有敏銳的觀察力，比如直線的特征．屬于難題．6.（2022·全國(guó)·高三練習(xí)）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M在橢圓C上，若，則該橢圓的離心率不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，代入中，可得，再利用，即可求出離心率的取值范圍，從而可判斷出離心率不可能的值【詳解】設(shè)．因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓C上，所以，所以．因?yàn)?，所以，解得．由題意可知，即．由，可得，即，顯然成立．由，可得，則．又，所以，因?yàn)?，，，，故選：A．7．（2022·湖北武漢·高三開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線與交于A，B兩點(diǎn).若，，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件以及橢圓的定義,將,用a表示出,再在三角形中利用余弦定理建立方程,即可求解.【詳解】設(shè),則,.由橢圓的定義可知,所以,所以,.在△ABF1中,.所以在△AF1F2中,,即整理可得：,所以故選：C8．（2022·北京市十一學(xué)校高三模擬）已知橢圓C：（）的左?右頂點(diǎn)分別為，，且以線段為直徑的圓與直線相交，則橢圓C的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．.【答案】B【分析】由題設(shè)以線段為直徑的圓為，根據(jù)直線與圓相交，利用點(diǎn)線距離公式列不等式求橢圓C的離心率的范圍.【詳解】由題設(shè)，以線段為直徑的圓為，與直線相交，所以，可得，即，又，所以.故選：B9.（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為若則直線的斜率為_(kāi)__.【答案】【分析】由，可得的值，即可求出的值，設(shè)，可得，從而可得，進(jìn)而由，可求出.【詳解】由題意，，解得，因?yàn)椋?，?設(shè)，則，即，則，因?yàn)?，所以，所以，?故答案為：10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)____．【答案】(，]【分析】設(shè)，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關(guān)系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設(shè)，由，知，因?yàn)?，在橢圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.11.（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過(guò)的直線交橢圓于，，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則該橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)變形得到，進(jìn)而得到以，結(jié)合橢圓定義可求出，，，由余弦定理求解關(guān)系式，求出離心率.【詳解】因?yàn)?，所以，如圖，在上取一點(diǎn)M，使得，連接，則，則點(diǎn)I為AM上靠近點(diǎn)M的三等分點(diǎn)，所以，所以，設(shè)，則，由橢圓定義可知：，即，所以，所以，，故點(diǎn)A與上頂點(diǎn)重合，在中，由余弦定理得：，在中，，解得：，所以橢圓離心率為.故選：A【點(diǎn)睛】對(duì)于求解圓錐曲線離心率問(wèn)題，要結(jié)合題目中的條件，直接求出離心率或求出的齊次方程，解出離心率，本題的難點(diǎn)在于如何將進(jìn)行轉(zhuǎn)化，需要作出輔助線，結(jié)合內(nèi)心的性質(zhì)得到三角形三邊關(guān)系，求出離心率.12．（2021·江蘇省天一中學(xué)高三預(yù)測(cè)）如圖，設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個(gè)交點(diǎn)，延長(zhǎng)與橢圓交于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，由已知條件及橢圓、圓的性質(zhì)得，，且，根據(jù)勾股定理列方程求x，進(jìn)而求橢圓離心率.【詳解】連，若，則，，，又，則，即，得，又，即，代入得.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓的定義、圓的性質(zhì)，由垂直關(guān)系，利用勾股定理列齊次方程求離心率.13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與過(guò)的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對(duì)轉(zhuǎn)化，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示，通過(guò)P點(diǎn)在第一想象的范圍，求出范圍.【詳解】如圖所示，點(diǎn)在軸右邊，因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以．由中位線定理可得．設(shè)點(diǎn)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因?yàn)?，，所以?故，所以．因?yàn)?，所以．故的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的關(guān)系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：1的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，其中，若，||，則橢圓的離心率的取值范圍為_(kāi)____．【答案】(，]【分析】設(shè)，由已知得到的范圍，再由橢圓的定義得到n，m間的關(guān)系，代入、換元，求出e的范圍.【詳解】設(shè)，由，知，因?yàn)椋跈E圓上，，所以四邊形為矩形，；由，可得1，由橢圓的定義可得，

①，平方相減可得②，由①②得；令t，令，所以，即，所以，所以，所以，解得.故答案為：.15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知橢圓的方程為，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，P為橢圓上在第一象限的一點(diǎn)，I為的內(nèi)心，直線PI與x軸交于點(diǎn)Q，橢圓的離心率為，若，則的值為_(kāi)__________.【答案】