【典型例題系列】2021-2022學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列之第三單元最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)部分（解析版）蘇教版

2021-2022學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列之第三單元最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)部分（解析版）編者的話：《2021-2022學(xué)年五年級數(shù)學(xué)下冊典型例題系列》是基于教材知識點(diǎn)和常年考點(diǎn)考題總結(jié)與編輯而成的，該系列主要包含典型例題和專項(xiàng)練習(xí)兩大部分。典型例題部分是按照單元順序進(jìn)行編輯，主要分為計(jì)算和應(yīng)用兩大部分，其優(yōu)點(diǎn)在于考題典型，考點(diǎn)豐富，變式多樣。專項(xiàng)練習(xí)部分是從?？碱}和期末真題中選取對應(yīng)練習(xí)，其優(yōu)點(diǎn)在于選題經(jīng)典，題型多樣，題量適中。本專題是第三單元最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)部分。本部分內(nèi)容主要是最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的求法及其應(yīng)用，建議作為本章重點(diǎn)內(nèi)容進(jìn)行講解，考點(diǎn)劃分較多，共劃分為十四個考點(diǎn)，歡迎使用?！究键c(diǎn)一】求最大公因數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.最大公因數(shù)的定義幾個數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)2.求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）短除法3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數(shù)的最大公因數(shù)用小括號表示。【典型例題】求最大公因數(shù)。（1）18和6（2）11和13（3）8和36（4）18和24解析：6；1；4；6【對應(yīng)練習(xí)1】求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)。6和10

18和24

34和17解析：2；6；17【對應(yīng)練習(xí)2】寫出每組數(shù)的最大公因數(shù)。（4，50）＝

（10，25）＝

（20，21）＝

（12，36）＝解析：2；5；1；12【對應(yīng)練習(xí)3】求兩組數(shù)的最大公因數(shù)。24和60

36和45解析：12；9【考點(diǎn)二】求最小公倍數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.最小公倍數(shù)的定義：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)。2.求最小公倍數(shù)的方法：（1）列舉法；（2）短除法。3.短除法的口訣：求最大公因乘一邊，求最小公倍乘一圈。注意：求兩個數(shù)的最小公因數(shù)用中括號表示?！镜湫屠}】求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。（1）28和21（2）11和7（3）34和68解析：84；77；68【對應(yīng)練習(xí)1】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。12和10

6和15

42和7

8和9

18和24

11和17解析：2，60；3，30；7，421，72；6，72；1，187【對應(yīng)練習(xí)2】求下面每組數(shù)的最小公倍數(shù)。8和10

12和18

13和39解析：40；36；39【考點(diǎn)三】分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。【方法點(diǎn)撥】分解質(zhì)因數(shù)求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)：求兩數(shù)的最小公倍數(shù)是共有質(zhì)因數(shù)與獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積?！镜湫屠}】已知a＝2×3×7，b＝2×5×7，a和b的最小公倍數(shù)是()，最大公因數(shù)是()。解析：210

14a和b的最小公倍數(shù)是2×3×5×7＝210；它們的最大公因數(shù)是2×7＝14?！緦?yīng)練習(xí)1】A＝3×5×7，B＝2×3×3×7，則A和B的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：因?yàn)锳＝3×5×7，B＝2×3×3×7，所以有：最大公因數(shù)：3×7＝21最小公倍數(shù)：3×5×7×2×3＝630【對應(yīng)練習(xí)2】A=2×5，B=3×5，A和B的最大公因數(shù)是（），最小公倍數(shù)是（）。解析：5

30【對應(yīng)練習(xí)3】A＝2×2×3，B＝2×3×3，A和B的最小公倍數(shù)是()。解析：36【考點(diǎn)四】求三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。【方法點(diǎn)撥】求三個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)用短除法。【典型例題】求下面各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。13、39和117

42、56和84

240、840和360解析：（13,39,117）=13

（42,56,84）=14

(240,840,360)=120[13,39,117]=117

[42,56,84]=168

[240,840,360]=5040【對應(yīng)練習(xí)1】求下列各組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。54，72和9060，90和120解析：略?！緦?yīng)練習(xí)2】用短除法求下列數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)．286和429

384，192和64解析：143，858；64，384【考點(diǎn)五】求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況一：互質(zhì)數(shù)?！痉椒c(diǎn)撥】1.公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。2.當(dāng)兩個數(shù)是互質(zhì)關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積?！镜湫屠}】b和t是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

bt【對應(yīng)練習(xí)1】兩個連續(xù)的自然數(shù)（均不為0），它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

它們的乘積【對應(yīng)練習(xí)2】如果a，b的公因數(shù)只有1，那它們的最大公因數(shù)是()，最小公倍數(shù)是()。解析：1

ab【考點(diǎn)六】求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況二：倍數(shù)關(guān)系?！痉椒c(diǎn)撥】當(dāng)兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系時，它們的最大公因數(shù)是較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)。【典型例題1】如果m＝9n（m和n都是不為0的整數(shù)），那么m和n的最大公因數(shù)是（

）。A．mB．9C．nD．mn解析：C【對應(yīng)練習(xí)1】甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù)，則兩數(shù)的最大公因數(shù)是（

）。A．甲數(shù)B．乙數(shù)C．無法確定解析：B【對應(yīng)練習(xí)2】已知a÷b＝8，那么a和b的最大公因數(shù)是（

）。A．a(chǎn)B．bC．8解析：B【對應(yīng)練習(xí)3】12和60的最大公因數(shù)是()。解析：12【典型例題2】3和9的最小公倍數(shù)是()解析：9【對應(yīng)練習(xí)1】A÷B＝5（A和B都不為0），A和B的最小公倍數(shù)是()。解析：A【對應(yīng)練習(xí)2】如果a÷b＝3（a、b都是非零自然數(shù)），那么a和b的最小公倍數(shù)是()。解析：a【考點(diǎn)七】最大公因數(shù)的應(yīng)用：分線段問題?！痉椒c(diǎn)撥】分線段問題解題步驟：（1）分析每小段的長度和每條線段長度的關(guān)系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問的是每個小段的長度還是求一共可以分成多少個小段?！镜湫屠}】兩條鋼條，一根長18米，一根長24米，要把它們截成同樣長的小段且沒有剩余，那么每段最長可以是多少米？一共截成多少段？解析：每段最長∶（18，24）=2×3=6（米）一共可以截∶18÷6+24÷6=7（段）?！緦?yīng)練習(xí)1】兩根電線，第一根長28米，第二根長42米，要把它們截成同樣長的小段，而目不能有剩余，每小段最長是多少米?此時一共能截成幾段?解析：最大公因數(shù)：（28，42）=2×7=1428÷14+42÷14=2+3=5（段），每小段最長是14米，一共能截成5段。【對應(yīng)練習(xí)2】將兩根長分別為24米和16米的繩子，截成相等的小段并且沒有剩余，剪完后的小段繩子最長是多少米?解析：（24，16）=8（米）【對應(yīng)練習(xí)3】有兩根繩子，長度分別是27米和45米，要把它們截成同樣長的小段，沒有剩余，每小段繩子最長是多少米？一共可以截成多少小段？解析：27＝3×3×345＝3×3×5最大公因數(shù)：3×3＝927÷9＋45÷9＝3＋5＝8（段）答：每小段繩子最長是9米，一共可以截成8小段?！究键c(diǎn)八】最大公因數(shù)的應(yīng)用：分長方形問題?！痉椒c(diǎn)撥】分長方形問題解題步驟（1）分析每個小正方形的邊長和大長方形的長、寬之間的關(guān)系；（2）短除法求最大公因數(shù)。注意：要看清題目問的是小正方形的邊長還是求一共可以分成多少個小正方形。【典型例題】給一個長32分米，寬24分米的房間鋪正方形地磚，如果要讓使用的地磚必須都是整塊，選擇的地磚邊長最大是多少分米?至少需要幾塊?解析：32和24的最大公因數(shù)是2×2×2=8，即正方形地磚的邊長是8分米(32÷8)×(24÷8)=4×3=12（塊）答：選擇的地磚邊長最大是8分米，至少需要12塊?！緦?yīng)練習(xí)1】一個長方形銅片長24厘米，寬18厘米，要剪成面積相等的小正方形，且沒有剩余，每個正方形的面積最大是多少平方厘米?一共可以剪成多少塊這樣的小正方形?解析：24和18的最大公因數(shù)是66×6=36（cm2）24÷6=4（個）18÷6=3（個）3×4=12（個）答∶每個正方形的面積最大是36cm2，一共可以剪成12塊這樣的小正方形?！緦?yīng)練習(xí)2】丁丁家衛(wèi)生間地面是一個長方形，長30dm，寬24dm。如果要選擇正方形方磚來鋪這個地面，且恰好鋪滿。（方磚不可切割，方磚的邊長取整分米數(shù)）（1）符合條件的方磚有幾種？請表示出你的思考過程。（2）要使方磚的塊數(shù)最少，每塊方磚的面積是多少dm2？解析：（1）30因數(shù)有：1，2，3，5，6，10，15，3024因數(shù)有：1，2，3，4，6，8，12，2430和24共有因數(shù)：1，2，3、6符合條件的方磚有邊長是1dm、2dm、3dm、6dm，共4種。答：符合條件的方磚有4種。（2）30＝2×3×524＝2×2×2×330和24的最大公因數(shù)是：2×3＝66×6＝36（dm2）答：要使方磚的塊數(shù)最少，每塊方磚的面積是36dm2。【對應(yīng)練習(xí)3】有一張長16厘米，寬12厘米的長方形紙。要剪成若干同樣大小的正方形而沒有剩余，剪出的正方形的邊長最大是幾厘米？可以剪多少個這樣的正方形？解析：16＝2×2×2×212＝2×2×32×2＝4（厘米）16×12÷（4×4）＝192÷16＝12（個）答：剪出的正方形的邊長最大是4厘米，可以剪12個這樣的正方形?！究键c(diǎn)九】最小公倍數(shù)的應(yīng)用：分東西問題。【方法點(diǎn)撥】分東西問題：若平均分給m個小朋友可以恰好分完，那么總數(shù)是m的倍數(shù)，若平均分給n個小朋友可以恰好分完，那么總數(shù)也是n的倍數(shù)，所以總數(shù)是m和n的公倍數(shù)，根據(jù)題目要求求出符合題意的公倍數(shù)即可?！镜湫屠}】幼兒園阿姨準(zhǔn)備給小朋友們發(fā)小紅花，如果平均發(fā)給5個小朋友或6個小朋友都能恰好發(fā)完，那么這批小紅花至少有多少朵?解析：小紅花至少有∶[5，6]=5×6=30（朵）答∶這批小紅花至少有30朵?！緦?yīng)練習(xí)1】有一袋糖，無論是分給6個小朋友，還是分給9個小朋友，都正好分完。這袋糖至少有多少塊?解析：一袋糖無論分給6個小朋友，還是分給9個小朋友，都正好分完，說明糖的總數(shù)既是6的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)，[6，9]=18，故這袋糖至少18塊。【對應(yīng)練習(xí)2】媽媽買了一盒巧克力，無論平均分給5個人還是7個人，都剛好分完，那么這盒巧克力最少有多少顆？解析：依題意得，巧克力總數(shù)應(yīng)該是5和7的公倍數(shù).其中最小的是35，所以這盒巧克力最少有35顆?！緦?yīng)練習(xí)3】一袋糖，4顆4顆地分、5顆5顆地分、6顆6顆地分，都正好分完而沒有剩余，這袋糖最少有（

）顆。A．30B．60C．120解析：B【考點(diǎn)十】最小公倍數(shù)的應(yīng)用：人數(shù)問題。【方法點(diǎn)撥】在一定范圍內(nèi)求總?cè)藬?shù)，首先求出最小公倍數(shù)，然后在條件給的范圍內(nèi)求出對應(yīng)的人數(shù)?！镜湫屠}】五年級同學(xué)不到40人，參加廣播操比賽，每行6人或9人都正好排成整行，這個班學(xué)生最多（

）人。A．18B．36C．50D．54解析：B【對應(yīng)練習(xí)1】五（4）班的人數(shù)在40至50人之間，隊(duì)列比賽中，無論是4人一排，還是6人一排，都正好排完。五（4）班一共有（

）人。A．42B．44C．46D．48解析：D【對應(yīng)練習(xí)2】學(xué)校的會議室里可以坐的人數(shù)在80～100之間，并且這個人數(shù)同時是2、3、5的倍數(shù)，學(xué)校會議室里能坐()人，把這個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是()。解析：90

90＝2×3×3×5【對應(yīng)練習(xí)3】一個數(shù)同時是2、3、5的倍數(shù)，而且這個數(shù)比50大，比100小，這個數(shù)是()或()。解析：60

90【考點(diǎn)十一】最小公倍數(shù)的應(yīng)用：日期問題?！痉椒c(diǎn)撥】日期問題：日期問題也是典型的公倍數(shù)問題，注意分析有沒有到下個月，以及每個月最后一天是幾號。【典型例題】圖書館每天都開門，甲，乙兩人都在圖書館借書。甲每3天去一次；乙每4天去一次，11月1日兩人同時去了一次圖書館，那么兩人下次都去圖書館時是幾月幾日？解析：先求3和4的最小公倍數(shù)，求出是12，說明甲和乙每12天去一次圖書館；由于11月1日兩人同時去了一次圖書館，從11月2日開始算，到第12天正好是11月13日，列式∶12+1=13，所以兩人下次都去圖書館時是11月13日。【對應(yīng)練習(xí)1】甲、乙兩人到圖書館去借書，甲每6天去一次，乙每9天去一次，如果4月3日他們兩人在圖書館相遇，那么下一次他倆都到圖書館是幾月幾日?解析：求6和9的最小公倍數(shù)：18，所以18天后他倆再次相遇，即4月21日?！緦?yīng)練習(xí)2】小明和小紅都喜歡去圖書館看書，小明每5天去一次，小紅每4天去一次，5月3日，他們一起到了圖書館，下次遇到是在幾月幾日?解析：5和4的最小公倍數(shù)為：4×5=20，3＋20=23所以，下次遇到是在5月23日?！緦?yīng)練習(xí)3】小明、小英兩人定期到五保戶王奶奶家?guī)椭跄棠檀驋咝l(wèi)生，小明每6天去一次，小英每9天去一次。如果5月17日他們在王奶奶家見面了，那么下次兩人在王奶奶家見面的日期是哪一天?解析：6月4日。【考點(diǎn)十二】最小公倍數(shù)的應(yīng)用：同余數(shù)問題?！痉椒c(diǎn)撥】同余數(shù)問題：余數(shù)相同時，減去余數(shù)得到整除。遇到有剩余且剩余的數(shù)量一樣多時，先求最小公倍數(shù)，再把剩余的加上?！镜湫屠}】王老師給學(xué)生們分糖果，每人分到的糖果一樣多，無論分給3個人還是分給5個人，最后都剩下2塊糖果，那么王老師最少有多少塊糖果?解析：列式：[3，5]=3×5=1515+2=17（塊）答：王老師最少有17塊糖果。【對應(yīng)練習(xí)1】把一些蘋果平均分給小朋友，無論是分給6人，還是分給8人，都正好多3個，這些蘋果最少有多少個?（蘋果數(shù)大于10）解析：2×3×4+3=27（個）【對應(yīng)練習(xí)2】有一盒鉛筆，平均分給4個小朋友余1支，平均分給6個小朋友也余1支。這盒鉛筆最少有多少支?（鉛筆數(shù)大于10）解析：4和6的最小公倍數(shù)是1212+1=13（支）【對應(yīng)練習(xí)3】一個大于2的自然數(shù)，除以3余2，除以5余2，除以7也余2，那么這個自然數(shù)最小是多少？解析：[3、5、7]＝105105＋2＝107答：這個數(shù)最小是107?！究键c(diǎn)十三】最小公倍數(shù)的應(yīng)用：同差問題。【方法點(diǎn)撥】同差問題：差相同時，加上差得到整除?！镜湫屠}】有一些糖果，平均分給8個人多7塊，平均分給6個人多5塊，這些糖果最少有多少塊?解析：由題可知，這些糖果加上1塊就變?yōu)榱?和6的公倍數(shù)，通過短除法求出最小公倍數(shù)為24，則這些糖果最少有23塊。【對應(yīng)練習(xí)1】某班同學(xué)排隊(duì)，排成7排多3人，排成8排少4人。這個班至少有()人。加上4人后，總?cè)藬?shù)既是7的倍數(shù)，也是8的倍數(shù)；解析：（人）（人）所以這個班至少有52人?！緦?yīng)練習(xí)2】把一些糖果平均分給4個小朋友或6個小朋友都少2顆，這些糖果至少有()顆。解析：4和6的最小公倍數(shù)是12；（顆）所以這些糖果至少有10顆?！緦?yīng)練習(xí)3】一些貝殼，4個4個地?cái)?shù)，最后多1個