《5年3年模擬》文數(shù)A文檔：§4.4　解三角形 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§4。4解三角形考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預(yù)測熱度1。用正、余弦定理解三角形1.理解正弦定理與余弦定理的推導(dǎo)過程2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題Ⅲ2017課標全國Ⅰ，11；2017課標全國Ⅱ,16;2017課標全國Ⅲ,15;2016課標全國Ⅰ，4；2016山東，8選擇題、填空題、解答題★★★2.解三角形及其應(yīng)用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題Ⅲ2017山東,17;2016課標全國Ⅲ，9；2016課標全國Ⅱ，15分析解讀解三角形是高考中的熱點,以正、余弦定理為載體考查解三角形問題，命題呈現(xiàn)出如下幾點：1。能利用正、余弦定理解決平面圖形的計算問題，解題時要在平面圖形中構(gòu)造出三角形；2.解三角形時，觀察圖形中的幾何條件，再數(shù)形結(jié)合求解;3.正、余弦定理與三角形的面積公式、兩角和與差的三角公式、二倍角公式結(jié)合起來考查,注意公式間的聯(lián)系,會用方程與函數(shù)的思想解決三角形的最值問題。解三角形知識常以解答題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題或填空題中,分值大約為5分或12分。答案:60°解析：解法一：由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，即sin2B=sin（A+C),即sin2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二：由余弦定理得2b·a2+c2-b22ac=a·a2+b2-c22ab+c·b2+c2-a五年高考考點一用正、余弦定理解三角形1。（2017課標全國Ⅰ,11，5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b,c.已知sinB+sinA(sinC—cosC）=0,a=2,c=2,則C=()A.π12 B。π6 C。π4答案B2。(2016山東，8,5分)△ABC中，角A，B,C的對邊分別是a,b，c.已知b=c，a2=2b2（1—sinA）.則A=（)A.3π4 B。π3 C.π答案C3。（2015廣東,5,5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b，c.若a=2，c=23,cosA=32且b〈c,則b=()A.3 B.22 C.2 D.3答案C4。(2014江西,5,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊的分別是a,b,c。若3a=2b，則2sin2B-sinA.—19 B.13 C.1 答案D5.（2013安徽,9，5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B,C所對邊的長分別為a，b，c.若b+c=2a,3sinA=5sinB,則角C=(）A。π3 B.2π3 C。3答案B6。（2017課標全國Ⅲ，15，5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a，b,c。已知C=60°，b=6，c=3,則A=.

答案75°7。(2016北京，13,5分）在△ABC中，∠A=2π3，a=3c，則bc答案18.（2015重慶，13，5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b，c,且a=2,cosC=-14,3sinA=2sinB,則c=答案49.（2016浙江,16,14分）在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b，c.已知b+c=2acosB。（1)證明:A=2B；（2)若cosB=23,求cosC的值解析（1)證明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin（A-B）。又A,B∈(0,π），故0<A-B〈π，所以，B=π—(A-B)或B=A—B,因此A=π（舍去)或A=2B,所以,A=2B。(2)由cosB=23得sinB=5cos2B=2cos2B—1=—19故cosA=-19,sinA=4cosC=—cos(A+B）=—cosAcosB+sinAsinB=222710。（2016四川,18,12分）在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a，b，c，且cosAa+cosB(1）證明：sinAsinB=sinC;（2)若b2+c2-a2=65bc，求tan解析(1）證明：根據(jù)正弦定理，可設(shè)asinA=bsin則a=ksinA，b=ksinB，c=ksinC。代入cosAa+cosBb=cosAksinA+cossinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)。在△ABC中,由A+B+C=π，有sin（A+B）=sin（π-C）=sinC，所以sinAsinB=sinC。(2)由已知，b2+c2-a2=65根據(jù)余弦定理,有cosA=b2+c所以sinA=1-cos由（1）,sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，所以45sinB=45cosB+35故tanB=sinB11.（2015山東,17，12分)△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b,c.已知cosB=33，sin(A+B）=69，ac=23,求sinA和c解析在△ABC中，由cosB=33，得sinB=6因為A+B+C=π，所以sinC=sin（A+B）=69因為sinC〈sinB,所以C〈B，可知C為銳角,所以cosC=53因此sinA=sin(B+C）=sinBcosC+cosBsinC=63×539+33×由asinA=可得a=csinAsinC=又ac=23，所以c=1.教師用書專用（12-23)12.（2013遼寧，6,5分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b,c。若asinBcosC+csinBcosA=12b,且a>b，則∠A.π6 B.π3 C。2π答案A13.（2013北京，5，5分）在△ABC中，a=3,b=5，sinA=13，則sinA。15 B.59 C。5答案B14。（2013湖南,5，5分)在銳角△ABC中，角A,B所對的邊長分別為a，b。若2asinB=3b,則角A等于()A。π3 B。π4 C。π6答案A15.（2015福建,14，4分）若△ABC中,AC=3，A=45°,C=75°,則BC=。

答案216.(2015安徽，12，5分）在△ABC中,AB=6，∠A=75°，∠B=45°,則AC=。

答案217.(2015北京,11,5分）在△ABC中,a=3,b=6，∠A=2π3,則∠B=答案π18.(2014山東，17，12分)△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3，cosA=63，B=A+π(1）求b的值;（2）求△ABC的面積.解析（1）在△ABC中，由題意知,sinA=1-cos因為B=A+π2所以sinB=sinA+π2=cos由正弦定理可得b=asinBsinA=（2)由B=A+π2得cosB=cosA+π2=—sin由A+B+C=π，得C=π—（A+B）.所以sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B)=sinAcosB+cosAsinB=33×-33+=13因此△ABC的面積S=12absinC=12×3×32×1319.（2014課標Ⅱ,17，12分）四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB=1,BC=3，CD=DA=2.(1)求C和BD;(2）求四邊形ABCD的面積。解析（1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcosC=13-12cosC,①BD2=AB2+DA2—2AB·DAcosA=5+4cosC。②由①,②得cosC=12，故C=60°，BD=7（2）四邊形ABCD的面積S=12AB·DAsinA+12BC·CDsin=12×1×2+1=23.20。（2014陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a,b，c.(1)若a，b，c成等差數(shù)列,證明：sinA+sinC=2sin(A+C)；(2)若a，b，c成等比數(shù)列，且c=2a，求cosB的值.解析(1）證明:∵a,b,c成等差數(shù)列，∴a+c=2b。由正弦定理得sinA+sinC=2sinB?！遱inB=sin[π—（A+C）]=sin(A+C），∴sinA+sinC=2sin(A+C）。（2)由題設(shè)有b2=ac，∵c=2a，∴b=2a,由余弦定理得cosB=a2+c2-21。（2014湖南,19，13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1，EC=7，EA=2，∠ADC=2π3,∠BEC=(1）求sin∠CED的值；（2）求BE的長。解析設(shè)∠CED=α.（1)在△CDE中，由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2（CD=—3舍去）。在△CDE中，由正弦定理得ECsin∠EDC=得sinα=CD·sin2π3EC=2×327（2)由題設(shè)知,0〈α〈π3,于是由(1)知,cosα=1-sin2而∠AEB=2π3—α，所以cos∠AEB=cos2π3-α=cos2π3cosα+sin2π3sinα=-12cosα+32sin在Rt△EAB中，cos∠AEB=EABE=2故BE=2cos∠AEB=2722.(2013湖北,18,12分）在△ABC中,角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b,c。已知cos2A-3cos（B+C）=1.(1）求角A的大?。唬?）若△ABC的面積S=53，b=5,求sinBsinC的值。解析（1）由cos2A—3cos（B+C）=1,得2cos2A+3cosA-2=0，即（2cosA—1）(cosA+2）=0，解得cosA=12或cosA=-2（舍去因為0〈A〈π,所以A=π3(2)由S=12bcsinA=12bc·32=34bc=5又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+16—20=21，故a=21。由正弦定理得sinBsinC=basinA·casinA=bca2sin2A=202123。（2013天津，16,13分)在△ABC中,內(nèi)角A,B，C所對的邊分別是a，b,c.已知bsinA=3csinB,a=3,cosB=23（1）求b的值；(2)求sin2B-解析(1）在△ABC中，由asinA=bsinB，可得bsin又由bsinA=3csinB，可得a=3c，又a=3，故c=1.由b2=a2+c2—2accosB,cosB=23,可得b=6（2）由cosB=23,得sinB=53cos2B=2cos2B—1=—19sin2B=2sinBcosB=45所以sin2B-π3=sin2Bcosπ=45考點二解三角形及其應(yīng)用1。（2016課標全國Ⅲ，9,5分)在△ABC中,B=π4,BC邊上的高等于13BC，則sinA.310 B。1010 C.55答案D2.（2014四川，8,5分)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°,30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（)A.240(3-1)m B。180（2—1)mC。120(3-1）m D.30（3+1)m答案C3。(2013課標全國Ⅰ,10,5分）已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a,b，c，23cos2A+cos2A=0，a=7,c=6，則b=(）A.10 B.9 C。8 D.5答案D4。(2013課標全國Ⅱ，4，5分）△ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b,c,已知b=2，B=π6,C=π4，則△ABCA。23+2 B.3+1 C.23—2 D.3—1答案B5。(2017浙江,14,5分）已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD，則△BDC的面積是，cos∠BDC=。

答案152；6。(2016課標全國Ⅱ,15，5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b，c,若cosA=45,cosC=513,a=1，則b=答案217.（2014課標Ⅰ，16，5分）如圖，為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°，C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高MN=m。

答案1508。(2017山東，17,12分)在△ABC中，角A，B,C的對邊分別為a,b，c.已知b=3,AB·AC=—6,S△ABC=3，求A和a。解析因為AB·AC=-6,所以bccosA=—6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=—1，又0<A〈π，所以A=3π又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA,得a2=9+8-2×3×22×-2所以a=29.9。(2016天津,15，13分)在△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b,c.已知asin2B=3bsinA。(1)求B;（2)若cosA=13,求sinC的值解析（1)在△ABC中，由asinA=bsinB可得asinB=bsinA,又由asin2B=3bsinA得2asinBcosB=3bsinA=所以cosB=32，得B=π（2）由cosA=13可得sinA=2則sinC=sin［π—（A+B）］=sin(A+B）=sinA=32sinA+12cosA=10。（2015課標Ⅰ，17，12分)已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B=2sinAsinC.（1)若a=b，求cosB；(2）設(shè)B=90°，且a=2,求△ABC的面積。解析（1）由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b，所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=a2+c2-（2)由（1）知b2=2ac。因為B=90°，所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=2。所以△ABC的面積為1。（12分）11.（2015課標Ⅱ,17，12分）△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.(1）求sin∠B（2)若∠BAC=60°,求∠B.解析（1）由正弦定理得ADsin∠B=BDsin∠BAD,因為AD平分∠BAC，BD=2DC,所以sin∠Bsin∠C=DC（2)因為∠C=180°-(∠BAC+∠B）,∠BAC=60°，所以sin∠C=sin（∠BAC+∠B)=32cos∠B+12sin由（1)知2sin∠B=sin∠C，所以tan∠B=33，即∠教師用書專用(12—25）12.（2013山東，7,5分）△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若B=2A,a=1,b=3，則c=(）A.23 B。2C。2 D.1答案B13.（2013陜西,9，5分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a,b,c，若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為（）A.直角三角形 B。銳角三角形C。鈍角三角形 D。不確定答案A14.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線AC的長為107cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14cm和62cm。分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm?，F(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)（1)將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度；(2)將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度。解析(1)由正棱柱的定義，CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處.因為AC=107，AM=40，所以MC=40從而sin∠MAC=34記AM與水面的交點為P1,過P1作P1Q1⊥AC,Q1為垂足，則P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12，從而AP1=P1答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為16cm.（如果將“沒入水中部分"理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為24cm）（2)如圖，O，O1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG.同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1。記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處。過G作GK⊥E1G1，K為垂足,則GK=OO1=32.因為EG=14,E1G1=62，所以KG1=62-142=24,從而GG1=K設(shè)∠EGG1=α，∠ENG=β,則sinα=sinπ2+∠KGG1=cos∠因為π2<α<π,所以cosα=—3在△ENG中,由正弦定理可得40sinα=14sinβ,解得sin因為0<β<π2，所以cosβ=24于是sin∠NEG=sin(π—α—β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=45×2425+-35×記EN與水面的交點為P2,過P2作P2Q2⊥EG,Q2為垂足,則P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2=P2答：玻璃棒l沒入水中部分的長度為20cm。（如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”，則結(jié)果為20cm)15。(2015陜西，17,12分）△ABC的內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a,b,c.向量m=（a,3b)與n=（cosA，sinB)平行.(1）求A；（2）若a=7,b=2，求△ABC的面積。解析（1）因為m∥n,所以asinB-3bcosA=0，由正弦定理,得sinAsinB—3sinBcosA=0，又sinB≠0,從而tanA=3,由于0〈A<π,所以A=π3(2)解法一:由余弦定理，得a2=b2+c2—2bccosA，而a=7，b=2,A=π3得7=4+c2—2c,即c2—2c—3=0,因為c>0，所以c=3.故△ABC的面積為12bcsinA=3解法二：由正弦定理,得7sinπ從而sinB=217又由a〉b,知A〉B,所以cosB=27故sinC=sin(A+B)=sinB=sinBcosπ3+cosBsinπ3=所以△ABC的面積為12absinC=316.（2015浙江，16,14分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b,c.已知tanπ4（1）求sin2Asin2（2）若B=π4，a=3,求△ABC的面積解析(1)由tanπ4+A=2，得tan所以sin2Asin2A+co（2）由tanA=13，A∈(0，π),sinA=1010,cosA=3又由a=3，B=π4及正弦定理asinA=bsinB由sinC=sin(A+B)=sinA+π4得sin設(shè)△ABC的面積為S,則S=12absin17.(2015天津，16，13分）在△ABC中,內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a,b，c。已知△ABC的面積為315,b—c=2，cosA=—14(1)求a和sinC的值；（2)求cos2A+解析（1）在△ABC中，由cosA=—14,可得sinA=15由S△ABC=12bcsinA=315,得bc=24,結(jié)合解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccosA，可得a=8.由asinA=csinC,得sin（2)cos2A+π6=cos2A·cosπ6—sin=32（2cos2A—1）—12×2sinA·cosA=18。（2015四川，19，12分)已知A，B，C為△ABC的內(nèi)角,tanA，tanB是關(guān)于x的方程x2+3px—p+1=0（p∈R)的兩個實根。（1）求C的大小;（2)若AB=3,AC=6,求p的值。解析（1）由已知得，方程x2+3px—p+1=0的判別式Δ=（3p）2—4（-p+1）=3p2+4p—4≥0。所以p≤—2,或p≥23由韋達定理，有tanA+tanB=—3p,tanAtanB=1—p.于是1—tanAtanB=1-（1-p)=p≠0,從而tan(A+B)=tanA+tanB1-所以tanC=-tan（A+B）=3，所以C=60°.（2)由正弦定理，得sinB=ACsinCAB=6解得B=45°，或B=135°（舍去).于是A=180°-B-C=75°。則tanA=tan75°=tan(45°+30°)=tan45=1+331所以p=—13(tanA+tanB）=—13(2+3+1)=—1-19。（2014遼寧，17，12分）在△ABC中,內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b,c，且a>c.已知BA·BC=2,cosB=13,b=3.求(1）a和c的值;（2）cos(B-C）的值.解析(1）由BA·BC=2得c·acosB=2。又cosB=13，所以由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.又b=3，所以a2+c2=9+2×2=13.解ac=6,a2因為a>c,所以a=3,c=2。（2)在△ABC中，sinB=1-cos2B由正弦定理，得sinC=cbsinB=23×22因為a=b>c,所以C為銳角，因此cosC=1-sin2C于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC=13×79+223×20.（2014大綱全國,18，12分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求解析由題設(shè)和正弦定理得3sinAcosC=2sinCcosA。故3tanAcosC=2sinC,因為tanA=13,所以cosC=2sinC，tanC=1所以tanB=tan［180°—(A+C）］=—tan（A+C）=tanA所以B=135°。21。(2014安徽,16,12分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B,C所對邊的長分別是a，b，c,且b=3,c=1,△ABC的面積為2,求cosA與a的值。解析由三角形面積公式,得12×3×1·sinA=2故sinA=22因為sin2A+cos2A=1，所以cosA=±1-sin2A①當(dāng)cosA=13時,a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×1×3×13所以a=22.②當(dāng)cosA=—13時，a2=b2+c2—2bccosA=32+12-2×1×3×-1所以a=23.22.(2014重慶，18，13分）在△ABC中，內(nèi)角A,B，C所對的邊分別為a，b，c，且a+b+c=8。(1）若a=2,b=52,求cosC的值(2）若sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinC,且△ABC的面積S=92sinC,求a和解析（1）由題意可知c=8-(a+b）=72由余弦定理得cosC=a2+b2-（2)由sinAcos2B2+sinBcos2A2=2sinsinA·1+cosB2+sinB·1+cosA化簡得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.因為sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知a+b=3c.又因為a+b+c=8,所以a+b=6。由于S=12absinC=92sinC,所以ab=9，從而a解得a=3,b=3.23.（2013重慶，18,13分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b,c，且a2=b2+c2+3bc。(1）求A；（2）設(shè)a=3，S為△ABC的面積,求S+3cosBcosC的最大值，并指出此時B的值.解析（1)由余弦定理得cosA=b2+c2-又因0<A<π,所以A=5π(2）由（1)得sinA=12，又由正弦定理及a=3S=12bcsinA=12·asinBsinA·asin因此,S+3cosBcosC=3（sinBsinC+cosBcosC)=3cos(B—C).所以，當(dāng)B=C，即B=π-A2=π12時，S+3cosBcos24。（2013浙江,18，14分)在銳角△ABC中，內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a，b，c,且2asinB=3b。(1)求角A的大小;（2)若a=6，b+c=8,求△ABC的面積。解析（1)由2asinB=3b及asinA=bsinA=32.因為A是銳角，所以A=π（2）由a2=b2+c2—2bccosA，得b2+c2-bc=36。又b+c=8，所以bc=283由S=12bcsinA，得△ABC的面積為725.(2013四川，17,12分)在△ABC中，角A,B，C的對邊分別為a,b，c,且cos（A—B）cosB—sin（A—B）sin（A+C)=-35（1)求sinA的值；(2)若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.解析(1）由cos(A—B)cosB—sin（A—B）sin(A+C）=—35,得cos(A—B)cosB—sin(A-B)sinB=—3則cos（A-B+B)=—35,即cosA=—3又0<A<π，所以sinA=45。(5分(2)由正弦定理asinA=bsinB=bsinAa由題知a>b,則A>B，故B=π4根據(jù)余弦定理,有（42)2=52+c2—2×5c×-3解得c=1或c=-7(負值舍去).故向量BA在BC方向上的投影為｜BA|cosB=22。（12分三年模擬A組2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組考點一用正、余弦定理解三角形1。（2018河南中原名校第三次聯(lián)考，7)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若B=2A,a=1，b=3，則c=（）A.1 B。2 C.2 D.23答案C2。（2017湖北黃岡3月質(zhì)檢,6）在△ABC中,角A,B，C的對邊分別是a，b,c，若a=52b，A=2B，則cosB=()A。53 B。54 C。55答案B(2017福建廈門12月聯(lián)考，6)在銳角△ABC中,a,b，c分別為∠A、∠B、∠C的對邊,若向量m=(a—b,1)和n=(c-b，1)平行，且sinB=45,當(dāng)△ABC的面積為32時,b=(）A。3 B.1+C.4 D。2+3答案A考點二解三角形及其應(yīng)用4.（2018江西師大附中10月模擬,7)已知△ABC中，滿足b=2，B=60°的三角形有兩解，則邊長a的取值范圍是（）A。32<a〈2 B。1C。2〈a<433 答案C5.（2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,8）如圖所示，為了測量A,B兩處島嶼間的距離，小張以D為觀測點,測得A，B分別在D處的北偏西30°、北偏東30°方向,再往正東方向行駛40海里到C處，測得B在C處的正北方向，A在C處的北偏西60°方向,則A，B兩處島嶼間的距離為(）A.203海里 B。403海里C。20（1+3)海里 D。40海里答案B6.(2018河北衡水中學(xué)四調(diào),9)在△ABC中,角A,B，C的對邊分別為a,b，c，且2c·cosB=2a+b,若△ABC的面積S=32c，則ab的最小值為A.18 B。12 C.6 D。3答案B7.(2018千校聯(lián)盟12月模擬，10)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b,c。若c=b(cosA+cosB),則△ABC為()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C。等腰三角形 D。等腰三角形或直角三角形答案D8.(2016廣東肇慶三模，10)在△ABC中,AB=3,BC=13，AC=4,則邊AC上的高為(）A。322 B。332 C。答案B9。（2017江西南昌十校二模，16）在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，且B為銳角，若sinAsinB=5c2b，sinB=74,S△ABC=答案14(2017江西六校聯(lián)考,19）△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c,m=（sinB，5sinA+5sinC)與n=(5sinB-6sinC，sinC—sinA)垂直。（1)求sinA的值;(2）若a=22，求△ABC的面積S的最大值。解析(1)因為m=（sinB，5sinA+5sinC)與n=(5sinB—6sinC,sinC-sinA)垂直，所以m·n=5sin2B—6sinBsinC+5sin2C—5sin2A=0,即sin2B+sin2C-sin2A=6sinB根據(jù)正弦定理得b2+c2-a2=6bc由余弦定理得cosA=b2+c∵角A是△ABC的內(nèi)角,∴sinA=1-cos（2）由(1）知b2+c2—a2=6bc5≥2bc-a又∵a=22,∴bc≤10.∵△ABC的面積S=bcsinA2=∴△ABC的面積S的最大值為4。B組2016—2018年模擬·提升題組(滿分：70分時間：60分鐘）一、選擇題（每小題5分，共30分)1.(2018湖南益陽、湘潭9月聯(lián)考，9)《數(shù)書九章》中對“已知三角形三邊長求三角形面積”的求法,填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的一個空白,與著名的海倫公式完全等價,由此可以看出我國古代具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減去斜冪，余半之,自乘于上；以小斜冪乘大斜冪,減上，余四約之，為實;一為從隅,開平方得積?！比舭堰@段文字寫成公式,即S=14c2a2-c2+a2-b222.現(xiàn)有周長為22+5的△ABC滿足sinA.32 B.34 C。52答案B2.（2018湖北荊州中學(xué)11月模擬，9）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c,且cosBb=-3cosCc,A.π6 B。π4 C.π3答案A3.（2018四川成都摸底考試,11)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對邊分別為a,b,c，且asinA-csinC=(a—b）sinB，c=3,則△ABC的面積的最大值為（）A。38 B。34 C。93答案D4。(2017湖南長沙長郡中學(xué)12月模擬，6)△ABC的內(nèi)角A，B,C所對的邊分別為a，b，c，已知a=3,b=6,∠A=π6,則∠A.π4 B。π4或3π4C.π3或答案B5.(人教A必5，一，1，B2，變式）△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，若滿足c=2,acosC=csinA的三角形ABC有兩個,則邊BC的長度的取值范圍是()A。(1，2） B。（1，3） C。(3，2） D.（2，2）答案D6.（2016云南昆明三中月考,8）在△ABC中,內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a,b，c,若△ABC的面積為S，且2S=（a+b）2—c2,則tanC等于(）A。34 B.43 C。-43答案C二、填空題(共5分)7。（2017山西五校聯(lián)考,15)已知△ABC的面積為S，三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c。若4S+a2=b2+c2，則sinC-cosB+π4取最大值時答案π4三、解答題（共35分)8。（2018湖北重點高中期中聯(lián)考，21）在△ABC中，內(nèi)角A，B,C的對邊分別是a,b,c，且ca-b(1）求角B的大?。唬?）點D滿足BD=3BC,且AD=2,求3a+c的取值范圍.解析（1）∵ca-b=sinA+sinBsinA∴c（a-c)=（a+b)(a-b)，即a2+c2—b2=ac,又∵a2+c2-b2=2accosB，∴cosB=12。（4分∵B∈(0,π）,（5分）∴B=π3。(6分(2)∵BD=3BC,∴BD=3a.在△ABD中，由余弦定理知c2+（3a）2—2·3a·c·cosπ3=22∴（3a+c)2—4=3·3ac.（7分)∵a>0,c〉0,∴3ac≤3a∴（3a+c）2—4≤34（3a+c）2，即(3a+c）2≤當(dāng)且僅當(dāng)3a=c,即a=23,c=2時取等號所以3a+c的最大值為4。（10分）又在△ABD中，3a+c>2，（11分）故3a+c的取值范圍是(2,4]。(12分)9。(2018河北石家莊摸底考試，17）某學(xué)校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū)，四邊形區(qū)域BCDE為教學(xué)區(qū),AB,BC，CD，DE,EA,BE為學(xué)校的主要道路（不考慮寬度).∠BCD=∠CDE=2π3,∠BAE=π3,DE=3BC=3CD=(1）求道路BE的長度;（2)求生活區(qū)△ABE的面積的最大值.解析(1）如圖,連接BD，在△BCD中，BD2=BC2+CD2—2BC·CDcos∠BCD=27100,∴BD=33∵BC=CD,∠BCD=2π∴∠CBD=∠CDB=π-23又∠CDE=2π3，∴∠BDE=∴在Rt△BDE中，BE=BD2+DE故道路BE的長度為335km.(6（2)設(shè)∠ABE=α，∵∠BAE=π3,∴∠AEB=2在△ABE中,ABsin∠AEB=AEsin∠ABE=BEsin∠∴AB=65sin2π3-αkm，AE=65sin∴S△ABE=12AB·AEsinπ3=9325sin2π3-αsinα=∴—π6〈2α-π6〈∴當(dāng)2α-π6=π2，即α=π3時，S△ABE取得最大值,最大值為9325×12故生活區(qū)△ABE面積的最大值為273100km2。（1210.(2017山西、河南、河北三省12月聯(lián)考，17)如圖,在△ABC中,sinC=154，且π2〈C〈π,AB=8,若12sin∠BAC=AB·sin(1)求△ABC的面積;（2)已知D在線段BC上,且∠BAD=∠CAD，求sin∠CAD的值以及AD的長。解析(1)記AC=b,BC=a,AB=c,因為sinC=154，且π2〈C〈π，所以cosC=—1-因為12sin∠BAC=AB·sinB，且AB=8,所以12sin∠BAC=8sinB,由正弦定理得3a=2b。在△ABC中,c2=a2+b2-2abcosC=a2+9a24+2·a·3a2·14又3a=2b,故b=6。故△ABC的面積S=12absinC=12×4×6×154(2）依（1）得cos∠BAC=b2+c又由已知得cos∠BAC=1-2sin2∠CAD,所以sin∠CAD=14故sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)=14×-14+154×故ADsinC=ACsin∠ADC?AD154C組2016—2018年模擬·方法題組方法1正弦定理和余弦定理的應(yīng)用方法1.(2017廣東七校第一次聯(lián)考,7)在△ABC中，a，b,c是角A，B,C的對邊，若a，b，c成等比數(shù)列，A=45°,則bsinA.12 B。32 C.22答案C2。(2018豫北、豫南精英對抗賽,16）已知銳角△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，其外接圓半徑為233，b=2，則△ABC的周長的取值范圍是答案（2+23，6]3。(2018河南信陽第一次質(zhì)檢,20）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b,c，且sinA+3cosA=2。(1）求角A的大小;(2)現(xiàn)給出三個條件:①a=2；②B=45°;③c=3b。試從中選出兩個可以確定△ABC的條件，寫出你的選擇,并以此為依據(jù)求△ABC的面積.（只寫出一個方案即可)解析（1）sinA+3cosA=2可化為2sinA+所以sinA+因為0〈A<π,所以A+π3=π2，所以A=(2)方案一:選擇①②.在△ABC中，由正弦定理得b=asinBsinA=因為sinC=sin(A+B）=12×22+32×2所以△ABC的面積為12absinC=12×2×22×6+方案二：選擇①③.在△ABC中，由余弦定理得a2=b2+c2—2bccosA=b2+3b2—23·b2cosπ6=b2所以b=2,所以c=23。所以△ABC的面積為12bcsinA=12×2×23×sinπ6說明：若選擇②③，則由c=3b可得sinC=3sinB=62>1,故這樣的△ABC不存在4.(2017河北唐山一模，17)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，a2-ab-2b2=0。(1）若B=π6,求（2）若C=2π3,c=14,求S△解析（1)由已知B=π6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理化簡整理得2sin2A-sinA—1=0,于是sinA=1或sinA=—12(因為0〈A<π,所以A=π2又A+B+C=π,所以C=π—π2-π6=(2)由題意及余弦定理可知a2+b2+ab=1