凸函數(shù)的開題報告

凸函數(shù)的開題報告凸函數(shù)的開題報告

一、文獻綜述

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen[1905]著述中。它在純粹數(shù)學和應用數(shù)學的眾多領域中具有廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)掌握等學科的理論根底和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。

凸函數(shù)有很多良好的性質(zhì)，例如，其中一個很重要的性質(zhì)就是：在凸集中，凸函數(shù)的任何局部最小也是全局最小。它在數(shù)學的很多領域中都有著廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)掌握等學科的理論根底和有力工具。

但是凸函數(shù)的局限性也很明顯，由于在實際問題中，大量的函數(shù)都是非凸的。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，60年月中期產(chǎn)生了凸分析，凸函數(shù)的概念也按多種途徑進展推廣，或?qū)τ诔橄罂臻g的推廣，或?qū)τ谏厦嫣岬降牟坏仁降耐茝V，然后提出了廣義凸函數(shù)的概念。60年月后期，先是有Mangasarian把凸函數(shù)的概念推廣到擬凸函數(shù)(quasi-convexfunctions)和偽凸函數(shù)(pseudo-convexfunctions)。我們知道，在數(shù)學規(guī)劃的理論及算法中，函數(shù)的凸性只是一個充分條件，而不是必要條件。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的很多重要性質(zhì)仍舊得以保存，凸規(guī)章的大多數(shù)結(jié)果能推廣到非凸規(guī)章，已構(gòu)成了數(shù)學規(guī)劃討論領域的當前趨勢之一，所以討論廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得非常必要了。

擬凸函數(shù)(quasi-convexfunctions)是一類特別重要的廣義凸函數(shù)，已有大量文獻對此作了討論，擬凸函數(shù)可以定義為：假如對任意及任意的，有，則稱為上的擬凸函數(shù)。先是楊新民教授給出了擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的性質(zhì)，爭論了他們之間的關系，得到了某些有意義的結(jié)論。擬凸函數(shù)的定義具有多種形式且相互之間有等價關系。同時又有很多專家討論擬凸函數(shù)的上半連續(xù)性和下半連續(xù)性。偽凸函數(shù)(pseudo-convexfunctions)是另一類重要的廣義凸函數(shù)，其中強偽凸函數(shù)和嚴格偽凸函數(shù)尤其被數(shù)學工所討論。強偽凸函數(shù)恰好是二次函數(shù)的嚴格偽凸性的推廣，全部關于二次函數(shù)嚴格偽凸的特征同樣也是二次函數(shù)強偽凸的特征。

二、立題背景及意義

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，它的概念最早見于Jensen[1905]著述中。它在純粹數(shù)學和應用數(shù)學的眾多領域中具有廣泛的應用，現(xiàn)已成為數(shù)學規(guī)劃、對策論、數(shù)理經(jīng)濟學、變分學和最優(yōu)掌握等學科的理論根底和有力工具。為了理論上的突破，加強它們在實踐中的應用，產(chǎn)生了廣義凸函數(shù)。本文主要是討論幾類凸函數(shù)的性質(zhì)與應用。探討擬凸函數(shù)、嚴格擬凸函數(shù)及強擬凸函數(shù)的定義、性質(zhì)以及這三類函數(shù)之間相互轉(zhuǎn)換的充分必要條件，也爭論擬凸函數(shù)的連續(xù)性和可微性。同時也對強偽凸函數(shù)性質(zhì)進展討論，得到一些有意義的結(jié)論。

凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)，在數(shù)學的很多領域中都有著廣泛的應用，但是它的局限性也很明顯。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的很多重要性質(zhì)仍舊得以保存，所以討論廣義凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得非常必要了。

三、討論內(nèi)容與討論方法

討論內(nèi)容：一是對討論的背景和意義進展分析論述，二是對凸函數(shù)的定義及其相互關系分析論述，三是對凸函數(shù)的性質(zhì)分析，四是對凸函數(shù)的應用分析。

討論的方法：主要是運用了文獻綜述的理論論述和定量分析的方法，詳細步驟為：

1.查閱有關凸函數(shù)的性質(zhì)與應用的書籍和文獻資料，結(jié)合教學實習了解中學數(shù)學教學中教師對凸函數(shù)的性質(zhì)與應用及效果狀況，對其過程、環(huán)節(jié)和狀況做出分析。

2.寫出開題報告，指消失今文獻中對凸函數(shù)的性質(zhì)與應用的探討討論狀況，分析文獻資料，并基于文獻提出有關值得探討和挖掘的問題，列出論文提綱。

3.在論文寫作過程中留意理論與實踐相聯(lián)系，解決提出的問題，尋求恰當切入點，進展論述，并提出自己的論點和相關的改革建議。

4.參與論文辯論

四、預期結(jié)果(預期到達的技術(shù)性能指標及供應的成果形式)

本文討論幾類廣義凸函數(shù)的定義和性質(zhì)。探