最優(yōu)控制中的變分法

最優(yōu)控制中的變分法第1頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六1.1變分的基本概念例1-1最速降線問題最速降線問題對變分學(xué)的創(chuàng)立產(chǎn)生過重大影響。確立一條連結(jié)定點(diǎn)A(0，0)和定點(diǎn)B(xf，yf)的曲線。使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從點(diǎn)A滑動到點(diǎn)B所需的時(shí)間最短(忽略摩擦和阻力的影響)。解：最速降線問題的示意圖如下第2頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六(1)泛函的概念函數(shù)：對于變量x的某一變域中的每一個(gè)值，y都有一個(gè)值與之相對應(yīng)，那么變量y稱作變量x的函數(shù)。記為：y=f(x)x稱為函數(shù)的自變量自變量的微分：dx=x-x0（增量足夠小時(shí)）泛函：對于某一類函數(shù)y(·)中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量J都有一個(gè)值與之相對應(yīng)，那么變量J稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為：J=J[y(x)]y(x)稱為泛函的宗量宗量的變分：例1-1問題的本質(zhì)：泛函極值第3頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六泛函的連續(xù)性：對任意給定的正數(shù)ε，總存在另一個(gè)正數(shù)δ，當(dāng)則稱泛函J[y(x)]在點(diǎn)y0(x)處是連續(xù)的。兩個(gè)函數(shù)接近度的概念：k階接近度零階接近度一階接近度第4頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六線性泛函：泛函J[y(x)]如果滿足下列兩個(gè)條件：則稱為線性泛函。第5頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六(2)泛函的變分設(shè)泛函J[y(x)]為連續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分：記為：δ

J。可以證明，泛函的變分是唯一的。如何求解泛函的變分？借鑒函數(shù)f(x)微分的求解：與（1-5）類似，可得出泛函J[y(x)]的求解：

第6頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六例：求下列泛函的變分

第7頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六(3)泛函的極值泛函極值的定義：對于與y0(x)接近的曲線y(x)，泛函J[y(x)]的增量則泛函J[y(x)]在曲線y0(x)上達(dá)到極值。泛函極值定理：若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上達(dá)到極值，則在y=y0(x)上的變分為零。即第8頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六證明如下：

根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)φ(ε)在ε=0時(shí)達(dá)到極值的必要條件為：比較（1-9）和（1-10），可見：第9頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六1.2無約束條件的最優(yōu)化問題1．端點(diǎn)固定的情況了解泛函極值的概念后，再來研究最速降線問題。其目標(biāo)函數(shù)為：不失一般性，可寫為：問題為：確定一個(gè)函數(shù)x(t)，使J[x(t)]達(dá)到極小（大）值。這條能使泛函J[x(t)]達(dá)到極值的曲線稱為極值曲線（軌線），記作：x*(t)對于端點(diǎn)固定的情況，容許軌線x(t)應(yīng)滿足下列邊界條件：對（1-13）求取泛函極值的思路：求取泛函的變分（通過泰勒展開，求取泛函增量的線性主部，）第10頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六容許軌線是由極值曲線微小攝動而成，即將（1-15）式代入（1-13）第11頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六對式（1-21）中被積函數(shù)第二項(xiàng)分部積分(消去）根據(jù)泛函極值的必要條件，可得歐拉方程歐拉方程的展開形式：第12頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六歐拉方程的特殊形式（L不顯含t時(shí))第13頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六再來回顧最速降線問題，其指標(biāo)函數(shù)為：代入（1-28）式：整理、簡化后可得若用參數(shù)法求解，令，可得這是圓滾線的參數(shù)方程。第14頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六關(guān)于歐拉方程的幾點(diǎn)說明：歐拉方程是泛函極值的必要條件，是否充分還需進(jìn)一步判斷。（參見p56“泛函極值的充分條件——勒蓋特條件）歐拉方程是二階微分方程，只有在個(gè)別情況下才能得到封閉形式的解。（如最速降線問題）

2．端點(diǎn)變動的情況

（例如，攔截問題）

始點(diǎn)x0在曲線x=φ(x)上變動終點(diǎn)xf在曲線x=ψ(x)上變動第15頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六端點(diǎn)變動時(shí)泛函極值的必要條件：（推導(dǎo)過程略）（1）歐拉方程（2）橫截條件第16頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六x21012t例：確定點(diǎn)A(0,1)至給定直線的最短的曲線方程。解：由A至的弧長性能指標(biāo)為由歐拉方程：積分得，再積分，得通解

根據(jù)始端條件：根據(jù)終端橫截條件，得最優(yōu)軌線方程：第17頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六1.3具有等式約束條件的最優(yōu)化問題在最優(yōu)控制問題中，泛函J[x(t)]所依賴的函數(shù)往往會受到—定約束條件的限制。在動態(tài)最優(yōu)化問題中，由于受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往用微分方程來描述，所以等式約束就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。解決具有等式約束條件的最優(yōu)化問題的基本思路，就是應(yīng)用拉格朗日乘子法，將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題。1.微分約束問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標(biāo)泛函為：求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，其目標(biāo)函數(shù)J取極值。（兩點(diǎn)邊值問題）第18頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六這里，為了將有約束條件的泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件的泛函極值問題，可應(yīng)用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量λ(t)，即構(gòu)造一個(gè)新的輔助泛函：定義哈密爾頓(Hamilton)函數(shù)H：（將分離出去）代入（1-36）式第19頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六

多元輔助泛函J’的歐拉方程為：協(xié)態(tài)方程狀態(tài)方程控制方程正則方程組根據(jù)上述三個(gè)方程，加上邊界條件，可得最優(yōu)控制問題的唯一確定解

思考：，給定，自由時(shí)的情況。第20頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六2.端點(diǎn)等式約束（等式約束的更一般形式)問題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標(biāo)泛函為：求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)，其目標(biāo)函數(shù)J取極值。根據(jù)一個(gè)微分約束，一個(gè)端點(diǎn)約束，共需引入2個(gè)拉格朗日乘子向量，構(gòu)成新的輔助目標(biāo)泛函：第21頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六用分部積分法消去極值的必要條件是一階變分為零第22頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六（2）協(xié)態(tài)方程（1）狀態(tài)方程（3）控制方程

（極值條件）（4）端點(diǎn)約束（5）橫截條件思考：第23頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六1.4應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問題用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問題，實(shí)際上就是具有等式約束條件的泛函極值問題，只要把受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看成是最優(yōu)軌線x(t)應(yīng)滿足的等式約束條件即可。1.變分法中的三類基本問題受控系統(tǒng)狀態(tài)方程目標(biāo)泛函為：拉格朗日(Lagrange)問題：梅耶（Mayer)問題：波爾扎（Bolza)問題：第24頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六2.變分法應(yīng)用示例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程邊界條件為：性能指標(biāo)為：1）寫出H函數(shù)2）由控制方程推導(dǎo)u的表達(dá)式解:3）求解協(xié)態(tài)方程第25頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六4）求解狀態(tài)方程5）利用邊界條件求解c１～c４6）寫出最優(yōu)控制ｕ＊７)將ｕ＊代入J求出最優(yōu)性能指標(biāo)J＊8)寫出最優(yōu)軌線解畢！上例中當(dāng)存在端點(diǎn)約束時(shí)，如求解步驟1)-4)相同，5）中所需邊界條件的變動為：*橫截條件用于補(bǔ)充所缺邊界條件第26頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六作業(yè)1。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初態(tài)。欲使系統(tǒng)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集且使性能指標(biāo)為最小的最優(yōu)控制及最優(yōu)軌線。第27頁，共29頁，2023年，2月20日，星期六第1章要點(diǎn)無約束條件下泛函極值必要條件（歐拉方程，橫截條件）微分型和端點(diǎn)等式約束下泛函極值必要條件（波爾