變分原理在物理學(xué)中的應(yīng)用

變分原理在物理學(xué)中的應(yīng)用［摘要］從變分法出發(fā)，簡(jiǎn)述了變分原理的建立和發(fā)展；并就變分原理在各個(gè)學(xué)科的應(yīng)用予以列舉，為變分原理的初學(xué)者作以引導(dǎo)。［關(guān)鍵字］變分法：變分原理：發(fā)展歷程：應(yīng)用。引言變分原理愈來(lái)愈引起重視。固體力學(xué)變分原理的發(fā)展最為成熟，流體力學(xué)變分原理近年來(lái)也獲得突破，電磁學(xué)、傳熱學(xué)等領(lǐng)域變分原理在不斷應(yīng)用和發(fā)展。這是因?yàn)樽兎衷砼c有限元結(jié)合起來(lái)使古典的變分原理煥發(fā)青春⑴。本文就變分原理的發(fā)展歷程和變分原理在物理學(xué)中的應(yīng)用P以概括，以形成一個(gè)了解變分原理的脈絡(luò)，為更好的應(yīng)用變分原理打下基礎(chǔ)。1.變分原理發(fā)展簡(jiǎn)史年份歷史事件1696年約翰?伯努利提出最速曲線問(wèn)題開(kāi)始出現(xiàn)1733年歐拉首先詳盡的闡述了這個(gè)問(wèn)題.他的《變分原理》(ElementaCalculiVariationum)寄予了這門(mén)科學(xué)這個(gè)名字。1786年拉格朗日確定了變分法，但在對(duì)極大和極小的區(qū)別不完全令人滿意。1810^1831年VincenzoBrunacci,CarlFriedrichGauss,SimeonPoisson,MikhailOstrogradsky和CarlJacobi對(duì)于這兩者的區(qū)別都曾做出過(guò)貝獻(xiàn)。1842年柯西Cauchy濃縮和修改了變分法，建立了一套嚴(yán)格的理論。1849^1885年Strauch,Jellett,OttoHesse,AlfredClebsch和Carll寫(xiě)了—些其他有價(jià)值的論文和研究報(bào)告。1872年Weierstrass系統(tǒng)建立了實(shí)分析和復(fù)分析的基礎(chǔ)，基本上完成了分析的算術(shù)化。他關(guān)于這個(gè)理論的著名教材是劃時(shí)代的，并11他可能是第一個(gè)將變分法置于一個(gè)穩(wěn)固而不容置疑的基礎(chǔ)上的。1900年希爾伯特(H訂bert)發(fā)表的第20和23個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題促進(jìn)了變分思想更深遠(yuǎn)的發(fā)展。20世紀(jì)初DavidHilbert,EmmyNoether,LeonidaTonelli,HenriLebesgue和JacquesHadamard等人做出重耍貢獻(xiàn)。20世紀(jì)30年代MarstonMorse將變分法應(yīng)用在Morse理論中。

20世紀(jì)60年代LevPontryagin,RalphRockafellar和Clarke 義變分法理想控制論發(fā)展了新的數(shù)學(xué)工具.變分原理在各個(gè)學(xué)科中的應(yīng)用2.1變分原理在電磁場(chǎng)中的應(yīng)用在靜電場(chǎng)中可根據(jù)湯姆生(Thomson)定理得出靜電場(chǎng)中的變分原理⑵。湯姆生定理指出：靜電場(chǎng)中,導(dǎo)體表面電荷的分布使存儲(chǔ)在靜電場(chǎng)中的能量最小?？砂聪率郊熬唧w的邊界條件決定場(chǎng)中的電位分布:/、11「&|▽創(chuàng)=Fg込上式表示無(wú)限空間內(nèi)靜電場(chǎng)中的變分原理，但在實(shí)際問(wèn)題中,往往需分析、計(jì)算有限區(qū)域內(nèi)的電位分布，因此有必耍將湯姆生定理加以推廣。2.1.1均勻介質(zhì)中靜電場(chǎng)的變分原理描述靜電場(chǎng)的定解問(wèn)題為：泛空方程：V2^>=S在場(chǎng)域V內(nèi)邊界條件：^=fo第一類(lèi)邊界條件空=f第二類(lèi)邊界條件了+"-匚第三類(lèi)邊界條件若為齊次的第二類(lèi)邊界條件：F3)=寺J-fPg、，=為5若為非齊次的第二類(lèi)邊界條件,F3)=￡jg|▽司廿j*4/2Rs=Ez厶 V sz若為非齊次的第三類(lèi)邊界條件:F3)=￡j司▽創(chuàng)泊2-J J 一f、＜pyls=EzZV P S' Z上列各式中都未計(jì)入第一類(lèi)邊界條件。若計(jì)入，則描述靜電場(chǎng)中非齊次第三類(lèi)邊界條件下泊松場(chǎng)的條件變分原理為：F3）=4 j￡（4■力爐‘一fwHs=UzZV V s= Z其中幾=兀凡是具有第一類(lèi)邊界條件的靜電場(chǎng)中，都存在和上式類(lèi)似的條件變分原理。2不均勻介質(zhì)中靜電場(chǎng)的變分原理如果靜電場(chǎng)存在于分層均勻介質(zhì)中，那么不同介質(zhì)中場(chǎng)量中不能用同一函數(shù)表達(dá)，因此，場(chǎng)能應(yīng)分區(qū)進(jìn)行積分，如有二種不同介質(zhì)，則有=爭(zhēng)fI▽您「&“+號(hào)f對(duì)應(yīng)的變分原理為:尸（0）=￡ ▽創(chuàng)丄^一*f -J3<p^-ds=2.1.3恒定磁場(chǎng)中的變分原理由于（pm只適用無(wú)源區(qū)域,所以具有混合邊界條件下的變分原理為:F3m）=J#|▽久|"一\人心；5一￡力0二）厶=V $2 Z其中軌=./o2.1.4正弦交變渦流場(chǎng)中的變分原理在渦流場(chǎng)中的分析中，一般可以忽略位移電流而只考慮傳導(dǎo)電流。描述渦流場(chǎng)的電磁場(chǎng)方程組為：Vx77=7+7OSB

~QtVeB=0 ▽?萬(wàn)=FJ=rE則變分原理為:尸（久）=j X4廣）〃v-F[^jvvrA^dv-jjpAdv=Fmm5正弦交變波導(dǎo)場(chǎng)中的變分原理波導(dǎo)中的電磁場(chǎng)方程組為波動(dòng)方程（不考慮介質(zhì)的損耗），將正弦時(shí)間因素分離以后，不管橫電波還是橫磁波都可歸結(jié)為亥姆霍茨方程：▽2Q+"20=O式中（齊次邊界條件）為：臚=e”怡這方程形式上屬于橢圓型方程，所以不難理解,對(duì)應(yīng)于它的變分原理=jA|v^|2<7v—=巧U ??2.2變分原理在熱學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)中的變分原理在非平衡熱力學(xué)中得到極大地發(fā)展，這些變分原理包括最小爛產(chǎn)生原理;超量爛產(chǎn)生最小定理和局部動(dòng)力勢(shì)變分原理。2.2.1最小爛產(chǎn)生定理在線性非平衡熱力學(xué)中，證明了最小儲(chǔ)產(chǎn)生定理：對(duì)于充分接近平衡區(qū)的定態(tài)，爛產(chǎn)生達(dá)到最小,在同一邊界條件下，與此參考態(tài)相鄰近的態(tài)，具有較高的爛產(chǎn)生。最小爛產(chǎn)生定理意味著存在一個(gè)變分原理⑶。燒產(chǎn)生率的時(shí)間變化率坐■是一個(gè)熱力學(xué)宏觀參數(shù)的泛函。在定態(tài)滿足??舞=02.2.2超童爛產(chǎn)生最小定理把燒看作非平衡定態(tài)的一個(gè)函數(shù)，S。為參考態(tài)的燒值。S在S。鄰近可展開(kāi)為S=S。+込+丄5詁在力學(xué)平衡范圍內(nèi)能證明3局部動(dòng)力勢(shì)與變分原理在偏微分方程理論中，將其化為等價(jià)的變分方程和積分方程求解，可以降低對(duì)解的光滑性耍求,這也是求廣義解的基本出發(fā)點(diǎn)。經(jīng)典變分法中，在一次連續(xù)可微函數(shù)集中求出二階的Euler方程的解,放寬了可収函數(shù)范圍。在非平衡熱力學(xué)中，將可取函數(shù)范圍放寬到最大范圍一一熱力學(xué)的漲量參量，實(shí)質(zhì)上是應(yīng)用GalerRin方法來(lái)推廣Hamilton原理。0=J乙(八兀;從，從。；匕,匕。Xr此時(shí)泛函0的極值條件50=02?3變分原理在光學(xué)中的應(yīng)用費(fèi)馬原理指出：光沿所需時(shí)間為極值(極大值、恒值、極小值)的路徑傳播。假設(shè)y=f(x)為光的路徑，則光程可以下式表示：其中折射率n(x,y)依材料特性而定。若選擇/W=/oW+^iW則A的一階導(dǎo)數(shù)3對(duì)￡的微分）為:將括號(hào)中的第一項(xiàng)用分部積分處理，可得歐拉-拉格朗H方程咻九）允+"Co)Ji+/o3咻九）允+"Co)Ji+/o3=0光線的路徑可由上述的積分式而得。這可以看作上面E-L方程的特例。2.4變分原理在力學(xué)中的應(yīng)用2.4.1一般力學(xué)的變分原理一般力學(xué)的變分原理是指Hamilton原理。在這里，我由Hamilton原理推導(dǎo)出我們常用的Lagrange原理⑷。Ham訂ton原理的泛函為：1.1其約束條件為:1.2由約束條件解得不獨(dú)立的廣義坐標(biāo)么+廠①冊(cè)異）b=12么+廠①冊(cè)異）b=12…，& ￡=n-g2.4.1.3將式2.4.1.3代入式2.4.1.2,可得:2.4.1.4將式2.4.1.4變分，并令^=0：經(jīng)分部積分，并按慣例在時(shí)域邊界心/。和/=人處取觀=0,由于&。的任意性，由上式可得:dLdoLdLdoL這就是著名的Lagrange原理。2廣義的變分原理一類(lèi)變量的廣義的變分原理的泛函為:二類(lèi)變量的廣義的變分原理的泛函為:兀2=『?。á?，巧，/）一呦丿）+￡馬（么一巧）山°_ .V—1S三類(lèi)變量的廣義的變分原理的泛函為：兀、=『Ta,v；，0-v（＜7s.,F）+fp；（么一記）dt° 5=12.5變分原理在量子力學(xué)中的應(yīng)用2.5.1基態(tài)能童問(wèn)題計(jì)算一個(gè)哈密頓量為H的體系的基態(tài)能量E",換句話說(shuō)，已經(jīng)道體系的哈密頓算符H。如果不能解薛定謂方程來(lái)找出波函數(shù)，可以任意猜測(cè)一個(gè)歸一化的波函數(shù)，比如說(shuō)"，結(jié)果是根據(jù)猜測(cè)的波函數(shù)得到的哈密頓算符的期望值將會(huì)高于實(shí)際的基態(tài)能量。換言之：Eg蘭〈創(chuàng)日|0〉這對(duì)于所猜測(cè)的任何e都適用。2.5.2波函數(shù)問(wèn)題給定一個(gè)描述所研究的體系的哈密頓算符H和任意可歸一化的并帶有適當(dāng)體系未知波函數(shù)參數(shù)的函數(shù)屮，我們定義泛函：那么變分原理說(shuō)明:（1） 心E。,式中化是該哈密頓算符的具有最低能量的本征態(tài)（基態(tài)）。（2） ￡二￡。當(dāng)11僅當(dāng)屮確切地等同于研究體系的基態(tài)。上述變分原理是變分法的基本原理，用于量子力學(xué)和量子化學(xué)來(lái)近似求解體系基態(tài)。總結(jié)現(xiàn)代數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理相結(jié)合形成二大研究方向：其一為數(shù)學(xué)物理中的微分幾何方法；其二為數(shù)學(xué)物理中的泛函分析方法?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方法即是基于泛函空間.拓樸流型和群論等現(xiàn)代數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于求解數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的新發(fā)展。應(yīng)用現(xiàn)代變分理論求解力學(xué)和物理問(wèn)題的步驟可用下表3.1描述。

化學(xué)問(wèn)題散構(gòu)分理耗結(jié)變?cè)课锞W(wǎng)題泛函分析數(shù)學(xué)物理直接方法變分法有限元和邊界元法計(jì)算物理算子理論化學(xué)問(wèn)題散構(gòu)分理耗結(jié)變?cè)课锞W(wǎng)題泛函分析數(shù)學(xué)物理直接方法變分法有限元和邊界元法計(jì)算物理算子理論表3?1在泛函分析中線性泛函分析是發(fā)展較成熟的部分，主耍包括抽象空間理論，線性算子理論和廣義函數(shù)理論；相對(duì)而言，非線性泛函分析正處于蓬勃發(fā)展階段，它為數(shù)學(xué)物理問(wèn)題中非線性方程的定性分析和求解，為研究無(wú)窮維空間的微積分，