線性系統(tǒng)理論極點配置與特征結(jié)構(gòu)配置

線性系統(tǒng)理論極點配置與特征結(jié)構(gòu)配置第1頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.1線性系統(tǒng)的常規(guī)控制律6.1.1線性定常狀態(tài)反饋控制律為干擾信號，線性定常系統(tǒng)干擾輸入矩陣。線性定常狀態(tài)反饋控制律：第2頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六系統(tǒng)在狀態(tài)反饋律:作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為:命題6.1.1

狀態(tài)反饋可以改變系統(tǒng)的極點集。其中:第3頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第4頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六命題6.1.2

設(shè)，且陣非奇異，保持系統(tǒng)的則狀態(tài)反饋輸入解耦零點，也即不能控振型不變。命題6.1.3

當(dāng)，且陣非奇異，保持系統(tǒng)的能控則狀態(tài)反饋性不變。狀態(tài)反饋可以保持系統(tǒng)的輸入解耦零點和能控制性不變，不能保證系統(tǒng)的輸出解耦零點和能觀性不變。第5頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例6.1.1已知系統(tǒng)容易驗證該系統(tǒng)為完全能觀的，從而不存在輸出解耦零點或不能觀振型。但當(dāng)取了狀態(tài)反饋律得閉環(huán)系統(tǒng)容易驗證它具有一個不能觀振型從而為不能觀的。第6頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.1.2定常線性輸出反饋控制律線性定常輸出反饋控制律：當(dāng)時系統(tǒng)在輸出反饋律:作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為:其中:第7頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第8頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六

陣可逆時，其輸出反饋律保持其輸入解耦零點和輸出解耦零點不變，從而保持其能控性和能觀性不變。

命題6.1.4

對于線性定常系統(tǒng)有以下結(jié)論：

1.其輸出反饋律可以改變其極點集。

2.當(dāng)，且第9頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.1.3線性定常輸出動態(tài)補償器

輸出反饋律不含動態(tài)環(huán)節(jié)為靜態(tài)輸出反饋,動態(tài)補償器含有動態(tài)環(huán)節(jié),稱為動態(tài)輸出反饋。其一般形式為：其中:為動態(tài)補償器的狀態(tài)向量,稱為動態(tài)補償器的階,為外部輸入信號,為適當(dāng)階的參數(shù)矩陣。第10頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六當(dāng)系統(tǒng)時，閉環(huán)系統(tǒng)的表達(dá)式為:其中:第11頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六注：動態(tài)補償器增加了系統(tǒng)的動態(tài)環(huán)節(jié)。第12頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六命題6.1.5

線性定常系統(tǒng)（其中）在動態(tài)補償器下的控制作用等效于增廣系統(tǒng)在如下靜態(tài)輸出反饋下的控制作用：第13頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.2極點配置問題及其解的存在性6.2.1極點配置問題的描述極點是定常線性系統(tǒng)所特有的概念；極點配置問題也稱為特征值配置問題；考慮定常線性系統(tǒng)分別在:狀態(tài)反饋律、輸出反饋律、動態(tài)補償器作用下的極點配置問題。第14頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六問題SPA[狀態(tài)反饋極點配置問題]給定矩陣及一組共軛封閉復(fù)數(shù)（不必互異），求取矩陣，使得：第15頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六問題OPA[輸出反饋極點配置問題]給定矩陣及一組共軛封閉復(fù)數(shù)（不必互異），求取矩陣，使得：第16頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六問題DPA[動態(tài)補償器極點配置問題]給定矩陣及一組共軛封閉復(fù)數(shù)（不必互異）和某正整數(shù)，求取矩陣，使得：第17頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.2.2狀態(tài)反饋極點配置問題的解的存在性定義6.2.1如果對于任何給定的一組共軛封閉復(fù)數(shù)，前述問題SPA可用狀態(tài)反饋任意配置極點。

均有解，則稱線性系統(tǒng)第18頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定理6.2.1

定常線性系統(tǒng)可用狀態(tài)反饋任意配置極點的充要條件是該系統(tǒng)完全能控。稱為循環(huán)的，當(dāng)且僅當(dāng)其特征多項式等同于其最小多項式，或其Jordan標(biāo)準(zhǔn)型中相應(yīng)于每個不同的特征值僅有一個Jordan塊。

定義6.2.2

設(shè)，則矩陣第19頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六，矩陣則幾乎對于任意的具有互異特征值，從而為循環(huán)矩陣。引理6.2.2

設(shè)且，且能控引理6.2.1

已知為循環(huán)的，則對幾乎任意的

，且能控有能控。第20頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例6.2.1考慮下述既完全能控又完全能觀的系統(tǒng)它在輸出反饋律下的閉環(huán)系統(tǒng)為其閉環(huán)特征多項式為。從而當(dāng)?shù)闹底兓瘯r，閉環(huán)系統(tǒng)的極點只能在復(fù)平面的實軸和虛軸上變化，不能任意配置。第21頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.2.3輸出反饋極點配置問題的解的存在性

靜態(tài)輸出反饋亦稱之為部分狀態(tài)反饋，但較狀態(tài)反饋包含了較少的信息，對于輸出反饋的情況，即使系統(tǒng)完全能控和完全能觀，閉環(huán)系統(tǒng)的極點也不可能被任意配置。定理6.2.2

設(shè)“幾乎”總可以用靜態(tài)輸出反饋任意接近地配置則系統(tǒng)個極點。

第22頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六推論6.2.1

設(shè)“幾乎”總可以用靜態(tài)輸出反饋任意配置極點。推論6.2.2

設(shè)則“幾乎”總存在

階動態(tài)補償器，使得該系統(tǒng)在該補償器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)極點可以任意配置。且，則系統(tǒng)第23頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六定理6.2.3

記分別為系統(tǒng)的能控性指數(shù)和能觀性指數(shù)，則存在階動態(tài)補償器使得該系統(tǒng)在動態(tài)補償器作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的極點可以任意配置。

使得系統(tǒng)閉環(huán)極點可任意配置的動態(tài)補償器的最小階數(shù)是多少？到目前還是一個懸而未決的問題。

第24頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.3狀態(tài)反饋極點配置問題的求解方法6.3.1單輸入系統(tǒng)的情形算法6.3.1[單輸入系統(tǒng)的極點配置設(shè)計]第一步：計算的特征多項式，即第二步：計算由所決定的多項式，即第三步：計算第25頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第四步:計算變換陣第五步:求第六步:所求的增益陣第26頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例6.3.1給定單輸入線性定常為再給定期望的一組閉環(huán)特征值為易知系統(tǒng)為完全能控，故滿足閉環(huán)極點可任意配置條件?，F(xiàn)計算系統(tǒng)的特征多項式第27頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六再由指定閉環(huán)極點可得到希望的閉環(huán)特征多項式為于是可求得第28頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六再來計算變換陣并求出其逆第29頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六從而所要確定的反饋增益陣即為第30頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.3.2多輸入系統(tǒng)的情形1.化為單變量系統(tǒng)的極點配置設(shè)計第31頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第32頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六2.利用能控標(biāo)準(zhǔn)型的設(shè)計第33頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第34頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六示例6.3.1設(shè)某5維輸入的9階系統(tǒng)的Wonham第二能控規(guī)范型具有下述形式第35頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六即，且。此時在算法的第二步中可以將期望閉環(huán)特征值第36頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六分為三組，且計算它們對應(yīng)的多項式為在算法的第三步中，我們可以取第37頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第38頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六此時易見第39頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六且示例6.3.2設(shè)某3維輸入的9階系統(tǒng)的Luenberger第二能控規(guī)范型具有下述形式第40頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六即此時算法的第二步同示例6.3.1。在算法的第三步中可取第41頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六且由此即可導(dǎo)出第42頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第43頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.4狀態(tài)反饋特征結(jié)構(gòu)配置狀態(tài)反饋極點配置問題的解不惟一。特征結(jié)構(gòu)配置是給確定所有這樣的控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)具有希望的特征值和重數(shù)，同時確定閉環(huán)系統(tǒng)對應(yīng)的特征向量和廣義特征向量。第44頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.4.1問題的描述狀態(tài)反饋特征結(jié)構(gòu)配置問題描述如下:第45頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.4.2特征結(jié)構(gòu)配置問題與Sylvester

方程第46頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第47頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第48頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第49頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六6.4.3問題的求解定理6.4.1

設(shè)能控，則問題ESAS的一切解可由式和公式

第50頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六迭代給出，或由式和公式

顯示給出，其中為任何滿足：約束6.4.1

第51頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六為滿足的右互質(zhì)多項式矩陣。約束6.4.2

的參數(shù)向量；

而滿足的幺模陣第52頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六

為一組共軛封閉復(fù)數(shù)（不必互異），則滿足關(guān)系推論6.4.1

設(shè)系統(tǒng)的矩陣由以下公式

第53頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六其中，為滿足約束6.4.1且的任何一組參向量；而為滿足右既約分解式的右互質(zhì)多項式矩陣。第54頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六第55頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六例6.4.1考慮具有下述參數(shù)的完全能控系統(tǒng)由算法1.4.1易得第56頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六下面我們考慮幾種不同的閉環(huán)特征結(jié)構(gòu)配置。情形Ⅰ在這種情形下，矩陣和的一般表達(dá)式為如特別選取第57頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六則得從而對應(yīng)得狀態(tài)反饋增益陣為第58頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六情形Ⅱ在這種情形下矩陣和得一般表達(dá)式為如特別選取第59頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六則得從而對應(yīng)的狀態(tài)反饋增益陣為第60頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六情形Ⅲ

在這種情形下，矩陣和的一般表達(dá)式為如特別選取第61頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六則得從而對應(yīng)的狀態(tài)反饋增益陣為第62頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六情形Ⅳ在這種情況下，矩陣和的一般表達(dá)式為如果特別取第63頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六可得一組特解為從而對應(yīng)的狀態(tài)反饋增益陣為第64頁，共69頁，2023年，2月20日，星期六約束6.5.1

6.5輸出反饋特征結(jié)構(gòu)配置6.5.1配置閉環(huán)右特征向量的求解方法第65頁，共