線性控制系統(tǒng)的動態(tài)分析

線性控制系統(tǒng)的動態(tài)分析第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六狀態(tài)轉移矩陣線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

一、

狀態(tài)轉移矩陣1、狀態(tài)轉移矩陣的基本定義對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，當初時刻時，滿足如下矩陣微分方程和初始條件：

解為線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣。特點：1）概念易于推廣2）更好地刻畫系統(tǒng)狀態(tài)運動變化的規(guī)律

第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

2、狀態(tài)轉移矩陣的計算方法級數(shù)展開法

拉普拉斯變換法齊次狀態(tài)方程兩邊取拉普拉斯變換：第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

得：

為初始時刻的初始狀態(tài)。約當規(guī)范型法（1）方陣A的n個特征值互異，A可以對角化

第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

得：

P是由A的特征向量[]來構造（2）方陣A有n重特征值時，A不能變換為對角線標準型，只能使相似變換后的矩陣為約當標準型J，即

第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

為方陣A的重特征值，且

第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

則

賽爾維斯特內插法

1）凱萊-哈密頓定理A的特征方程：

凱萊-哈密頓定理指出，矩陣A滿足其自身的特征方程，即

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2）最小多項式

定義nn維矩陣A的最小多項式為最小階次的多項式即

使

則

最小多項式的求解步驟：

a.根據(jù)伴隨矩陣，寫出作為分解多項式的各元素。

b.確定各元素的最高公約式，選取的最高階次系數(shù)為1，若不存在公約式，則

c.根據(jù)公式得到

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3）賽爾維斯特內插法

基本思想：化為A的有限項，然后通過求待定時間函數(shù)獲得的方法。設A的最小多項式階數(shù)為m，則通過求解行列式

（3-1）

得到。此外，也可采用如下等價方法：將（3-1）按最后一行展開，得到：

（3-2）第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

通過求解下列方程組

可確定出，進而代入式（3-2）即可求得

二、線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

1、線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解齊次狀態(tài)方程是研究系統(tǒng)本身的自由運動，不考慮輸入項。

齊次狀態(tài)描述

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解得方程的解為：

將稱為狀態(tài)轉移矩陣，并記為

當初始狀態(tài)給定后，狀態(tài)轉移矩陣包含了自由運動的全部信息。2、線性定常系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解

狀態(tài)描述方程，即：

求解非齊次狀態(tài)方程是為了研究輸入作用下系統(tǒng)強迫運動的規(guī)律，下面介紹求解的幾種方法：第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

1）直接求解法

將非齊次方程改寫為：作如下變換：

積分兩邊左乘得：

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若則對應的初始狀態(tài)方程的解為：

2）拉普拉斯變換法對式（3-3）求拉普拉斯變換，并移項整理

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利用卷積分公式有

3）狀態(tài)方程解得意義線性定常系統(tǒng)有兩部分疊加而成，它們分別是系統(tǒng)初始狀態(tài)的初始運動和由輸入引起的系統(tǒng)的強迫運動，其中強迫運動的值為輸入函數(shù)與矩陣函數(shù)的卷積。通過選擇適當?shù)妮斎肟刂菩盘杹磉_到期望的狀態(tài)變化規(guī)律。第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六三、線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

嚴格地說，實際控制對象都是時變系統(tǒng)，其系統(tǒng)結構或參數(shù)隨時間變化。由于時變系統(tǒng)的數(shù)學模型復雜，不易于分析，優(yōu)化和控制，在實際工程準許的情況下，可將慢時變系統(tǒng)作定常系統(tǒng)處理。對高精度控制系統(tǒng)需作時變系統(tǒng)處理。

1、線性時變連續(xù)系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程的解時變齊次狀態(tài)方程為：

式（3-4）的解為：表示了系統(tǒng)自由運動的特性，代表初始狀態(tài)的轉移，轉移特性完全由決定。第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六2、線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣1、狀態(tài)轉移矩陣的求解線性時變連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)轉移矩陣是下列微分方程和初始條件的的解

對（3-6）在時間域內進行積分有：

第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六將按式展開，這樣繼續(xù)迭代下去并將各展開式代入中：

時變系統(tǒng)矩陣與滿足矩陣乘法的可交換條件時，狀態(tài)轉移矩陣可表示為第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

可交換的充分必要條件是：

3、線性時變連續(xù)系統(tǒng)非齊次狀態(tài)方程的解

狀態(tài)描述方程為：

該非齊次狀態(tài)方程的解為

第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六比較線性定常連續(xù)系統(tǒng)與線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解的表示形式定常系統(tǒng)：時變系統(tǒng)：

1）解的結構和形式相同，都是零輸入和零狀態(tài)響應的線性疊加。

2）在為時不變時，時變系統(tǒng)的即為定常系統(tǒng)的。第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六四、線性離散時間系統(tǒng)狀態(tài)方程的求解

圖3-1連續(xù)系統(tǒng)離散化的實現(xiàn)1、線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的離散化第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化問題的數(shù)學實質,就是在一定的采樣方式保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來導出等價的離散狀態(tài)空間模型。

1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化

1）精確離散化連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:考慮在采樣時刻和時刻之間的狀態(tài)響應，,于是

第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

線性連續(xù)系統(tǒng)的時間離散化問題的數(shù)學實質,就是在一定的采樣方式保持方式下,由系統(tǒng)的連續(xù)狀態(tài)空間模型來導出等價的離散狀態(tài)空間模型。

1、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化

1）精確離散化連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程的求解公式如下:考慮在采樣時刻和時刻之間的狀態(tài)響應，,于是

第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六考慮到u(t)在采樣周期內保持不變的假定,所以有

對上式作變量代換令,則上式可記為比較,可知兩式對任意的和成立的條件為將上式與線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

上式即為精確離散化的計算式。2）近似離散化

所謂線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的近似離散化方法是指在采樣周期較小,且對離散化的精度要求不高的情況下,用狀態(tài)變量的差商代替微商來求得近似的差分方程。當采樣周期較小時，有

代入連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程，有

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與線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的狀態(tài)方程比較，得近似離散化的計算公式：

將上述近似離散法和精確離散法比較知,由于I+AT和BT分別是eAT和eAtdtB的Taylor展開式中的一次近似,因此近似離散化方法其實是取精確離散化方法的相應計算式的一次Taylor近似展開式。一般說來,采樣周期T越小,則離散化精度越高。考慮實際的誤差等因素，T不宜過小。第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期六

2、線性時變連續(xù)系統(tǒng)的離散化線性時變連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的離散化,實際