確定臨界荷載的靜力法

13.2確定臨界荷載的靜力法13.2.1靜力法及其計算步驟靜力法，根據(jù)臨界狀態(tài)的靜力特征而提出的。在分支點失穩(wěn)問題中，臨界狀態(tài)的靜力特征是：平衡形式具有二重性。靜力法的要點是：在原始平衡路徑之外，尋找新的平衡路徑，確定二者交叉的分支點，從而求出臨界荷載。AllRightsReserved1）假設(shè)臨界狀態(tài)時體系的新的平衡形式(失穩(wěn)形式)。2）根據(jù)靜力平衡條件，建立臨界狀態(tài)平衡方程。3）根據(jù)平衡具有二重性靜力特征(位移有非零解)，建立特征方程，習(xí)慣稱穩(wěn)定方程。4）解穩(wěn)定方程，求特征根，即特征荷載值。5）由最小的特征荷載值，確定臨界荷載(結(jié)構(gòu)所能承受的壓力必須小于這個最小特征荷載值，才能維持其穩(wěn)定平衡)。靜力法計算步驟AllRightsReserved（2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程13.2.2有限自由度體系的計算(靜力法)以圖示的一個單自由度體系為例。（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示彈簧反力于是有AllRightsReserved方程有兩個解，其一為零解，對應(yīng)于原始平衡路徑I(圖中OAB)；其二為非零解，對應(yīng)于新的平衡路徑II(圖中AC或AC1)

（2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程13.2.2有限自由度體系的計算(靜力法)以圖示的一個單自由度體系為例。（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示（3）建立穩(wěn)定方程：AllRightsReserved（2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程13.2.2有限自由度體系的計算(靜力法)（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示（3）建立穩(wěn)定方程：為了得到非零解，方程的系數(shù)應(yīng)為零FPl－kl2＝0稱為穩(wěn)定方程。由此方程知，平衡路徑Ⅱ為水平直線。AllRightsReserved（2）建立臨界狀態(tài)的平衡方程13.2.2有限自由度體系的計算(靜力法)（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示（3）建立穩(wěn)定方程FPl－kl2＝0（4）解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：

（5）確定臨界荷載：對于單自由度體系，該惟一的特征荷載值即為臨界荷載AllRightsReserved【例13-1】圖示兩個自由度的體系。各桿均為剛性桿，在鉸結(jié)點B和C處為彈簧支承，其剛度系數(shù)均為k。體系在A、D兩端有壓力作用。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示。位移參數(shù)為y1和y2各支座反力分別計算如圖示AllRightsReserved（2）建立臨界狀態(tài)平衡方程：分別取A-B1-C1部分和B1-C1-D部分為隔離體，則有關(guān)于位移參數(shù)為y1和y2的齊次線性方程組AllRightsReserved(3)建立穩(wěn)定方程：則對應(yīng)于原始平衡形式，相應(yīng)于沒有喪失穩(wěn)定的情況不全為零，則對應(yīng)于相應(yīng)新的平衡形式此方程就是穩(wěn)定方程。AllRightsReserved(4)解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：由此解得兩個特征荷載值，即(5)確定臨界荷載值：取二特征荷載值中最小者，得AllRightsReserved【討論】將以上二特征荷載值分別回代，可求得對應(yīng)位移參數(shù)的比值。a)反對稱失穩(wěn)（實際失穩(wěn)形式）b)正對稱失穩(wěn)AllRightsReserved【例13-2】試用靜力法求圖所示結(jié)構(gòu)的臨界荷載。彈簧剛度系數(shù)為k。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖所示，位移參數(shù)為d

。

AllRightsReserved(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：(3)建立穩(wěn)定方程：未知量d

有非零解的條件是AllRightsReserved(4)解穩(wěn)定方程，得特征荷載值(5)確定臨界荷載為AllRightsReserved13.2.3無限自由度體系的穩(wěn)定計算(靜力法)用靜力法計算無限自由度體系穩(wěn)定問題有兩個特點：用靜力法計算圖示彈性理想壓桿的臨界荷載。（1）假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。（2）建立臨界狀態(tài)平衡方程：第二，臨界狀態(tài)平衡方程為微分方程。第一，位移參數(shù)為無窮多個；按小撓度理論，壓桿彈性曲線的近似微分方程為AllRightsReserved這是關(guān)于位移參數(shù)y的非齊次常微分方程。

（3）建立穩(wěn)定方程：上式的通解為AllRightsReserved常數(shù)A、B和未知力FR/FP可由邊界條件確定：

對應(yīng)于彎曲的新的平衡形式的y(x)不恒等于零AllRightsReserved解穩(wěn)定方程，求特征荷載值：采用圖解法時，作和兩組線，其交點即為方程的解答，結(jié)果得到無窮多個解

由最小特征值荷載，確定臨界荷載：常數(shù)A、B和未知力FR/FP不全為零：AllRightsReserved【例13-3】圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：底段的彈性曲線近似方程為AllRightsReserved【例13-3】圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：(3)建立穩(wěn)定方程通解為

AllRightsReserved【例13-3】圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：(3)建立穩(wěn)定方程，AllRightsReserved【例13-3】圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：(3)建立穩(wěn)定方程穩(wěn)定方程AllRightsReserved【例13-3】圖示為一底端固定、頂端一段有著無窮大剛度的直桿。試用靜力法求其臨界荷載。(1)假設(shè)失穩(wěn)形式，如圖中實線所示。(2)建立臨界狀態(tài)平衡方程：(3)建立穩(wěn)定方程(4)解特征方程，求特征荷載值：由試算法或圖解法，可解得a值。(5)確定臨界荷載