中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題專題講解

中考數(shù)學(xué)動點(diǎn)問題專題講解 PAGEPAGE4中考動點(diǎn)專題所謂“動點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個或多個動點(diǎn),它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識解決問題.關(guān)鍵:動中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化思想注重對幾何圖形運(yùn)動變化能力的考查從變換的角度和運(yùn)動變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對稱、動點(diǎn)的運(yùn)動”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．圖形在動點(diǎn)的運(yùn)動過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能做好計算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動態(tài)幾何、動手操作、實驗探究等方向發(fā)展．這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識、推理能力等．從數(shù)學(xué)思想的層面上講：（1）運(yùn)動觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等．研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動向，它有利于我們教師在教學(xué)中研究對策，把握方向．只的這樣，才能更好的培養(yǎng)學(xué)生解題素養(yǎng)，在素質(zhì)教育的背景下更明確地體現(xiàn)課程標(biāo)準(zhǔn)的導(dǎo)向．本文擬就壓軸題的題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)的存在性和區(qū)分度小題處理手法提出自己的觀點(diǎn)．專題一：建立動點(diǎn)問題的函數(shù)解析式函數(shù)揭示了運(yùn)動變化過程中量與量之間的變化規(guī)律,是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.動點(diǎn)問題反映的是一種函數(shù)思想,由于某一個點(diǎn)或某圖形的有條件地運(yùn)動變化,引起未知量與已知量間的一種變化關(guān)系,這種變化關(guān)系就是動點(diǎn)問題中的函數(shù)關(guān)系.那么,我們怎樣建立這種函數(shù)解析式呢?下面結(jié)合中考試題舉例分析.一、應(yīng)用勾股定理建立函數(shù)解析式例1(2000年·上海)如圖1,在半徑為6,圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上,有一個動點(diǎn)P,PH⊥OA,垂足為H,△OPH的重心為G.(1)當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動時,線段GO、GP、GH中,②GP=GH時,,解得.經(jīng)檢驗,是原方程的根,但不符合題意.③PH=GH時,.綜上所述,如果△PGH是等腰三角形,那么線段PH的長為或2.二、應(yīng)用比例式建立函數(shù)解析式例2（2006年·山東）如圖2,在△ABC中,AB=AC=1,點(diǎn)D,E在直線BC上運(yùn)動.設(shè)BD=CE=.(1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,試確定與之間的函數(shù)解析式；AEDCB圖2(2)如果∠BAC的度數(shù)為,∠DAE的度數(shù)為,當(dāng),滿足怎樣的關(guān)系式時,(1)中與之間的函數(shù)解析式還成立?試說明理由.AEDCB圖2解:(1)在△ABC中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°,∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°,∴∠DAB+∠CAE=75°,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°,∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB∽△EAC,∴,∴,∴.O●FPDEACB3(1)(2)由于∠DAB+∠CAE=,又O●FPDEACB3(1)∴=,整理得.當(dāng)時,函數(shù)解析式成立.例3(2005年·上海)如圖3(1),在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3.點(diǎn)O是邊AC上的一個動點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心作半圓,與邊AB相切于點(diǎn)D,交線段OC于點(diǎn)E.作EP⊥ED,交射線AB于點(diǎn)P,交射線CB于點(diǎn)F.●PDEAC●PDEACB3(2)OF(2)設(shè)OA=,AP=,求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出它的定義域.(3)當(dāng)BF=1時,求線段AP的長.解:(1)連結(jié)OD.根據(jù)題意,得OD⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP,∴△ADE∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3,∴AC=5.∵∠ABC=∠ADO=90°,∴OD∥BC,∴,,∴OD=,AD=.∴AE==.∵△ADE∽△AEP,∴,∴.∴().(3)當(dāng)BF=1時，①若EP交線段CB的延長線于點(diǎn)F,如圖3(1)，則CF=4.∵∠ADE=∠AEP,∴∠PDE=∠PEC.∵∠FBP=∠DEP=90°,∠FPB=∠DPE,∴∠F=∠PDE,∴∠F=∠FEC,∴CF=CE.∴5-=4,得.可求得,即AP=2.②若EP交線段CB于點(diǎn)F,如圖3(2),則CF=2.類似①,可得CF=CE.∴5-=2,得.可求得,即AP=6.綜上所述,當(dāng)BF=1時,線段AP的長為2或6.三、應(yīng)用求圖形面積的方法建立函數(shù)關(guān)系式ABCO圖8H例4（2004年·上海）如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=,⊙A的半徑為1.若點(diǎn)O在BC邊上運(yùn)動(與點(diǎn)B、C不重合),設(shè)BO=,△ABCO圖8H(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出函數(shù)的定義域.(2)以點(diǎn)O為圓心,BO長為半徑作圓O,求當(dāng)⊙O與⊙A相切時,△AOC的面積.解:(1)過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H.∵∠BAC=90°,AB=AC=,∴BC=4,AH=BC=2.∴OC=4-.∵,∴().(2)①當(dāng)⊙O與⊙A外切時,在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.此時,△AOC的面積=.②當(dāng)⊙O與⊙A內(nèi)切時,在Rt△AOH中,OA=,OH=,∴.解得.此時,△AOC的面積=.綜上所述,當(dāng)⊙O與⊙A相切時,△AOC的面積為或.專題二：動態(tài)幾何型壓軸題動態(tài)幾何特點(diǎn)問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）動點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。下面就此問題的常見題型作簡單介紹，解題方法、關(guān)鍵給以點(diǎn)撥。一、以動態(tài)幾何為主線的壓軸題（一）點(diǎn)動問題．1．（09年徐匯區(qū)）如圖，中，，，點(diǎn)在邊上，且，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作，分別交邊于點(diǎn)，交射線于點(diǎn)．（1）當(dāng)時，求的長；（2）當(dāng)以點(diǎn)為圓心長為半徑的⊙和以點(diǎn)為圓心長為半徑的⊙相切時，求的長；（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時，求的長．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]本題改編自新教材九上《相似形》24.5(4)例六,典型的一線三角(三等角)問題,試題在原題的基礎(chǔ)上改編出第一小題,當(dāng)E點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，滲透入圓與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第二小題,加入直線與圓的位置關(guān)系(相切問題)的存在性的研究形成了第三小題．區(qū)分度測量點(diǎn)在直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系,從而利用方程思想來求解．[區(qū)分度性小題處理手法]1．直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程．2．圓與圓的位置關(guān)系的存在性(相切問題)的處理方法：利用d=R±r()建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）證明∽∴，代入數(shù)據(jù)得，∴AF=2（2）設(shè)BE=,則利用（1）的方法，相切時分外切和內(nèi)切兩種情況考慮：外切，，；內(nèi)切，，．∴當(dāng)⊙和⊙相切時，的長為或．（3）當(dāng)以邊為直徑的⊙與線段相切時，．類題=1\*GB2⑴一個動點(diǎn)：09楊浦25題（四月、五月）、09靜安25題、=2\*GB2⑵兩個動點(diǎn)：09閘北25題、09松江25題、09盧灣25題、09青浦25題．（二）線動問題在矩形ABCD中，AB＝3，點(diǎn)O在對角線AC上，直線l過點(diǎn)O，且與AC垂直交AD于點(diǎn)E.(1)若直線l過點(diǎn)B，把△ABE沿直線l翻折，點(diǎn)A與矩形ABCD的對稱中心A＇重合，求BC的長；ABCDEOlA′(2)若直線l與AB相交于點(diǎn)F，且AO＝AC，設(shè)AD的長為，五邊形BCDEF的面積為S.ABCDEOlA′②探索：是否存在這樣的，以A為圓心，以長為半徑的圓與直線l相切，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]ABCDEOlF本題以矩形為背景,結(jié)合軸對稱、相似、三角等相關(guān)知識編制得到．第一ABCDEOlF[區(qū)分度性小題處理手法]1．找面積關(guān)系的函數(shù)解析式，規(guī)則圖形套用公式或用割補(bǔ)法，不規(guī)則圖形用割補(bǔ)法．2．直線與圓的相切的存在性的處理方法：利用d=r建立方程．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解](1)∵A’是矩形ABCD的對稱中心∴A’B＝AA’＝AC∵AB＝A’B，AB＝3∴AC＝6(2)①，，，∴，()②若圓A與直線l相切，則，(舍去)，∵∴不存在這樣的，使圓A與直線l相切．[類題]09虹口25題．（三）面動問題如圖，在中，，、分別是邊、上的兩個動點(diǎn)（不與、重合），且保持，以為邊，在點(diǎn)的異側(cè)作正方形.（1）試求的面積；（2）當(dāng)邊與重合時，求正方形的邊長；（3）設(shè)，與正方形重疊部分的面積為，試求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（4）當(dāng)是等腰三角形時，請直接寫出的長．[題型背景和區(qū)分度測量點(diǎn)]本題改編自新教材九上《相似形》24.5(4)例七,典型的共角相似三角形問題,試題為了形成坡度，在原題的基礎(chǔ)上改編出求等腰三角形面積的第一小題,當(dāng)D點(diǎn)在AB邊上運(yùn)動時，正方形整體動起來，GF邊落在BC邊上時，恰好和教材中的例題對應(yīng)，可以說是相似三角形對應(yīng)的小高比大高=對應(yīng)的小邊比大邊，探尋正方形和三角形的重疊部分的面積與線段AD的關(guān)系的函數(shù)解析式形成了第三小題，仍然屬于面積類習(xí)題來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)一，用等腰三角形的存在性來設(shè)置區(qū)分測量點(diǎn)二．[區(qū)分度性小題處理手法]1．找到三角形與正方形的重疊部分是解決本題的關(guān)鍵，如上圖3-1、3-2重疊部分分別為正方形和矩形包括兩種情況．2．正確的抓住等腰三角形的腰與底的分類，如上圖3-3、3-4、3-5用方程思想解決．3．解題的關(guān)鍵是用含的代數(shù)式表示出相關(guān)的線段.[略解]解：（1）.（2）令此時正方形的邊長為，則，解得.（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，.（4）.[類題]改編自09奉賢3月考25題，將條件（2）“當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時”,去掉，同時加到第（3）題中.ABFDEMNC已知：在△ABC中，AB=AC，∠B=30o，BC=6，點(diǎn)D在邊BC上，點(diǎn)E在線段DC上，DE=3，△DEF是等邊三角形，邊DF、EF與邊BAABFDEMNC（1）求證：△BDM∽△CEN；（2）設(shè)BD=，△ABC與△DEF重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N分別在邊BA、CA上時,是否存在點(diǎn)D，使以M為圓心,BM為半徑的圓與直線EF相切,如果存在，請求出x的值；如不存在，請說明理由．例1：已知⊙O的弦AB的長等于⊙O的半徑，點(diǎn)C在⊙O上變化（不與A、B）重合，求∠ACB的大小.分析：點(diǎn)C的變化是否影響∠ACB的大小的變化呢?我們不妨將點(diǎn)C改變一下,如何變化呢？可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧AB上變化，顯然這兩者的結(jié)果不一樣。那么，當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，∠ACB所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，因此很自然地想到它的圓心角，連結(jié)AO、BO，則由于AB=OA=OB，即三角形ABC為等邊三角形，則∠AOB=600，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠ACB=∠AOB=300，當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時，∠ACB所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=600得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-600=3000，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠ACB=1500，因此，本題的答案有兩個，分別為300或1500.反思：本題通過點(diǎn)C在圓上運(yùn)動的不確定性而引起結(jié)果的不唯一性。從而需要分類討論。這樣由點(diǎn)C的運(yùn)動變化性而引起的分類討論在解題中經(jīng)常出現(xiàn)。變式1：已知△ABC是半徑為2的圓內(nèi)接三角形，若，求∠C的大小.本題與例1的區(qū)別只是AB與圓的半徑的關(guān)系發(fā)生了一些變化,其解題方法與上面一致,在三角形AOB中,,則,即,從而當(dāng)點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上變化時，∠C所對的弧是劣弧AB，它的大小為劣弧AB的一半，即,當(dāng)點(diǎn)C在劣弧AB上變化時，∠C所對的弧是優(yōu)弧AB，它的大小為優(yōu)弧AB的一半，由∠AOB=1200得，優(yōu)弧AB的度數(shù)為3600-1200=2400，則由同弧所對的圓心角與圓周角的關(guān)系得出：∠C=1200，因此或∠C=1200.變式2:如圖,半經(jīng)為1的半圓O上有兩個動點(diǎn)A、B，若AB=1，判斷∠AOB的大小是否會隨點(diǎn)A、B的變化而變化，若變化，求出變化范圍，若不變化，求出它的值。四邊形ABCD的面積的最大值。解：（1）由于AB=OA=OB，所以三角形AOB為等邊三角形，則∠AOB=600，即∠AOB的大小不會隨點(diǎn)A、B的變化而變化。（2）四邊形ABCD的面積由三個三角形組成，其中三角形AOB的面積為，而三角形AOD與三角形BOC的面積之和為，又由梯形的中位線定理得三角形AOD與三角形BOC的面積之和，要四邊形ABCD的面積最大，只需EH最大，顯然EH≤OE=，當(dāng)AB∥CD時，EH=OE，因此四邊形ABCD的面積最大值為+=.對于本題同學(xué)們還可以繼續(xù)思考:四邊形ABCD的周長的變化范圍.變式3:如圖,有一塊半圓形的木板,現(xiàn)要把它截成三角形板塊.三角形的兩個頂點(diǎn)分別為A、B，另一個頂點(diǎn)C在半圓上，問怎樣截取才能使截出的三角形的面積最大？要求說明理由（廣州市2000年考題）分析：要使三角形ABC的面積最大，而三角形ABC的底邊AB為圓的直徑為常量，只需AB邊上的高最大即可。過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，連結(jié)CO，由于CD≤CO，當(dāng)O與D重合，CD=CO，因此，當(dāng)CO與AB垂直時，即C為半圓弧的中點(diǎn)時，其三角形ABC的面積最大。本題也可以先猜想，點(diǎn)C為半圓弧的中點(diǎn)時，三角形ABC的面積最大，故只需另選一個位置C1（不與C重合），，證明三角形ABC的面積大于三角形ABC1的面積即可。如圖顯然三角形ABC1的面積=AB×C1D，而C1D<C1O=CO,則三角形ABC1的面積=AB×C1D<AB×C1O=三角形ABC的面積,因此,對于除點(diǎn)C外的任意點(diǎn)C1,都有三角形ABC1的面積小于三角形三角形ABC的面積,故點(diǎn)C為半圓中點(diǎn)時,三角形ABC面積最大.本題還可研究三角形ABC的周長何時最大的問題。提示：利用周長與面積之間的關(guān)系。要三角形ABC的周長最大，AB為常數(shù)，只需AC+BC最大，而（AC+BC）2=AC2+CB2+2AC×BC=AB2+4×ΔABC的面積，因此ΔABC的面積最大時，AC+BC最大，從而ΔABC的周長最大。從以上一道題及其三個變式的研究我們不難發(fā)現(xiàn),解決動態(tài)幾何問題的常見方法有:特殊探路，一般推證例2：（2004年廣州市中考題第11題）如圖，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于A，⊙O1的半徑為3，⊙O2的半徑為2，點(diǎn)P為⊙O1上的任一點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），直線PA交⊙O2于點(diǎn)C，PB切⊙O2于點(diǎn)B，則的值為（A）（B）（C）（D）分析：本題是一道選擇題，給出四個答案有且只有一個是正確的，因此可以取一個特殊位置進(jìn)行研究，當(dāng)點(diǎn)P滿足PB⊥AB時，可以通過計算得出PB=BC×AP=BP×AB，因此BC=，在三角形BPC中，PC=，所以，=選（B）當(dāng)然，本題還可以根據(jù)三角形相似得，即可計算出結(jié)論。作為一道選擇題，到此已經(jīng)完成，但如果是一道解答題，我們得出的結(jié)論只是一個特殊情況，還要進(jìn)一步證明對一般情況也成立。例3：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷OEF的形狀，并加以證明。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。分析：本題結(jié)論很難發(fā)現(xiàn)，先從特殊情況入手。最特殊情況為E、F分別為AB、AC中點(diǎn)，顯然有ΔEOF為等腰直角三角形。還可發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)E與A無限接近時，點(diǎn)F與點(diǎn)C無限接近，此時ΔEOF無限接近ΔAOC，而ΔAOC為等腰直角三角形，幾種特殊情況都可以得出ΔEOF為等腰直角三角形。一般情況下成立嗎？OE與OF相等嗎？∠EOF為直角嗎？能否證明。如果它們成立，便可以推出三角形OFC與三角形OEA全等，一般情況下這兩個三角形全等嗎？不難從題目的條件可得：OA=OC，∠OCF=∠OAE，而AE=CF，則ΔOEA≌ΔOFC，則OE=OF，且∠FOC=∠EOA，所以∠EOF=∠EOA+∠AOF=∠FOC+∠FOA=900，則∠EOF為直角，故ΔEOF為等腰直角三角形。動手實踐，操作確認(rèn)例4（2003年廣州市中考試題）在⊙O中，C為弧AB的中點(diǎn)，D為弧AC上任一點(diǎn)（與A、C不重合），則（A）AC+CB=AD+DB(B)AC+CB<AD+DB(C)AC+CB>AD+DB(D)AC+CB與AD+DB的大小關(guān)系不確定分析:本題可以通過動手操作一下,度量AC、CB、AD、DB的長度，可以嘗試換幾個位置量一量，得出結(jié)論（C）例5：如圖，過兩同心圓的小圓上任一點(diǎn)C分別作小圓的直徑CA和非直徑的弦CD，延長CA和CD與大圓分別交于點(diǎn)B、E，則下列結(jié)論中正確的是（*）（A）（B）（C）（D）的大小不確定分析：本題可以通過度量的方法進(jìn)行，選（B）本題也可以可以證明得出結(jié)論，連結(jié)DO、EO，則在三角形OED中，由于兩邊之差小于第三邊，則OE—OD<DE,即OB—OA<DE,因此,即建立聯(lián)系，計算說明例6：如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)M在邊DC上，且DM=1，N為對角線AC上任意一點(diǎn)，則DN+MN的最小值為.分析：能否將DN和NM進(jìn)行轉(zhuǎn)化，與建立三角形兩邊之和大于第三邊等問題，很自然地想到軸對稱問題，由于ABCD為正方形，因此連結(jié)BN，顯然有ND=NB，則問題就轉(zhuǎn)化為BN+NM的最小值問題了，一般情況下：BN+NM≥BM,只有在B、N、M三點(diǎn)共線時，BN+NM=BM，因此DN+MN的最小值為BM=本題通過建立平面上三個點(diǎn)中構(gòu)成的三角形中的兩邊之和大于第三邊及共線時的兩邊之和等于第三邊的特殊情況求最小值，最后通過勾股定理計算得出結(jié)論。例7：如圖，在等腰直角三角形ABC中，斜邊BC=4，OABC于O,點(diǎn)E和點(diǎn)F分別在邊AB、AC上滑動并保持AE=CF,但點(diǎn)F不與A、C重合，點(diǎn)E不與B、A重合。判斷四邊形AEOF的面積是否隨點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值.AEF的面積是否隨著點(diǎn)E、F的變化而變化，若變化，求其變化范圍，若不變化，求它的值。（即例3的第2、第3問）分析：(2)本題的方法很多，其一，可以建立四邊形AEOF與AE長的函數(shù)關(guān)系式，如設(shè)AE=x，則AF=，而三角形AOB的面積與三角形AOE的面積之比=，而三角形AOB的面積=，則三角形AOE的面積=，同理三角形AOF的面積=，因此四邊形AEOF的面積=；即AEOF的面積不會隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.當(dāng)然，本題也可以這樣思考，由于三角形AOE與三角形COF全等，則四邊形AEOF的面積與三角形AOC的面積相等，而AOC的面積為2，因此AEOF的面積不會隨點(diǎn)E、F的變化而變化，是一個定值，且為2.本題通過建立函數(shù)關(guān)系或有關(guān)圖形之間的關(guān)系,然后通過簡單的計算得出結(jié)論的方法應(yīng)用比較廣泛.第(3)問,也可以通過建立函數(shù)關(guān)系求得,AEF的面積=,又的變化范圍為,由二次函數(shù)知識得AEF的面積的范圍為:AEF的面積.本題也可以根據(jù)三角形AEF與三角形OEF的面積關(guān)系確定AEF的面積范圍:不難證明AEF的面積≤OEF的面積，它們公用邊EF，取EF的中點(diǎn)H，顯然由于OEF為等腰直角三角形，則OH⊥EF，作AG⊥EF，顯然AG≤AH=AG（=），所以AEF的面積≤OEF的面積，而它們的和為2，因此AEF的面積.本題包容的內(nèi)涵十分豐富，還可以提出很多問題研究：比如，比較線段EF與AO長度大小等（可以通過A、E、O、F四點(diǎn)在以EF為直徑的圓上得出很多結(jié)論）例8：如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向點(diǎn)B以2厘米/秒的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1厘米/秒的速度移動。如果Ｐ、Ｑ同時出發(fā)，用t秒表示移動的時間（0≤t≤6），那么：（1）當(dāng)t為何值時，三角形QAP為等腰三角形？（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；（3）當(dāng)t為何值時，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？分析：（1）當(dāng)三角形QAP為等腰三角形時，由于∠A為直角，只能是AQ=AP，建立等量關(guān)系，，即時，三角形QAP為等腰三角形；（2）四邊形QAPC的面積=ABCD的面積—三角形QDC的面積—三角形PBC的面積==36，即當(dāng)P、Q運(yùn)動時，四邊形QAPC的面積不變。（3）顯然有兩種情況：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，由相似關(guān)系得或，解之得或建立關(guān)系求解，包含的內(nèi)容多，可以是函數(shù)關(guān)系，可以是方程組或不等式等，通過解方程、或函數(shù)的最大值最小值，自變量的取值范圍等方面來解決問題；也可以是通過一些幾何上的關(guān)系，描述圖形的特征，如全等、相似、共圓等方面的知識求解。作為訓(xùn)練同學(xué)們可以綜合上述方法求解：練習(xí)1：2003年廣州市中考壓軸題（全卷得分最低的一道）已知ABC為直角三角形，AC=5，BC=12，∠ACB為直角，P是AB邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合）如圖，當(dāng)PQ∥AC，且Q為BC的中點(diǎn)，求線段CP的長。當(dāng)PQ與AC不平行時，CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。第1問很易得出P為AB中點(diǎn)，則CP=第2問：如果CPQ為直角三角形，由于PQ與AC不平行，則∠Q不可能為直角又點(diǎn)P不與A重合，則∠PCQ也不可能為直角，只能是∠CPQ為直角，即以CQ為直徑的圓與AB有交點(diǎn)，設(shè)CQ=2x，CQ的中點(diǎn)D到AB的距離DM不大于CD，，即，所以，由，即，而，故，亦即時，CPQ可能為直角三角形。當(dāng)然還有其它方法。同學(xué)們可以繼續(xù)研究。練習(xí)2：（廣東省2003年中考試題最后一題）在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，（1）寫出點(diǎn)O到△ABC的三個頂點(diǎn)A、B、C距離的大小關(guān)系。（2）如果點(diǎn)M、N分別在線段AB、AC上移動，移動中保持AN＝BM，請判斷△OMN的形狀，并證明你的結(jié)論。該題與例3類似，同學(xué)們可以仿本大類習(xí)題的共性：1．代數(shù)、幾何的高度綜合（數(shù)形結(jié)合）；著力于數(shù)學(xué)本質(zhì)及核心內(nèi)容的考查;四大數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合、分類討論、方程、函數(shù)．2．以形為載體，研究數(shù)量關(guān)系；通過設(shè)、表、列獲得函數(shù)關(guān)系式；研究特殊情況下的函數(shù)值．專題三：雙動點(diǎn)問題點(diǎn)動、線動、形動構(gòu)成的問題稱之為動態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動變化為主線，集多個知識點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.其中以靈活多變而著稱的雙動點(diǎn)問題更成為今年中考試題的熱點(diǎn)，現(xiàn)采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.1以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)圖象問題

例1(2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如圖1).動點(diǎn)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，點(diǎn)P沿BA，AD，DC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動到點(diǎn)C停止，兩點(diǎn)運(yùn)動時的速度都是1cm/s.而當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時，點(diǎn)Q正好到達(dá)點(diǎn)C.設(shè)P，Q同時從點(diǎn)B出發(fā)，經(jīng)過的時間為t(s)時，△BPQ的面積為y(cm)2(如圖2).分別以t，y為橫、縱坐標(biāo)建立直角坐標(biāo)系，已知點(diǎn)P在AD邊上從A到D運(yùn)動時，y與t的函數(shù)圖象是圖3中的線段MN.

(1)分別求出梯形中BA，AD的長度；

(2)寫出圖3中M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)分別寫出點(diǎn)P在BA邊上和DC邊上運(yùn)動時，y與t的函數(shù)關(guān)系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補(bǔ)全整個運(yùn)動中y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象.

評析本題將點(diǎn)的運(yùn)動過程中形成的函數(shù)解析式與其相應(yīng)的函數(shù)圖象有機(jī)的結(jié)合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感.本題彰顯數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)建模與參數(shù)思想在解題過程中的靈活運(yùn)用.解決本題的關(guān)鍵是從函數(shù)圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數(shù)關(guān)系式，建立起y與t的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)關(guān)系式補(bǔ)充函數(shù)圖象.

2以雙動點(diǎn)為載體，探求結(jié)論開放性問題

例2(2007年泰州市)如圖5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10，0)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5，53)，AB=10，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0，2)出發(fā)，沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時，兩點(diǎn)同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒.

(1)求∠BAO的度數(shù).

(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時，△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點(diǎn)P的運(yùn)動速度.

(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo).

(4)如果點(diǎn)P，Q保持(2)中的速度不變，那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運(yùn)動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動時，使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個?請說明理由.

解(1)∠BAO=60°.

(2)點(diǎn)P的運(yùn)動速度為2個單位/秒.

評析本題是以雙點(diǎn)運(yùn)動構(gòu)建的集函數(shù)、開放、最值問題于一體的綜合題.試題有難度、有梯度也有區(qū)分度，是一道具有很好的選拔功能的好題.解決本題的關(guān)鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)的性質(zhì)解得問題(3).本題的難點(diǎn)是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點(diǎn)的三角形，以B為臨界點(diǎn)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而確定點(diǎn)的個數(shù)問題.

3以雙動點(diǎn)為載體，探求存在性問題

例3(2007年揚(yáng)州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點(diǎn)M，N同時從B點(diǎn)出發(fā)，分別沿B→A，B→C運(yùn)動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運(yùn)動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

(4)是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.

評析本題是以雙動點(diǎn)為載體，矩形為背景創(chuàng)設(shè)的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進(jìn)，將幾何與代數(shù)知識完美的綜合為一題，側(cè)重對相似和梯形面積等知識點(diǎn)的考查，本題的難點(diǎn)主要是題(3)，解決此題的關(guān)鍵是運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)用t的代數(shù)式表示PM，進(jìn)而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數(shù)關(guān)系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍.第(4)小題是題(3)結(jié)論的拓展應(yīng)用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握.4以雙動點(diǎn)為載體，探求函數(shù)最值問題

例4(2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點(diǎn)，它們分別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，沿對角線以1cm/s的相同速度運(yùn)動，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連結(jié)HG、EB.設(shè)HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規(guī)定：線段的面積為0).E到達(dá)C，F(xiàn)到達(dá)A停止.若E的運(yùn)動時間為x(s)，解答下列問題：

(1)當(dāng)0<X

(2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(圖10為備用圖)

②求y的最大值.

解(1)以E、F、G、H為頂點(diǎn)的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BO⊥AC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)，當(dāng)S1=S2時，4x=x(16-2x)，解得x1=0(舍去)，x2=6，所以當(dāng)x=6時，S1=S2.

(2)①當(dāng)0≤x<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

當(dāng)8≤x≤16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)，所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②當(dāng)0≤x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當(dāng)x=5時，y的最大值為50.

當(dāng)8≤x≤16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以當(dāng)x=13時，y的最大值為82.

綜上可得，y的最大值為82.

評析本題是以雙動點(diǎn)為載體，正方形為背景創(chuàng)設(shè)的函數(shù)最值問題.要求學(xué)生認(rèn)真讀題、領(lǐng)會題意、畫出不同情況下的圖形，根據(jù)圖形建立時間變量與其它相關(guān)變量的關(guān)系式，進(jìn)而構(gòu)建面積的函數(shù)表達(dá)式.本題在知識點(diǎn)上側(cè)重對二次函數(shù)最值問題的考查，要求學(xué)生有扎實的基礎(chǔ)知識、靈活的解題方法、良好的思維品質(zhì)；在解題思想上著重對數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、數(shù)學(xué)建模等思想的靈活運(yùn)用.專題四：函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題例題如圖1，已知拋物線的頂點(diǎn)為A（2，1），且經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸的另一個交點(diǎn)為B。⑴求拋物線的解析式；（用頂點(diǎn)式求得拋物線的解析式為）⑵若點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，點(diǎn)D在拋物線上，且以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；⑶連接OA、AB，如圖2，在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△OBP與△OAB相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。例1題圖例1題圖圖1圖2分析:1.當(dāng)給出四邊形的兩個頂點(diǎn)時應(yīng)以兩個頂點(diǎn)的連線為四邊形的邊和對角線來考慮問題以O(shè)、C、D、B四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形要分類討論:按OB為邊和對角線兩種情況2.函數(shù)中因動點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題一般有三個解題途徑①求相似三角形的第三個頂點(diǎn)時，先要分析已知三角形的邊和角的特點(diǎn)，進(jìn)而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據(jù)未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應(yīng)邊分類討論。②或利用已知三角形中對應(yīng)角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函數(shù)、對稱、旋轉(zhuǎn)等知識來推導(dǎo)邊的大小。③若兩個三角形的各邊均未給出，則應(yīng)先設(shè)所求點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而用函數(shù)解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解。練習(xí)1、已知拋物線經(jīng)過及原點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式．（由一般式得拋物線的解析式為）（2）過點(diǎn)作平行于軸的直線交軸于點(diǎn)，在拋物線對稱軸右側(cè)且位于直線下方的拋物線上，任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線平行于軸交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，直線與直線及兩坐標(biāo)軸圍成矩形．是否存在點(diǎn)，使得與相似？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．（3）如果符合（2）中的點(diǎn)在軸的上方，連結(jié)，矩形內(nèi)的四個三角形之間存在怎樣的關(guān)系？為什么？練習(xí)2、如圖，四邊形OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，將邊BC折疊，使點(diǎn)B落在邊OA的點(diǎn)D處。已知折疊，且。（1）判斷與是否相似？請說明理由；（2）求直線CE與x軸交點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）是否存在過點(diǎn)D的直線l，使直線l、直線CE與x軸所圍成的三角形和直線l、直線CE與y軸所圍成的三角形相似？如果存在，請直接寫出其解析式并畫出相應(yīng)的直線；如果不存在，請說明理由。Oxy練習(xí)2圖CBED練習(xí)3、在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和．Oxy練習(xí)2圖CBED（1）求此二次函數(shù)的表達(dá)式；（由一般式得拋物線的解析式為）（2）若直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖（3）若點(diǎn)CBA練習(xí)4圖PyyCxBA練習(xí)3圖OO練習(xí)4(2008廣東湛江市)如圖所示，已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C．（1）求A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)．（2）過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，求四邊形ACBP的面積．（3）在軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)M，過M作MG軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似．若存在，請求出M點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請說明理由．練習(xí)5、已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是直角三角形，，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．ACOBxy（1）求過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)，，，ACOBxy（2）在軸上找一點(diǎn)，連接，使得與相似（不包括全等），并求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，如分別是和上的動點(diǎn)，連接，設(shè)，問是否存在這樣的使得與相似，如存在，請求出的值；如不存在，請說明理由．參考答案例題、解:⑴由題意可設(shè)拋物線的解析式為∵拋物線過原點(diǎn)，∴∴.圖1拋物線的解析式為,即圖1⑵如圖1,當(dāng)OB為邊即四邊形OCDB是平行四邊形時,CDEQ\O(\s\up2(∥),\s\do3(＝))OB,由得,∴B(4,0),OB＝4.∴D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6將x＝6代入,得y＝－3,∴D(6,－3);圖2根據(jù)拋物線的對稱性可知,在對稱軸的左側(cè)拋物線上存在點(diǎn)D,使得四邊形ODCB是平行四邊形,此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(－2,－3),圖2當(dāng)OB為對角線即四邊形OCBD是平行四邊形時,D點(diǎn)即為A點(diǎn),此時D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1)⑶如圖2，由拋物線的對稱性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.若△BOP與△AOB相似,必須有∠POB＝∠BOA＝∠BPO設(shè)OP交拋物線的對稱軸于A′點(diǎn),顯然A′(2,－1)∴直線OP的解析式為由,得.∴P(6,－3)過P作PE⊥x軸,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,∴PB＝≠4.∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,∴△PBO與△BAO不相似,同理可說明在對稱軸左邊的拋物線上也不存在符合條件的P點(diǎn).所以在該拋物線上不存在點(diǎn)P,使得△BOP與△AOB相似.練習(xí)1、解：（1）由已知可得：解之得，．因而得，拋物線的解析式為：．（2）存在．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，要使，則有，即解之得，．當(dāng)時，，即為點(diǎn)，所以得要使，則有，即Oxy圖1CBEDOxy圖1CBED312A當(dāng)時，，所以得．故存在兩個點(diǎn)使得與相似．點(diǎn)的坐標(biāo)為．（3）在中，因為．所以．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時，．所以．因此，都是直角三角形．又在中，因為．所以．即有．所以，圖2OxyC圖2OxyCBEDPMGlNAF所以．練習(xí)2解：（1）與相似。理由如下：由折疊知，，，又，。（2），設(shè)AE=3t，則AD=4t。由勾股定理得DE=5t。。由（1），得，，。在中，，，解得t=1。OC=8，AE=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（10，3），設(shè)直線CE的解析式為y=kx+b，解得，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（16，0）。（3）滿足條件的直線l有2條：y=－2x+12，y=2x－12。如圖2：準(zhǔn)確畫出兩條直線。練習(xí)3解：（1）二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，且過點(diǎn)和，由 解得此二次函數(shù)的表達(dá)式為 ．（2）假設(shè)存在直線與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似．yxBEAOCD在yxBEAOCD．令，得．．設(shè)過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)．點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為．．要使或，已有，則只需， ①或 ②成立．若是①，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負(fù)值舍去）．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．［或求出直線的函數(shù)表達(dá)式為，則與直線平行的直線的函數(shù)表達(dá)式為．此時易知，再求出直線的函數(shù)表達(dá)式為．聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)為．］若是②，則有．而．在中，由勾股定理，得．解得 （負(fù)值舍去）．．點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．滿足條件的直線的函數(shù)表達(dá)式為．存在直線或與線段交于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合），使得以為頂點(diǎn)的三角形與相似，且點(diǎn)的坐標(biāo)分別為或．（3）設(shè)過點(diǎn)的直線與該二次函數(shù)的圖象交于點(diǎn)．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，求得．此直線的函數(shù)表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，并代入，得．xBEAxBEAOCP·．點(diǎn)的坐標(biāo)為．此時，銳角．又二次函數(shù)的對稱軸為，點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為．當(dāng)時，銳角；圖1CPByA圖1CPByA當(dāng)時，銳角．練習(xí)四解：（1）令，得解得令，得∴ABC（2）∵OA=OB=OC=∴BAC=ACO=BCO=∵AP∥CB，∴PAB=過點(diǎn)P作PE軸于E，則APE為等腰直角三角形令OE=，則PE=∴P∵點(diǎn)P在拋物線上∴解得，（不合題意，舍去）

∴PE=∴四邊形ACBP的面積=AB?OC+AB?PE=(3)．假設(shè)存在∵PAB=BAC=∴PAACGM圖2CByPA∵M(jìn)G軸于點(diǎn)G，∴MGA=PGM圖2CByPA在Rt△AOC中，OA=OC=∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=∴AP=設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則M①點(diǎn)M在軸左側(cè)時，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時，有=GM圖3CByPA∵AG=GM圖3CByPA解得（舍去）（舍去）(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時有=即解得：（舍去）∴M②點(diǎn)M在軸右側(cè)時，則(ⅰ)當(dāng)AMGPCA時有=∵AG=，MG=∴解得（舍去）∴M(ⅱ)當(dāng)MAGPCA時有=即解得：（舍去）

∴M∴存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與PCA相似M點(diǎn)的坐標(biāo)為，，練習(xí)5、解：（1）點(diǎn)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)過點(diǎn)的直線的函數(shù)表達(dá)式為，圖1由得，直線的函數(shù)表達(dá)式為圖1（2）如圖1，過點(diǎn)作，交軸于點(diǎn)，在和中，，點(diǎn)為所求又，，（3）這樣的存在圖2在中，由勾股定理得如圖1，當(dāng)時，圖2則，解得如圖2，當(dāng)時，則，解得例1(2008福建福州)如圖，已知△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點(diǎn)P、Q同時從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動，其中點(diǎn)P運(yùn)動的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t（s），解答下列問題：（1）當(dāng)t＝2時，判斷△BPQ的形狀，并說明理由；（2）設(shè)△BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR//BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時，△APR∽△PRQ？分析:由t＝2求出BP與BQ的長度,從而可得△BPQ的形狀;作QE⊥BP于點(diǎn)E,將PB,QE用t表示,由=×BP×QE可得S與t的函數(shù)關(guān)系式;先證得四邊形EPRQ為平行四邊形,得PR=QE,再由△APR∽△PRQ,對應(yīng)邊成比例列方程,從而t值可求.解:(1)△BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,即BQ=BP.又因為∠B=600,所以△BPQ是等邊三角形.(2)過Q作QE⊥AB,垂足為E,由QB=2t,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以=×BP×QE=(6-t)×t=－t2+3t；(3)因為QR∥BA,所以∠QRC=∠A=600，∠RQC=∠B=600，又因為∠C=600,所以△QRC是等邊三角形,這時BQ=2t,所以QR=RC=QC=6-2t.因為BE=BQ·cos600=×2t=t,AP=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP=QR,又EP∥QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,由△APR∽△PRQ,得到,即,解得t=,所以當(dāng)t=時,△APR∽△PRQ.點(diǎn)評:本題是雙動點(diǎn)問題.動態(tài)問題是近幾年來中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)題型.這類試題信息量大,對同學(xué)們獲取信息和處理信息的能力要求較高;解題時需要用運(yùn)動和變化的眼光去觀察和研究問題,挖掘運(yùn)動、變化的全過程,并特別關(guān)注運(yùn)動與變化中的不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系,動中取靜,靜中求動.例2(2008浙江溫州)如圖，在中，，，，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)，．（1）求點(diǎn)到的距離的長；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．分析:由△BHD∽△BAC,可得DH;由△RQC∽△ABC,可得關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;由腰相等列方程可得的值;注意需分類討論.解：（1），，，．點(diǎn)為中點(diǎn)，．，．，，∴（2），．，，，，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）存在.按腰相等分三種情況：ABCDERPHQM21①ABCDERPHQM21，，．，，ABCDEABCDERPHQ②當(dāng)時，，．③當(dāng)時，則為中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，．，，．綜上所述，當(dāng)為或6或時，為等腰三角形．點(diǎn)評:建立函數(shù)關(guān)系式,實質(zhì)就是把函數(shù)y用含自變量x的代數(shù)式表示;要求使為等腰三角形的的值,可假設(shè)為等腰三角形,找到等量關(guān)系,列出方程求解,由于題設(shè)中沒有指明等腰三角形的腰,故還須分類討論.五、以圓為載體的動點(diǎn)問題動點(diǎn)問題是初中數(shù)學(xué)的一個難點(diǎn)，中考經(jīng)?？疾欤幸活悇狱c(diǎn)問題，題中未說到圓，卻與圓有關(guān)，只要巧妙地構(gòu)造圓，以圓為載體，利用圓的有關(guān)性質(zhì)，問題便會迎刃而解；此類問題方法巧妙，耐人尋味。例1.在中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)A、B不重合），Q是BC邊上的動點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），當(dāng)PQ與AC不平行時，△CPQ可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段CQ的長的取值范圍；若不可能，請說明理由。（03年廣州市中考）分析：不論P(yáng)、Q如何運(yùn)動，∠PCQ都小于∠ACB即小于90°，又因為PQ與AC不平行，所以∠PQC不等于90°，所以只有∠CPQ為直角，△CPQ才可能是直角三角形，而要判斷△CPQ是否為直角三角形，只需構(gòu)造以CQ為直徑的圓，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，若AB邊上的動點(diǎn)P在圓上，∠CPQ就為直角，否則∠CPQ就不可能為直角。以CQ為直徑做半圓D。①當(dāng)半圓D與AB相切時，設(shè)切點(diǎn)為M，連結(jié)DM，則DM⊥AB，且AC＝AM＝5所以設(shè)，則在中，，即解得：，所以即當(dāng)且點(diǎn)P運(yùn)動到切點(diǎn)M的位置時，△CPQ為直角三角形。②當(dāng)時，半圓D與直線AB有兩個交點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到這兩個交點(diǎn)的位置時，△CPQ為直角三角形。③當(dāng)時，半圓D與直線AB相離，即點(diǎn)P在半圓D之外，0＜∠CPQ＜90°，此時，△CPQ不可能為直角三角形。所以，當(dāng)時，△CPQ可能為直角三角形。例2.如圖2，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＋BC＜DC，若腰DC上有動點(diǎn)P，使AP⊥BP，則這樣的點(diǎn)有多少個？分析：由條件AP⊥BP，想到以AB為直徑作圓，若CD與圓相交，根據(jù)直徑所對的圓周角是90°，兩個交點(diǎn)即為點(diǎn)P；若CD與圓相切，切點(diǎn)即是點(diǎn)P；若CD與圓相離，則DC上不存在動點(diǎn)P，使AP⊥BP。解：如圖3，以AB為直徑做⊙O，設(shè)⊙O與CD切于點(diǎn)E因為∠B＝∠A＝90°所以AD、BC為⊙O的切線即AD＝DE，BC＝CE所以AD＋BC＝CD而條件中AD＋BC＜DC，我們把CD向左平移，如圖4，CD的長度不變，AD與BC的長度縮短，此時AD＋BC＜DC，點(diǎn)O到CD的距離OE