2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省吉安市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的傾斜角為，斜率為，那么“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)斜率和傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合充分性和必要性的定義求解即可.【詳解】由直線的斜率可得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A2．已知向量，且與互相平行，則的值（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)空間向量共線的坐標(biāo)表示，由題中條件，可直接求出結(jié)果.【詳解】∵向量，，∴，，∵與互相平行，∴，解得．故選：C．3．某公司為慶祝新中國(guó)成立73周年，計(jì)劃舉行慶?；顒?dòng)，共有5個(gè)節(jié)目，要求A節(jié)目不排在第一個(gè)且C、D節(jié)目相鄰，則節(jié)目安排的方法總數(shù)為（

）A．18 B．24 C．36 D．60【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合特殊元素問(wèn)題及相鄰問(wèn)題，列式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)镃、D節(jié)目相鄰，則視C、D節(jié)目為一個(gè)整體與其它3個(gè)節(jié)目排列，又A節(jié)目不排在第一個(gè)，則從后面三個(gè)位置中取一個(gè)排A，再排余下3個(gè)，有種，其中的每一種排法，C、D節(jié)目的排列有，所以節(jié)目安排的方法總數(shù)為（種）.故選：C4．如圖為一個(gè)拋物線形拱橋，當(dāng)水面經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面寬度為18，則此時(shí)欲經(jīng)過(guò)橋洞的一艘寬12的貨船，其船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過(guò)（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，抽象出拋物線的幾何模型，根據(jù)拋物線的通經(jīng)性質(zhì)求得拋物線方程，即可求當(dāng)寬為時(shí)的縱坐標(biāo)即可求解.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出拋物線如下圖所示：設(shè)寬度為18時(shí)與拋物線的交點(diǎn)分別為，當(dāng)寬度為12時(shí)與拋物線的交點(diǎn)分別為，當(dāng)水面經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)時(shí)，水面寬度為18，所以由拋物線的性質(zhì)可知，則拋物線方程為，則，所以當(dāng)寬度為12時(shí)，設(shè)，代入拋物線方程得，解得，所以直線與直線的距離，即船體兩側(cè)的貨物距離水面的最大高度應(yīng)不超過(guò)，故選：B5．直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則面積的最大值為（

）A．8 B． C．14 D．【答案】C【分析】根據(jù)圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值的求解方法即可求最大面積.【詳解】令解得，所以,令解得，所以,所以,又因?yàn)閳A心到直線的距離所以點(diǎn)到直線的最大距離為，所以面積的最大值為，故選:C.6．在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，若，則a的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)公式求解.【詳解】所以解得，故選：B.7．如圖，在四棱錐中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），且二面角的平面角大小為，則面積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示面面夾角的余弦值，即可確定點(diǎn)位置，即可求解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建系如圖，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮?，所以的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條直線，又因?yàn)镼是四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)（包括邊界），所以的軌跡是過(guò)點(diǎn)的一條線段，設(shè)以的軌跡與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可得,所以,因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的法向量為，所以令則所以，因?yàn)槎娼堑钠矫娼谴笮椋?，解得，所以，所以面積的取值范圍是，故選:D.8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且∥截面，則線段長(zhǎng)度的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)已知條件及三角形的中位線，利用線面平行的判定定理及面面平行的判定定理，結(jié)合直角三角形的勾股定理及勾股定理的逆定理即可求解.【詳解】取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為,取的中點(diǎn)為，如圖所示因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,同理可得，平面,又,平面,所以平面平面.又平面,線段掃過(guò)的圖形是,由,得,,,,所以,即為直角，所以線段長(zhǎng)度的取值范圍是：,即.故選：A.二、多選題9．已知圓C：與直線l：，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若直線l與圓C相交，則 B．若直線l與圓C相切，則C．當(dāng)直線l與圓C的相交弦最長(zhǎng)時(shí)， D．當(dāng)圓心C到直線l的距離取最大值時(shí)，【答案】ACD【分析】對(duì)A選項(xiàng)，由圓心到直線距離小于半徑，列出不等式即可求得；對(duì)B選項(xiàng)，由圓心到直線距離等于半徑，列出方程即可求得；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)直線與圓相交的弦最長(zhǎng)時(shí)，此時(shí)直線經(jīng)過(guò)圓心，代入圓心到直線方程即可求得；對(duì)D選項(xiàng)，當(dāng)直線定點(diǎn)與圓心相連的直線與直線l垂直時(shí)，圓心C到直線l的距離最大，由兩直線斜率之積為-1，列出等式即可求得．【詳解】圓C方程可化為，∴圓心，半徑.對(duì)A選項(xiàng)，若直線l與圓C相交，則圓心到直線距離，解得∴A選項(xiàng)正確；對(duì)B選項(xiàng)，∵直線l與圓C相切，∴圓心到直線距離，解得或，∴B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)直線l與圓C的相交的弦最長(zhǎng)時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)圓心（2，1），把圓心代入，得∴C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，∵直線恒過(guò)定點(diǎn)，圓心為，∴當(dāng)圓心C到直線l的距離取最大值時(shí)，直線l與直線AC垂直，此時(shí)，則直線l的斜率為-2，∴，解得，∴D選項(xiàng)正確故選：ACD．10．如圖，空間四邊形OABC中，M，N分別是邊OA，CB上的點(diǎn)，且，，點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，則以下向量表示正確的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】利用空間向量的基底表示向量，再結(jié)合空間向量線性運(yùn)算，逐項(xiàng)計(jì)算判斷作答.【詳解】空間四邊形OABC中，，，點(diǎn)G是線段MN的中點(diǎn)，，，D正確；對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤.故選：BD11．已知拋物線C：，過(guò)焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于，兩點(diǎn)，MN的中點(diǎn)為P，直線OM，ON分別與直線l：相交于A、B兩點(diǎn).則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．的最小值為8C．P到直線l距離的最小值為6 D．與的面積之比不為定值【答案】AC【分析】對(duì)于A：設(shè)直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立消后由韋達(dá)定理即可求得均為定值；對(duì)于B：表示出的坐標(biāo)，用距離公式計(jì)算出，用基本不等式求的最小值；對(duì)于C：用的縱坐標(biāo)表示出到直線的距離，再用基本不等式求最小值；對(duì)于D：分別求出與的面積驗(yàn)證即可.【詳解】依題意，可得如下圖象：，

對(duì)于A：因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以，由拋物線的焦點(diǎn)在軸可得，直線的斜率一定存在，所以設(shè)直線的方程為：，由，消可得，所以，，，，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以所以，同理，所以，?dāng)時(shí)取得最小值16，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以到直線的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以C選項(xiàng)正確；對(duì)于D：由題意可得直線的方程分別為：，所以它們與的交點(diǎn)分別為：，所以所以，又到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式得：，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，“焦點(diǎn)弦”問(wèn)題的求解，弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，設(shè)而不求法，韋達(dá)定理的應(yīng)用等，需要考生的計(jì)算能力以及數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化能力有較高的要求，屬于壓軸題.12．已知為圓錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．⊥平面C．在圓錐側(cè)面上，點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為3D．圓錐內(nèi)切球的表面積為【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)，證明出，得到平行關(guān)系；B選項(xiàng)，作出輔助線，得到BM⊥AM，AM⊥BC，從而證明出線面垂直；C選項(xiàng)，將側(cè)面展開(kāi)，設(shè)中點(diǎn)為Q，連接AQ，則為點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離，求出，假設(shè)，由余弦定理求出點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離為3，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，畫(huà)出圖形，找到內(nèi)切球球心，求出半徑，得到內(nèi)切球表面積.【詳解】因?yàn)槭堑酌鎴A的內(nèi)接正三角形，為底面圓的直徑，所以，，又，所以，故，A正確；因?yàn)闉閳A錐的頂點(diǎn)，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點(diǎn)，所以MO⊥平面ABC，因?yàn)槠矫鍭BC，所以MO⊥BC，又AO⊥BC，，平面MOA，所以BC⊥平面AMO，因?yàn)槠矫鍭MO，所以AM⊥BC，因?yàn)?，所以，由勾股定理得：，則，故，同理可得：，因?yàn)?，所以BM⊥AM，因?yàn)槠矫鍹BC，且，所以⊥平面，B正確；將側(cè)面展開(kāi)，如下：設(shè)中點(diǎn)為Q，連接AQ，則為點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離，其中，故底面周長(zhǎng)為，故，則，若，由，由余弦定理得：，因?yàn)椋栽趫A錐側(cè)面上，點(diǎn)A到中點(diǎn)的最短距離不為3，C錯(cuò)誤；由對(duì)稱(chēng)性可知，圓錐內(nèi)切球球心在OP上，作出圖形，如下：設(shè)內(nèi)切球球心為T(mén)，設(shè)內(nèi)切球半徑為，TU=R，，則，其中，故，在Rt△PUT中，由勾股定理得：，即，解得：，故圓錐內(nèi)切球的表面積為，D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問(wèn)題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對(duì)于外切的問(wèn)題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對(duì)于球的內(nèi)接幾何體的問(wèn)題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．三、填空題13．黨的二十大報(bào)告指出，建設(shè)教育強(qiáng)國(guó)是民族復(fù)興的偉大基礎(chǔ)工程.某師范院校為了支持鄉(xiāng)村教育振興計(jì)劃，擬委派10名大學(xué)生到偏遠(yuǎn)山區(qū)支教，其中有3名研究生.現(xiàn)將這10名大學(xué)生分配給5個(gè)鄉(xiāng)村小學(xué)，每校2人，則不同的研究生分配情況有______種（用數(shù)字作答）.【答案】120【分析】不同的研究生分配情況分為2類(lèi)：其中2個(gè)研究生分配到相同的學(xué)校，3個(gè)研究生分配到不同的學(xué)校，根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分別計(jì)算即可.【詳解】如果其中2個(gè)研究生分配到相同的學(xué)校則有種；如果3個(gè)研究生分配到不同的的學(xué)校則有種；所以不同的研究生分配情況有(種).故答案為：120.14．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____.【答案】220【分析】根據(jù)給定條件，分析展開(kāi)式中項(xiàng)出現(xiàn)的情況，再列式計(jì)算作答.【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的最高指數(shù)小于12，而的指數(shù)小于等于，因此中的指數(shù)是負(fù)整數(shù)，要得到項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)，所以展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)是展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù).故答案為：220四、雙空題15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與雙曲線共焦點(diǎn)，雙曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，兩曲線的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，則橢圓的離心率為_(kāi)_____.；當(dāng)焦點(diǎn)在軸吋，雙曲線的漸近線為_(kāi)_____.【答案】

【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線定義，結(jié)合雙曲線實(shí)軸和橢圓長(zhǎng)軸的定義、橢圓離心率公式、雙曲線漸近線方程進(jìn)行求解即可.【詳解】橢圓和雙曲線的對(duì)稱(chēng)性相同，不妨設(shè)兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)都在軸，設(shè)兩個(gè)曲線標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，，設(shè)兩個(gè)曲線的焦點(diǎn)為，設(shè)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn)，設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得：，因?yàn)閮汕€的交點(diǎn)與兩焦點(diǎn)共圓，所以有，于是有，把的結(jié)果代入中，得，設(shè)橢圓的離心率為，因?yàn)殡p曲線實(shí)軸的兩頂點(diǎn)將橢圓的長(zhǎng)軸三等分，所以有，代入中，得，所以橢圓的離心率為；，代入中，得，所以雙曲線的漸近線為，故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)橢圓和雙曲線的定義是解題的關(guān)鍵.五、填空題16．在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且滿足直線平面，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，三棱錐外接球的半徑為_(kāi)_____.【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)平面求出點(diǎn)的軌跡方程，根據(jù)與平面所成角最大求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)三棱錐外接球球心為，根據(jù)球心的定義可得出關(guān)于、、的方程組，求出這三個(gè)未知數(shù)的值，即可求得結(jié)果.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，則，可得，其中，易知平面的一個(gè)法向量為，，，故當(dāng)時(shí)，取最大值，此時(shí)，點(diǎn)，設(shè)三棱錐的球心為，則，解得，即球心，因此，三棱錐的外接球半徑為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可；④坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出外接球球心的坐標(biāo)，根據(jù)球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，求出球心坐標(biāo)，利用空間中兩點(diǎn)間的距離公式可求得球的半徑.六、解答題17．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次為M，P，N，且滿足.(1)若直線l：的系數(shù)a，b，c（）為展開(kāi)式中所有無(wú)理項(xiàng)系數(shù)，求不同直線l的條數(shù)；(2)求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【答案】(1)10；(2)，.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出n值并求出展開(kāi)式的通項(xiàng)，再利用組合求解作答.（2）由（1）中通項(xiàng)公式，列出不等式組，求出系數(shù)最大的項(xiàng)作答.【詳解】（1）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，，依題意，，即，顯然，解得，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，當(dāng)不是整數(shù)，即時(shí)，是無(wú)理項(xiàng)，當(dāng)r分別取1，2，3，5，6，7時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)分別為，從的5個(gè)數(shù)中取3個(gè)不同數(shù)分別為使，有種取法，每種取法確定一條直線，所以不同直線l的條數(shù)是10.（2）由（1）知，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令第項(xiàng)的系數(shù)最大，則有，即，整理得，解得，而，因此或，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是，.18．已知圓M經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為6.(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線l與圓M相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，求直線l的方程及四邊形PEMF的面積S.【答案】(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)直線方程為或，四邊形的面積為12.【分析】（1）設(shè)出圓的一般式方程，根據(jù)在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是6，以及韋達(dá)定理和圓過(guò)A，B坐標(biāo)，列出方程組即可求解；（2）設(shè)切線方程為，由直線與圓相切列出方程求出即可得切線方程；求出，根據(jù)四邊形的面積求得面積.【詳解】（1）設(shè)圓與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為，設(shè)圓，且令，得，則，令，得，則，圓在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和是6，，圓過(guò)，兩點(diǎn)，將代入方程得，即，解得：，故得圓，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）得圓的圓心為，半徑，過(guò)點(diǎn)斜率為0的直線方程為，直線與圓沒(méi)有交點(diǎn)，不是圓的切線，不妨設(shè)過(guò)的圓的切線的方程為，即，則，整理得，解得或，故切線方程為或.又，則四邊形的面積.19．如圖，在等腰直角中，，DB和EC都垂直于平面ABC，且，F(xiàn)為線段AE上一點(diǎn)，設(shè).(1)當(dāng)時(shí)，求證：平面ABC；(2)當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求四棱錐的體積.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)18【分析】(1)利用線面平行的判定定理證明即可；(2)利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示面面夾角的余弦值，進(jìn)而可求體積.【詳解】（1）取靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)為，連接,則有,又因?yàn)镈B和EC都垂直于平面ABC，，所以，所以,所以四邊形為平行四邊形，所以,平面ABC，平面ABC,所以平面ABC.（2）如圖，以為原點(diǎn)，（垂直于平面）為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所?，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，令，則，取平面的法向量為，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，解得，此時(shí).20．世界人工智能大會(huì)是一場(chǎng)領(lǐng)域的國(guó)際盛會(huì)，集聚上千位來(lái)自國(guó)內(nèi)外的“最強(qiáng)大腦”，展開(kāi)了近百場(chǎng)高端論壇頭腦風(fēng)暴.某高校學(xué)生受大會(huì)展示項(xiàng)目的啟發(fā)，決定開(kāi)發(fā)一款“貓捉老鼠”的游戲.如圖所示，兩個(gè)信號(hào)源相距10米，是線段的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與直線的夾角為，機(jī)器貓?jiān)谥本€上運(yùn)動(dòng)，機(jī)器鼠的位置始終滿足：兩點(diǎn)同時(shí)發(fā)出信號(hào)，機(jī)器鼠接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晩秒（注：信號(hào)每秒傳播米）.在時(shí)刻時(shí)，測(cè)得機(jī)器鼠與點(diǎn)間的距離為米.(1)以為原點(diǎn)，直線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，求時(shí)刻時(shí)機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo).(2)游戲設(shè)定：機(jī)器鼠在距離直線不超過(guò)2米的區(qū)域運(yùn)動(dòng)時(shí)，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，是否有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn)？【答案】(1)(2)有【分析】（1）由機(jī)器鼠接收到A點(diǎn)的信號(hào)比接收到點(diǎn)的信號(hào)晩，可得機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡方程，結(jié)合機(jī)器鼠與點(diǎn)間的距離為米，可得機(jī)器鼠此時(shí)的坐標(biāo)；（2）求出機(jī)器鼠的運(yùn)動(dòng)軌跡方程到l的最短距離，比較其與2米的大小即可.【詳解】（1）設(shè)機(jī)器鼠的位置為點(diǎn)，由題意得，由題意可得即，可得的軌跡為以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)其方程為，則，所以，則的軌跡方程為.又在時(shí)刻時(shí)，，則.可得，所以機(jī)器鼠所在位置的坐標(biāo)為.（2）由題意可知直線，設(shè)直線的平行線的方程為，由可得：，，令，解得，當(dāng)時(shí)，為雙曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以，結(jié)合韋達(dá)定理有，所以，所以.此時(shí)，與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)即為雙曲線右支上距離最近的點(diǎn)，此時(shí)與的距離為，即機(jī)器鼠與最小的距離為，故如果機(jī)器鼠保持目前的運(yùn)動(dòng)軌跡不變，有“被抓”的風(fēng)險(xiǎn).21．如圖在直棱柱中，，、AC、的中點(diǎn)分別為D、E、F.(1)求證：；(2)若異面直線與BF所成的角為，且BC與平面BEF所成角的正弦值為，求二面角的正切值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，證明平面即可推理作答.（2）由（1）及線線角、線面角可得，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】（1）在直棱柱中，點(diǎn)E、F分別為矩形對(duì)邊AC、的中點(diǎn)，則，而，于是，而平面，因此平面，又平面，所以.（2）在直棱柱中，平面，由（1）知，，則平面，平面，有，為異面直線與BF所成的角，即，又平面，則是BC與平面BEF所成的角，即，而，因此，令，則，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則