2022-2023學年江西省吉安市永豐縣永豐中學高二年級上冊學期期末考試數(shù)學試題（A）【含答案】

2022-2023學年江西省吉安市永豐縣永豐中學高二上學期期末考試數(shù)學試題（A）一、單選題1．已知、兩點，則直線與空間直角坐標系中的平面的交點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設直線與平面的交點為，利用、、三點共線得向量共線，由此可求出答案．【詳解】解：設直線與平面的交點為，（方法一）∵、、三點共線，則，∵、，∴，，則，解得，則，（方法二）∵、、三點共線，則，則，則，解得，則，故選：B．2．直線：和：垂直，則實數(shù)A． B．1 C．或1 D．3【答案】A【分析】本題可以根據(jù)直線與直線的解析式以及兩直線垂直的相關性質(zhì)列出算式，然后通過計算得出結果．【詳解】由，解得，故選A．【點睛】本題考查兩直線之間的位置關系，主要考查兩直線垂直的相關性質(zhì)，有直線和直線垂直，則有，考查計算能力，是簡單題．3．3名男生和3名女生排成一排，男生不相鄰的排法有（

）．A．144種 B．90種 C．260種 D．120種【答案】A【分析】按照分類分步計數(shù)原理，先排女生，再讓男生去插空即可.【詳解】由3名男生不相鄰知，應該先把3名女生排好，有種排法，再讓3個男生去插空，在3名女生形成的4個空中插入3個男生，共有種排法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，知總共有種排法；故選：A．4．為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國民眾的身體健康，要求產(chǎn)品在進入市場前必須進行兩輪核輻射檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售.已知某產(chǎn)品第一輪檢測不合格的概率為，第二輪檢測不合格的概率為，兩輪檢測是否合格相互沒有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利元，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可求得該產(chǎn)品能銷售的概率，寫出的取值，設表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則服從二項分布，分別求出的取值對于得概率，從而可得答案.【詳解】解：由題意得該產(chǎn)品能銷售的概率為，易知的取值范圍為，設表示一箱產(chǎn)品中可以銷售的件數(shù)，則，所以，，所以，，，故.故選：B.5．為了迎接2010年廣州亞運會，某大樓安裝5個彩燈，它們閃亮的順序不固定，每個彩燈彩燈閃亮只能是紅、橙、黃、綠、藍中的一種顏色，且這5個彩燈所閃亮的顏色各不相同．記這5個彩燈有序地閃亮一次為一個閃爍，在每個閃爍中，每秒鐘有且僅有一個彩燈閃亮，而相鄰兩個閃爍的時間間隔均為5秒．如果要實現(xiàn)所有不同的閃爍，那么需要的時間至少是A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒【答案】C【詳解】.每次閃爍時間5秒，共5×120=600s，每兩次閃爍之間的間隔為5s，共5×（120-1）=595s．總共就有600+595=1195s．6．已知甲袋中有6個紅球，4個白球；乙袋中有8個紅球，6個白球，隨機取一只袋子，再從該袋中隨機取一個球，則該球是紅球的概率是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設事件表示“選中甲袋”，事件表示“選中乙袋”，事件表示“取到紅球”，利用全概率計算公式能求出取到的球是紅球的概率．【詳解】設事件表示“選中甲袋”，事件表示“選中乙袋”，事件表示“取到紅球”，則，，，，則取到的球是紅球的概率為：．故選：A．7．設橢圓和雙曲線的公共焦點為，，是兩曲線的一個交點，則的值為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定方程求出焦距，再結合橢圓、雙曲線定義建立與的關系即可計算作答.【詳解】依題意，焦距，由橢圓、雙曲線定義得：，兩式平方相加得：，于是有，所以的值為.故選：D8．直線平分圓的周長，過點作圓C的一條切線，切點為Q，則（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】由條件求出參數(shù)，再根據(jù)切線的性質(zhì).【詳解】圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以直線經(jīng)過，所以，故，由已知，，，圓的半徑為3，所以，故選：B.二、多選題9．下列各式中，不等于的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】利用組合數(shù)和排列數(shù)公式逐項判定即可【詳解】對A，正確；對B,,錯誤對C,,錯誤；對D,正確故選：BC10．已知點到直線的距離相等，則實數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)點到直線距離公式進行求解即可.【詳解】因為點到直線的距離相等，所以有，化簡得：，解得，或，故選：AC11．下列說法中正確的是A．若事件與事件是互斥事件，則B．若事件與事件是對立事件：則C．某人打靶時連續(xù)射擊三次，則事件“至少兩次中靶”與事件“至多有一次中靶”是對立事件D．把紅?橙?黃3張紙牌隨機分給甲?乙?丙3人，每人分得1張，則事件“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”是互斥事件【答案】ABC【解析】由對立事件和互斥事件的定義可依次判斷各個選項得到結果.【詳解】事件與事件互斥，則不可能同時發(fā)生，，正確；事件與事件是對立事件，則事件即為事件，，正確；事件“至少兩次中靶”與“至多一次中靶”不可能同時發(fā)生，且二者必發(fā)生其一，故為對立事件，正確；“甲分得的不是紅牌”與事件“乙分得的不是紅牌”可能同時發(fā)生，即“丙分得的是紅牌”，故不是互斥事件，錯誤.故選：.【點睛】本題考查對立事件和互斥事件的辨析，考查對于基礎定義的理解，屬于基礎題.12．如圖，正方體的棱長為，則下列四個命題正確的是（

）A．直線與平面所成的角等于B．點到面的距離為C．兩條異面直線和所成的角為D．三棱柱外接球表面積為【答案】BC【分析】對選項逐一判斷，對選項A，首先連接，交于點，易證平面，從而得為直線與平面所成的角，得；對選項B，根據(jù)平面，得為點到面的距離，再計算得；對選項C，首先連接，因為，得到為異面直線和所成的角，計算得；對選項D，根據(jù)三棱柱與正方體外接球相同，計算正方體的外接球的半徑，即可得表面積.【詳解】對選項A，連接，交于點，由題意，四邊形為正方形，，又因為平面，平面，所以，所以平面，所以為直線與平面所成的角，又，故選項A錯誤；對選項B，因為平面，所以為點到面的距離，又因為棱長為，所以，故選項B正確；對選項C，連接，因為，所以為異面直線和所成的角，又因為，所以，故選項C正確；對選項D，因為三棱柱的外接球與正方體的外接球相同，設外接球半徑為，，所以外接球表面積為，故選項C錯誤.故選：BC【點睛】（1）求直線與平面所成的角的一般步驟：①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；②計算，要把直線與平面所成的角轉化到一個三角形中求解．（2）作二面角的平面角可以通過垂線法進行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、填空題13．隨機變量X的分布列如下：X01Pabc其中a，b，c滿足，則___________.【答案】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求得，同樣由分布列可得所求概率．【詳解】因為，所以，，，所以．故答案為：．14．已知，則“”是“X的密度曲線的峰值比Y的密度曲線的峰值高”的________條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)【答案】充要【分析】當一定時，依據(jù)正態(tài)曲線特點，即可得到“”與“X的密度曲線的峰值比Y的密度曲線的峰值高”二者間的邏輯關系.【詳解】當一定時，較小時，峰值高，曲線“瘦高”；較大時，峰值低，曲線“矮胖”．故“”是“X的密度曲線的峰值比Y的密度曲線的峰值高”的充要條件．故答案為：充要15．設為正整數(shù)，展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項為__________．【答案】112【詳解】由展開式中僅有第5項的二項式系數(shù)最大得則，令，則展開式中的常數(shù)項為16．已知拋物線的焦點F在直線上，過點F的直線l與拋物線C相交于A，B兩點，O為坐標原點，△的面積是△面積的4倍，則直線l的方程為____________．【答案】【分析】設A，B分別為，由焦點在已知直線上求F坐標及拋物線方程，再根據(jù)題設三角形的面積關系可得，并設直線l為，聯(lián)立拋物線應用韋達定理求參數(shù)m，即可知直線l的方程.【詳解】設點A，B的坐標分別為，直線，令可得，故焦點F的坐標為，所以，由，，而△的面積是△面積的4倍，所以，即，設直線l為，聯(lián)立方程，消去x后整理為，所以，代入，有，可得，則直線l的方程為．故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)拋物線焦點位置及其所在直線求拋物線方程，由面積關系得到交點縱坐標的數(shù)量關系，注意交點在x軸兩側，再設直線聯(lián)立拋物線求參數(shù)即可.四、解答題17．已知二項式，且．(1)求的展開式中的第5項；(2)求的二項式系數(shù)最大的項．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)組合數(shù)公式求，再利用二項展開式的通項公式求第5項；（2）根據(jù)（1）的結果可知，是最大的二項式系數(shù)，代入通項公式求解.【詳解】（1）由，得，即，解得或（舍去）．的二項式通項為，當時，，所以的展開式中第5項為．（2）因為是中最大的，所以第4項的二項式系數(shù)最大，，所以的二項式系數(shù)最大的項是．18．要從6名男生4名女生中選出5人參加一項活動，按下列要求，各有多少種不同的選法？（1）甲當選且乙不當選；（2）至多有3名男生當選．【答案】（1）70；（2）186．【分析】（1）由題設，在除甲、乙的剩余8人中選4人參加活動，即可求選法數(shù).（2）將選法分為3男2女、2男3女、1男4女，分別求選法數(shù)，最后加總即為總選法數(shù).【詳解】（1）甲當選且乙不當選，只需從余下的8人中任選4人，有=70種選法．（2）至多有3男當選時，應分三類：第一類是3男2女，有種選法；第二類是2男3女，有種選法；第三類是1男4女，有種選法．由分類加法計數(shù)原理知，共有=186種選法．19．拋物線的焦點為F，直線與C相交于A，B兩點(點A在第一象限)，已知點A到y(tǒng)軸的距離為2，到點F的距離為.（1）求C的方程；（2）求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義可得，求出即可求解.（2）由（1）可得，代入求出直線l的方程，利用韋達定理求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線l的距離，由三角形的面積公式即可求解.【詳解】解：（1）由題意知，，則，∴拋物線方程為.（2）∵點A在第一象限，∴，把點A的坐標代入l得，∴，得l的方程為.設A，B兩點的橫坐標分別為.直線l與拋物線C聯(lián)立得，∴.∴，∴.∵點到直線l的距離為，∴的面積為.20．已知四棱錐中，平面平面，且，是等邊三角形，.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)見解析.(2).【詳解】試題分析：（1）根據(jù)計算可得，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，即得，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，最后根據(jù)線面垂直判定定理得結論（2）先根據(jù)條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，列方程組解得各面法向量，根據(jù)向量數(shù)量積求兩法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角關系得結果試題解析：(1)在中，,所以,又是等邊三角形，所以,所以,即,又因為平面平面，平面平面，所以平面，故.在中，.所以.又因為,所以平面.(2)解法一：如圖，取的中點，連接.則在等腰中，.又因為平面平面,平面平面，所以平面.過點作的平行線，則平面.由(1)知,故以為坐標原點，以直線分別作為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.設,則在中，,.又在中，,所以，故.又因為是等邊三角形，所以.所以,,,，即.所以,,.設平面的法向量為，則由，得.令，得.故為平面的一個法向量.因為平面，故為平面的一個法向量.故.設二面角為，則由圖可知,所以.解法二：取的中點，連接，連接并延長，交于，連接.則在等腰中，.又因為平面平面，平面平面,所以平面.設,則在中，.又在中，，所以，故.中，，所以，且.故,又,且,所以,故.又因為平面，由三垂線定理可得,所以為二面角的平面角.在中，,所以.故.所以在中，,故∴二面角的余弦值為.21．第屆夏季奧林匹克運動會于年月日至日在巴西里約熱內(nèi)盧舉行，為了選拔某個項目的奧運會參賽隊員，共舉行次達標測試，選手如果通過次達標測試即可參加里約奧運會，不用參加其余的測試，而每個選手最多只能參加次測試，假設某個選手每次通過測試的概率都是，每次測試通過與是相互獨立．規(guī)定：若前次都沒有通過測試，則第次不能參加測試．(1)求該選手能夠參加本屆奧運會的概率；(2)記該選手參加測試的次數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望．【答案】(1)(2)分布列見解析；【分析】（1）將該選手不能參加奧運會的情況分為兩類，由獨立事件概率乘法公式可求得不能參加奧運會的概率，由對立事件概率公式可求得結果；（2）首先確定所有可能的取值，結合獨立事件概率乘法公式可求得每個取值對應的概率，由此可得分布列；由數(shù)學期望公式計算可得.【詳解】（1）記事件：該選手能夠參加本屆奧運會；則其對立事件有兩種情況：前次均未通過測試和前次通過一次測試，但第次未通過測試；，.（2）由題意知：該選手參加測試次數(shù)所有可能的取值為，；；；；的分布列為：.22．已知橢圓．(1)若過橢圓的一個焦點引兩條互相垂直的弦、．求證：是定值；(2)若、在橢圓上且．求證：是定值．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）對兩條弦所在直線的斜率是否同時存在進行分類討論，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合弦長公式計算可證得結論成立；（2）對直線、的斜率是否同時存在進行分類討論，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用兩點間的距離公式計算可證得結論成立.【詳解】（1）證明：不妨弦、過橢圓