四川省南充市2023屆高考適應(yīng)性考試(二診)文科數(shù)學(xué)試題【含答案】

南充市高2023屆高考適應(yīng)性考試（二診）文科數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)滿足：，則（）A.1+2i B.－1+2i C.1－2i D.－1－2i【答案】C【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【詳解】由，得.故選：C2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用一元二次不等式的解法求解相應(yīng)不等式，得到集合，然后根據(jù)并集的定義求得結(jié)果，進(jìn)而做出判定.【詳解】由，解得，即，又∵集合，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的并集，涉及一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題.3.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，，代入余弦二倍角公式即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻K邊經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以，故選：C4.近年來國產(chǎn)品牌汽車發(fā)展迅速，特別是借助新能源汽車發(fā)展的東風(fēng)，國產(chǎn)品牌汽車銷量得到了較大的提升．如圖是2021年1－7月和2022年1－7月我國汽車銷量占比餅狀圖，已知2022年1－7月我國汽車總銷量為1254萬輛，比2021年增加了99萬輛，則2022年1－7月我國汽車銷量與2021年1－7月相比，下列說法正確的是（）A.日系汽車銷量占比變化最大 B.國產(chǎn)汽車銷量占比變大了C.德系汽車銷量占比下降最大 D.美系汽車銷量變少了【答案】B【解析】【分析】由餅狀圖分析即可【詳解】由餅狀圖可得日系汽車銷量占比下降2.2%，德系汽車銷量占比下降1.6%，美系與其他下降不足1%，而國產(chǎn)汽車銷量占比增加5%>2.2%，故B選項(xiàng)正確，A、C選項(xiàng)錯(cuò)誤；美系汽車銷量由變化為增加了，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B5.某三棱錐的三視圖如圖所示，已知它的體積為，則圖中的值為（）A.1 B. C.2 D.【答案】C【解析】【分析】畫出該三視圖對應(yīng)的直觀圖，再由棱錐的體積公式得出值即可得出答案.【詳解】該三視圖對應(yīng)的直觀圖可以從邊長為的正方體畫出，即為三棱錐，如下圖所示，由棱錐的體積公式得，，整理，解得，故選：C.6.某高中準(zhǔn)備選拔名男生和名女生去參加數(shù)學(xué)興趣小組，若x，y滿足約束條件，則該數(shù)學(xué)興趣小組最多可以選拔學(xué)生（）A.8人 B.10人 C.12人 D.14人【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，畫出滿足約束條件的可行域范圍，然后結(jié)合圖像即可得到其最大值.【詳解】根據(jù)條件畫出x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，要求招入的人數(shù)最多，即取最大值，目標(biāo)函數(shù)為，在可行域內(nèi)任取且為正整數(shù)使得目標(biāo)函數(shù)代表的斜率為定值，直線在軸上的截距最大時(shí)的直線為過得，此時(shí)目標(biāo)函數(shù)取得最大值為.故選:D7.智慧的人們在進(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)，比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線，探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線．如圖，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)．已知入射光線斜率為，且和反射光線PE互相垂直（其中P為入射點(diǎn)），則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由入射光線的斜率得出，進(jìn)而得出，再由雙曲線的定義得出雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)槿肷涔饩€斜率為，所以，又，，所以，又，所以.故選：D8.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，（），則等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式（），可得（），推出，（），結(jié)合等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)椋ǎ?，所以（），兩式相減得，（），由（），得，故可知，而，所以，（），故從第二項(xiàng)開始，為公比為4的等比數(shù)列，故，故選：A9.在中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若，則的值為（）A.2021 B.2022 C.2023 D.2024【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理和余弦定理有，再根據(jù)條件整體代換即可.【詳解】因?yàn)?，則根據(jù)正弦定理和余弦定理有.故選：B.10.已知正方體的棱長為，是空間中任意一點(diǎn)，則下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.該正方體外接球的體積為B.若是棱中點(diǎn)，則異面直線與夾角的余弦值為C.若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有D.若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則三棱錐體積為定值【答案】B【解析】【分析】求解外接球的添加判斷的正誤；求解異面直線所成角的余弦函數(shù)值，判斷的正誤；利用直線與平面垂直判斷的正誤；求解體積判斷的正誤．【詳解】正方體的棱長為，正方體外接球的的半徑為，外接球的體積為，所以A正確；是棱中點(diǎn)，則異面直線與夾角就是直線與夾角，夾角的余弦函數(shù)值為：．所以B不正確；因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則始終有，所以C正確；點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，所以到平面的距離是定值，則三棱錐體積為的體積，即：，所以D正確；故選：B11.如圖，已知點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則向量在向量上的投影的最大值是（）A. B.3 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，的夾角為，設(shè)，根據(jù)向量的投影的定義結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算可表示出向量在向量上的投影，結(jié)合圓的方程可得，利用三角恒等變換化簡即可求得答案.【詳解】設(shè)，的夾角為，則向量在向量上的投影為，若要投影取得最大值，則應(yīng)為銳角，設(shè)，不妨設(shè)，由題意可知，則根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可得，由于點(diǎn)P是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以設(shè)，（為參數(shù)），故，團(tuán)為的最大值為1，所以的最大值為，故選∶D．12.已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，且．則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C.－1 D.1【答案】D【解析】【分析】令，從而求導(dǎo)以確定函數(shù)的單調(diào)性及取值范圍，再令，從而化為有兩個(gè)不同的根，從而可得或，討論求解即可．【詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)；又趨向于0時(shí)趨向負(fù)無窮，趨向于正無窮時(shí)趨向0，且，令，則，要使有3個(gè)不同零點(diǎn)，則必有2個(gè)零點(diǎn)，若，則或，所以有兩個(gè)不同的根，則，所以或，且，，①若，，與的范圍相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個(gè)根一正一負(fù)，即，；又，則，且，，故.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知向量，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】由坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合模長公式求解即可.【詳解】因?yàn)?，所?故答案：14.已知直線與曲線相切，則m值為______．【答案】1【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)坐標(biāo)，代入切線方程，即可求得答案.【詳解】由題意，可得，直線與曲線相切，設(shè)切點(diǎn)為，則，則，即切點(diǎn)為，將該點(diǎn)坐標(biāo)代入，可得，故答案為：115.設(shè)是拋物線上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，則直線恒過定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為______．【答案】【解析】【分析】設(shè),，根據(jù)題意可得,設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程化簡整理并且結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系即可得出答案．【詳解】設(shè),，因?yàn)橹本€與的斜率之積為，所以，解得，由題意知直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程可得，需滿足，所以，解得，滿足，故直線的方程為，則直線恒過定點(diǎn)，故答案為∶．16.設(shè)定義在上的函數(shù)和.若，，且為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】【分析】由，，可得，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得，從而可得函數(shù)是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，求出即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，又因，所以，即，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且，所以，則，所以函數(shù)是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，由，得，則，所以.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于先根據(jù)，，可得，再結(jié)合為奇函數(shù)，可得，從而可得函數(shù)的周期.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分17.某大學(xué)“愛牙協(xié)會(huì)”為了解“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”情況之間的關(guān)系，隨機(jī)對200名青少年展開了調(diào)查，得知這200個(gè)人中共有120個(gè)人“有蛀牙”，其中“不愛吃甜食”且“有蛀牙”的有30人，“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的有50人.有列聯(lián)表：有蛀牙無蛀牙總計(jì)愛吃甜食不愛吃甜食總計(jì)（1）根據(jù)已知條件完成如圖所給的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)；（2）若從“無蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人作進(jìn)一步調(diào)查，再從這抽取的8人中隨機(jī)抽取2人去擔(dān)任“愛牙宣傳志愿者”，求抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率.附：，.0.050.010.0053.8416.6357.879【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)公式，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合分層抽樣的定義，列舉法，以及古典概型的概率公式，即可求解.【小問1詳解】由題意可知，列聯(lián)表：有蛀牙無蛀牙總計(jì)愛吃甜食9030120不愛吃甜食305080總計(jì)12080200有的把握認(rèn)為“愛吃甜食”與青少年“蛀牙”有關(guān)；【小問2詳解】若從“無蛀牙”的青少年中用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取8人作進(jìn)一步調(diào)查，則愛吃甜食占3人，設(shè)為，不愛吃甜食占5人，設(shè)為，從中隨機(jī)選取2人，所有情況為：，共28種，其中抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年為：，共10種，故抽取的2人都是“不愛吃甜食”且“無蛀牙”的青少年的概率為.18.已知數(shù)列前n項(xiàng)和為．從下面①②中選擇其中一個(gè)作為條件解答試題，若選擇不同條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．①數(shù)列是等比數(shù)列，，且成等差數(shù)列；②數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，，；（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前n項(xiàng)的和為，且．證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）選①：根據(jù)等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出首項(xiàng)及公比即可求解；選②：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)有，結(jié)合已知求出即可得公比，從而得答案；（2）由（1）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求出，然后利用裂項(xiàng)相消求和法求出即可證明.【小問1詳解】選①：因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，設(shè)公比為，，且，，成等差數(shù)列，所以，解得，所以；選②：因?yàn)閿?shù)列是遞增的等比數(shù)列，，，所以，所以，，所以；【小問2詳解】由（1）知：，且，所以.19.在四棱錐中，底面是邊長為6的菱形，，，.（1）證明：平面；（2）若，M為棱上一點(diǎn)，滿足，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于，連接，利用線面垂直的判定推理作答.（2）求出點(diǎn)到平面的距離，再利用等體積法求解作答.小問1詳解】在四棱錐中，連接交于，連接，如圖，因?yàn)榈酌媸橇庑?，則，又是的中點(diǎn)，，則，而平面，所以平面.【小問2詳解】連接，由平面，平面，則，而，平面，因此平面，又是邊長為6的菱形，，則，面積，過作交于，而，且，則，顯然，于是，面積，令點(diǎn)到平面距離為，又平面，由，即，得，解得，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.如圖，已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為橢圓M上異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若，且面積的最大值為2．（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓M相切于點(diǎn)，且與直線和分別相交于兩點(diǎn)，記四邊形的對角線相交于點(diǎn)N．問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得為定值4.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，即可求得答案；（2）設(shè)切線l方程為；并聯(lián)立橢圓方程，化簡可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合判別式等于0可得參數(shù)之間的關(guān)系，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，聯(lián)立可求得點(diǎn)N的軌跡方程，即可得結(jié)論.【小問1詳解】由題意知，且面積的最大值為2．即，當(dāng)P位于橢圓短軸端點(diǎn)處時(shí)，面積的最大，即，故橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓，所以，，設(shè)切線l方程為；，即，令，則，由，得，即，因?yàn)橹本€l與橢圓M相切，所以，所以，代入，得，即，因?yàn)?，所以，所以，有，由于，所以，故切線l方程為：，即，令，可得，則直線為：，①令，得,則直線為：，②由①②相乘得：，即點(diǎn)N的軌跡方程為：，由橢圓定義知，存在點(diǎn)，使得為定值4.【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問解答的思路并不困難，即通過設(shè)切線方程，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，求得坐標(biāo)，利用交軌法求得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，即可得到結(jié)論，解答的難點(diǎn)在于復(fù)雜的計(jì)算，計(jì)算量較大，且都是關(guān)于參數(shù)的運(yùn)算，因此要十分細(xì)心.21.已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)在有零點(diǎn)，求證：.【答案】（1）極小值，無極大值（2）見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)求極值即可；（2）由題設(shè)有在有解，結(jié)合向量數(shù)量積性質(zhì)得，應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)并放縮證，再證即可證結(jié)論.【小問1詳解】.當(dāng)；當(dāng).則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.即函數(shù)有極小值，無極大值.【小問2詳解】由，則在有解，若，由知：，所以，即，下證在上恒成立，令，則，故在上遞增，所以，即