小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的探究與實(shí)施策略

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化教學(xué)的探究與實(shí)施策略

一、緣起，結(jié)構(gòu)化教學(xué)的借鑒與斷想偶然看到一則科學(xué)小故事，不禁引起了我的興趣，“主人公”是一種被譽(yù)為“天才建筑師”的圓網(wǎng)蛛。它織網(wǎng)的技術(shù)可謂高明：從其織網(wǎng)過程看：巧妙的三角構(gòu)思，先有框架，后有步驟；先有主干，后有細(xì)節(jié)，無愧于“天才”的美譽(yù)。蜘蛛的這種織網(wǎng)本能，為其構(gòu)筑了理想的生存之地，而我們的教師為學(xué)生六年的學(xué)習(xí)又呈現(xiàn)了怎樣的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)？在學(xué)生心中有沒有留下一個(gè)清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)呢？學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，有沒有知識(shí)技能以外的收獲呢？面對(duì)將來的學(xué)習(xí)，他們會(huì)以怎樣的經(jīng)驗(yàn)和方式去應(yīng)對(duì)和建構(gòu)？這些都值得我們思考。二、追溯，結(jié)構(gòu)化數(shù)學(xué)體系的認(rèn)知與梳理數(shù)學(xué)固有的特點(diǎn)以邏輯見長，以系統(tǒng)為征。數(shù)和形的演繹讓數(shù)學(xué)形成一個(gè)完美的整體。秉承數(shù)學(xué)的特質(zhì)，小學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)同樣顯得系統(tǒng)縝密、條理清晰。其基礎(chǔ)性又表明這部分知識(shí)是整個(gè)知識(shí)體系中的一個(gè)鏈，它有生活的經(jīng)驗(yàn)作前奏，也有將學(xué)的知識(shí)作延續(xù)。數(shù)學(xué)本身和數(shù)學(xué)學(xué)科為我們呈現(xiàn)著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕Y(jié)構(gòu)。皮亞杰認(rèn)為，所謂結(jié)構(gòu)，就是指一個(gè)由諸種轉(zhuǎn)換規(guī)律組成的整體。結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)體系，需要與之相對(duì)應(yīng)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。研究數(shù)學(xué)教學(xué)，我們理應(yīng)運(yùn)用聯(lián)系、整體等觀點(diǎn)來貫穿，用整體的教學(xué)去連接一條完整的知識(shí)鏈，將教學(xué)過程變成知識(shí)、能力、情感和價(jià)值的演化構(gòu)筑過程。而結(jié)構(gòu)化教學(xué)就是從數(shù)學(xué)教學(xué)的整體性著眼、通盤考慮、有序展開教學(xué)，它強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)的主動(dòng)建構(gòu)性，但這一過程又是動(dòng)態(tài)的跟進(jìn)過程、生態(tài)的整體成長過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要利用系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)、整體的教學(xué)過程，促使學(xué)生不斷完善和發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)不斷提高吸收新知識(shí)的能力和自我生長的能力。三、架構(gòu)，結(jié)構(gòu)化教學(xué)方式的主導(dǎo)與建模結(jié)構(gòu)化教學(xué)是非線性的，是一種綜合、立體、極富動(dòng)態(tài)的過程。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)整體的認(rèn)知過程，與之相對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)教學(xué)是一個(gè)交互的活動(dòng)過程。其教學(xué)結(jié)構(gòu)方式必將涉及數(shù)學(xué)自身內(nèi)容、教學(xué)過程、教學(xué)主體（教師和學(xué)生），圍繞知識(shí)結(jié)構(gòu)到認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主線，以架構(gòu)知識(shí)、串聯(lián)方法、貫穿思想為主導(dǎo)，從廣度、高度、深度三個(gè)維度來綜合考慮，呈示立體的結(jié)構(gòu)教學(xué)模式（見下圖）。四、探究，結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)施的策略與深化（一）順應(yīng)發(fā)展脈絡(luò)，用知識(shí)統(tǒng)領(lǐng)全局1.剖析前因后果，整體把握教材內(nèi)容從新課程實(shí)施的發(fā)展過程看，教師已由先前的茫然日漸變得理性，主要原因之一是有了一套完整的教材。對(duì)于編排體系和教學(xué)每個(gè)階段“度”的把握，教師都有據(jù)可依。教師對(duì)于教材的理解和把握不僅影響課堂教學(xué)，還會(huì)制約著教師的專業(yè)技術(shù)水平。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)按學(xué)段分布，體現(xiàn)著專家的深思熟慮，體恤著學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，教師需要去體會(huì)編排的特點(diǎn)，體驗(yàn)教學(xué)的成敗得失。學(xué)生往往只會(huì)孤立地學(xué)習(xí)或應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，這樣他們就會(huì)覺得時(shí)刻要學(xué)習(xí)方法與技能。其實(shí)一些數(shù)學(xué)問題表面變化掩蓋下的實(shí)質(zhì)是相同的，通常所說的建模就是對(duì)類似問題本質(zhì)的一種歸納。如果用數(shù)學(xué)方法來形成統(tǒng)一的主題，讓學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)和體會(huì)隱藏在知識(shí)背后的數(shù)學(xué)思想方法，用“聯(lián)”的方式，可以思考一類問題，這樣就能提高效率，提高學(xué)習(xí)成效。2.明曉來龍去脈，精細(xì)設(shè)計(jì)教學(xué)流程教師的教學(xué)設(shè)計(jì)最能反映他們對(duì)于教學(xué)內(nèi)容的理解程度。教師要學(xué)會(huì)探求知識(shí)的元認(rèn)知，用“通”的思考方法去研究其出處與歸處。如教學(xué)“循環(huán)小數(shù)”一課，對(duì)于這樣知識(shí)性較強(qiáng)的內(nèi)容，教學(xué)設(shè)計(jì)不妨從概念出處考慮：循環(huán)小數(shù)是一種特殊的小數(shù)，小數(shù)則是一種特殊的分?jǐn)?shù)（十進(jìn)分?jǐn)?shù)）。但循環(huán)小數(shù)由于它的無限性而不同于一般小數(shù)，也因?yàn)樗膬?nèi)部規(guī)律性而不同于無理數(shù)。教學(xué)時(shí)可開門見山，由循環(huán)話題過渡，直接給出三個(gè)數(shù)11、6、3，讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)造計(jì)算中的循環(huán)現(xiàn)象。但是不是所有的除法都能得出循環(huán)現(xiàn)象呢？問題激發(fā)了學(xué)生的探究熱情。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，像計(jì)算11÷3、6÷11這樣的算式，商中的小數(shù)部分會(huì)呈現(xiàn)出規(guī)律。在學(xué)生的探索中，知識(shí)的概念本質(zhì)昭然若揭。整個(gè)過程干凈利落，又不失深刻。正是基于對(duì)小數(shù)、循環(huán)小數(shù)知識(shí)系統(tǒng)整體的認(rèn)識(shí)，教師創(chuàng)設(shè)了良好的教學(xué)過程，充分體現(xiàn)了緣于知識(shí)內(nèi)部的邏輯性及其背后的教學(xué)思想。3.著眼深入淺出，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)體系精彩的課堂之所以令人傾心，源于教師的精到設(shè)計(jì)和對(duì)教材的通透理解。因此，教師要以學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想體系的建立為目標(biāo)，這樣就會(huì)另眼解讀教學(xué)內(nèi)容，使教學(xué)結(jié)構(gòu)變得豐富而靈動(dòng)。關(guān)于“百分?jǐn)?shù)意義”的數(shù)學(xué)，教師利用“學(xué)生人數(shù)是老師的1000%”，反過來引導(dǎo)“老師人數(shù)是學(xué)生的10%”，再將“1000%”換個(gè)說法是什么？10倍。這些簡短的對(duì)話，將倍數(shù)、分?jǐn)?shù)這兩種都可以表示兩者關(guān)系的數(shù)量，用不同的說法聯(lián)系起來。教師這一看似不經(jīng)意的“啟”，實(shí)則用意深遠(yuǎn)。超越一般過程中百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的比較，顯然其實(shí)質(zhì)與反映兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系更為相近。被我們疏忽的倍數(shù)關(guān)系一下子與百分?jǐn)?shù)完成了有效的聯(lián)構(gòu)。教學(xué)實(shí)踐證明，這樣的“啟”用，是有直接建構(gòu)意義的。只有教師對(duì)教學(xué)體系的“入乎其內(nèi)”，才有學(xué)生對(duì)認(rèn)知的“出乎其外”，我們不要過分地割舍與學(xué)生今后學(xué)習(xí)內(nèi)容的聯(lián)系，也不能將過去的知識(shí)無端地摒棄，思前顧后，才能使知識(shí)結(jié)構(gòu)有連續(xù)性，使認(rèn)知結(jié)構(gòu)有發(fā)展性。（二）啟迪智慧思辨，用方法串聯(lián)核心數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)把零碎的、無聯(lián)系的、不分巨細(xì)的內(nèi)容塞給學(xué)生。教師在講授知識(shí)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，還要教學(xué)這類知識(shí)的方法結(jié)構(gòu)。1.授之以魚，授之以漁學(xué)生知識(shí)技能的習(xí)得一貫是教師所重視的，在結(jié)構(gòu)化的教學(xué)中，這種方法就不只是一時(shí)的解題方式，它更是環(huán)環(huán)相扣結(jié)構(gòu)下的節(jié)點(diǎn)。數(shù)學(xué)方法的習(xí)得應(yīng)是一個(gè)融會(huì)貫通的過程。例如，有這樣一道題：一個(gè)圓柱的側(cè)面積是12.56平方厘米，底面半徑是2厘米，那么這個(gè)圓柱的體積是多少？如果用一般的思考方法，繁雜的計(jì)算令學(xué)生頭疼。這時(shí)，一位學(xué)生的建議忽然讓課堂變得輕松起來：“老師，我覺得這道題還可以這樣解，用側(cè)面積的一半乘半徑就是圓柱的體積。我們學(xué)習(xí)圓柱體積公式推導(dǎo)時(shí)，把圓柱沿著底面半徑進(jìn)行平均切分，拼成一個(gè)近似長方形。如果把這個(gè)長方形側(cè)過來放，這時(shí)還是一個(gè)近似長方形，它的底面就是圓柱側(cè)面積的一半，高就是圓柱底面半徑?！币粋€(gè)簡單的動(dòng)作，為我們開啟了智慧的大門。學(xué)生將“底面積乘高”這一方法構(gòu)筑于一般意義之上，靈活而巧妙地將其延伸，并自然擴(kuò)大。我們的教學(xué)理應(yīng)啟迪學(xué)生這般思考問題、活用方法，以此引導(dǎo)數(shù)學(xué)思維的歷練。2.有所作為，有所不為“有所作為，有所不為”應(yīng)該是教學(xué)的至高境界，如果教師做足工夫，接下來的教學(xué)也會(huì)水到渠成，甚至出乎想象。“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”單元教學(xué)中，概念顯得多而繁雜。在偶然的教學(xué)生成中，筆者發(fā)現(xiàn)了一條涌動(dòng)于分?jǐn)?shù)知識(shí)間的暗線。［片段1］分?jǐn)?shù)的大小比較A、同分母分?jǐn)?shù)比較，因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)單位相同，只要比較分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)即可。分子哪個(gè)大，那個(gè)分?jǐn)?shù)就大。B、同分子分?jǐn)?shù)比較，分?jǐn)?shù)單位不同，分?jǐn)?shù)單位大的那個(gè)數(shù)就大。C、有些分?jǐn)?shù)只與單位“1”差一個(gè)分?jǐn)?shù)單位，分?jǐn)?shù)單位越小，這個(gè)分?jǐn)?shù)就越大。這些解釋皆用分?jǐn)?shù)單位貫穿，言簡意賅，讓人耳目一新。［片段2］分?jǐn)?shù)四則計(jì)算學(xué)生的理解是：同分母分?jǐn)?shù)加減法，即是相同分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)（分子）相加減；異分母分?jǐn)?shù)相加減，則需要通分，把它們的分?jǐn)?shù)單位化成統(tǒng)一再計(jì)算。學(xué)生還由此想到了整數(shù)、小數(shù)的加減法，只有相同單位上的數(shù)才能相加這一計(jì)算方法，完成了從整數(shù)、小數(shù)到分?jǐn)?shù)一系列的統(tǒng)一。這樣，學(xué)生深刻地理解了分?jǐn)?shù)單位并且有了數(shù)運(yùn)算的整體感，前后聯(lián)系，就把運(yùn)算的本質(zhì)特性理清了。數(shù)學(xué)理解的高境界就是回歸簡潔，這種看似“無為”的境界，其實(shí)與最初的“有為”教學(xué)不無關(guān)系。3.既見樹木，又見森林整體規(guī)劃，統(tǒng)籌兼顧。在教學(xué)的起始可以將知識(shí)全面地展現(xiàn)在學(xué)生面前，讓他們獲得一種整體的感性認(rèn)識(shí)，再深入到具體內(nèi)容，這樣的教學(xué)充分體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)思想在教學(xué)中的應(yīng)用。其優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生在通曉知識(shí)范疇的前提下，加強(qiáng)了學(xué)習(xí)的針對(duì)性，便于運(yùn)用體系間的關(guān)聯(lián)來完成整體的認(rèn)知，教學(xué)的部分與總體間照應(yīng)及時(shí)，部分與整體間轉(zhuǎn)換自如，博觀而約取，有助于提高學(xué)習(xí)效果。如對(duì)于數(shù)的認(rèn)識(shí)，尤其是百以內(nèi)數(shù)學(xué)習(xí)之后，大量的生活數(shù)據(jù)信息已被學(xué)生所接受，在教學(xué)時(shí)各種數(shù)據(jù)的第一時(shí)間出現(xiàn)并不一定拘泥于所教內(nèi)容，可讓學(xué)生在大視野范圍內(nèi)進(jìn)行初步感知，再在學(xué)習(xí)過程中體味其中的一脈相承。（三）凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，用思想貫穿過程結(jié)構(gòu)的思想其本質(zhì)也是一種重要的數(shù)學(xué)思想。教師要把學(xué)生放在終身發(fā)展的鏈條上，不斷滲透數(shù)學(xué)思想，以使學(xué)生獲得對(duì)數(shù)學(xué)整體而深刻的理解，明確其作用及特征，起承轉(zhuǎn)合、由點(diǎn)連線及面地將數(shù)學(xué)思想融于結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)教學(xué)中。下面就以幾種常見的數(shù)學(xué)思想為例，一起感受數(shù)學(xué)思想由簡單運(yùn)用到發(fā)展成熟的系統(tǒng)化過程。1.“啟”——開啟數(shù)形結(jié)合雖然小學(xué)生的邏輯思維能力在不斷發(fā)展，但要催生學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，就要從整體出發(fā)，高屋建瓴，挖掘不同知識(shí)表層下的同一性，以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。綜觀教材，曾多次出現(xiàn)一組系列立體圖（見下圖），從數(shù)的認(rèn)識(shí)到形的計(jì)算，它的作用顯露無遺。如果以此為載體，用有意義的“形”來幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)和理解與此相關(guān)的“意”，這樣的數(shù)形結(jié)合不僅是一種思想的傳遞，也是對(duì)本質(zhì)的剖析。完成對(duì)整數(shù)1、10、100、1000的認(rèn)識(shí)，在出示的過程中體會(huì)計(jì)算單位的進(jìn)率。若把每個(gè)個(gè)體看做單位“1”，則運(yùn)用到小數(shù)1、0.1、0.01、0.001的認(rèn)識(shí)，與整數(shù)如出一轍，小數(shù)的性質(zhì)也在形體變化中得以體現(xiàn)。長度、面積、體積等知識(shí)正是在這些有形的物的構(gòu)造中實(shí)現(xiàn)了意義的認(rèn)知。有位數(shù)學(xué)家說過：代數(shù)是有序的邏輯，幾何是看得見的邏輯。通過這組幾何模型將本質(zhì)反映出來，數(shù)量之間的進(jìn)率也就一覽無余。學(xué)生如果認(rèn)為諸多獨(dú)立的知識(shí)間存在著統(tǒng)一的思想或是管用的方法，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)他來說就會(huì)變得輕松而又清晰。2.“承”——傳承數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)文化不是數(shù)學(xué)課堂的點(diǎn)綴，它是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種思想浸潤。教師把數(shù)學(xué)文化知識(shí)穿插在學(xué)科知識(shí)技能的教學(xué)中，其所承載的不只是讓學(xué)生獲得一種文化的認(rèn)同、共鳴，還要最大限度地感染、推動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，是一種內(nèi)涵的感悟。所以對(duì)于數(shù)學(xué)文化內(nèi)容的選擇和加盟，也是一個(gè)富有結(jié)構(gòu)且有計(jì)劃的過程。葉中豪先生曾說：“數(shù)學(xué)是一種文化，而文化就是要被繼承的東西。繼承的東西就是數(shù)學(xué)思想?！苯虒W(xué)“分?jǐn)?shù)意義”一課時(shí)，筆者嘗試作了這樣的文化滲透：如此安排，教師是想通過特定的圖形開始數(shù)學(xué)游戲，鍛煉學(xué)生的數(shù)形想象能力，來喚醒數(shù)的意識(shí)。而采用的七巧板，則是我國傳統(tǒng)的游戲工具，里面蘊(yùn)含著不少數(shù)學(xué)知識(shí)，各板塊間的面積大小就是很好的學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的資源。如此這般，數(shù)的學(xué)習(xí)放置于一定的時(shí)空，充分讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)根植于生活、源于人們的智慧、有著厚重的過去，而且整節(jié)課的基調(diào)和范圍呈現(xiàn)自然。內(nèi)容與形式的有效結(jié)合，將濃濃的數(shù)學(xué)味置于有趣的游戲中，在無斧鑿痕跡之下，融入了數(shù)學(xué)的元素，有了文化的支撐，平添了數(shù)學(xué)味，使數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)交相輝映，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力，徜徉于數(shù)學(xué)演變的歷史長河中。3.“轉(zhuǎn)”——化轉(zhuǎn)等積守恒一種數(shù)學(xué)思想也只有在廣泛的應(yīng)用之后才被認(rèn)可或是推廣。等積守恒是小學(xué)數(shù)學(xué)中運(yùn)用頻繁的一種解題策略和思想?！安蛔儭钡募s定正是通過部分間的守恒，達(dá)到平衡狀態(tài)。最初的形成是在幾何圖形的求解中，通過面積不變將圖形分割、拼補(bǔ)轉(zhuǎn)化成已有的形狀，一系列的經(jīng)驗(yàn)使轉(zhuǎn)化守恒有了豐富的基礎(chǔ)。擴(kuò)而廣之，運(yùn)算中“積商和差”的不變性、運(yùn)算定律的不變、基本性質(zhì)的守恒，幾乎將這一思想遍布于數(shù)學(xué)之中?！百Y之深，則取之左右逢其源”，轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，依賴于師生在教學(xué)過程中積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)間的有效關(guān)聯(lián)。其組建的網(wǎng)絡(luò)越發(fā)達(dá)，轉(zhuǎn)化的空間越通暢，后續(xù)的發(fā)展意義也就越寬泛。等積守恒也可回歸于“做數(shù)學(xué)”的過程中，當(dāng)已有的認(rèn)知與新知發(fā)生沖突時(shí)，內(nèi)在需求的平衡，迫使產(chǎn)生求知的需求。4.“合”——暗合以簡馭繁張奠宙教授曾說：“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的核心是如何體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)、精中求簡、返璞歸真……”教師一方面要將教學(xué)過程豐富，另一方面還要將教材教薄，將數(shù)學(xué)精簡、清爽的特性借助于數(shù)學(xué)思想體系反映出來?；y為易，投石問路，是數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)于方法的典例。用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題，需要我們看透知識(shí)表層背后規(guī)律性的內(nèi)容。植樹問題、雞兔