高考數(shù)學(新人教A版)二輪提能優(yōu)化不等式選講(選修4)

x－<<2222222222x－<<22222222222222222222第2講第1講

不等式選講選修－．(2014·廣東高)不等式x－1|＋2|≥解集．【解析】思一：利用數(shù)軸對進分類討論去掉絕對值符號，再解不等式．思路二：借助數(shù)軸，利用絕對值的幾何意義求解．方法一：要去掉絕對值符號，需要對與－1行大小比較，－可以把數(shù)軸分成三部分．當x<－2時不等式等價于(x1)(x＋≥5解得≤－3當≤x時，不等式等價于(x－＋x＋2)≥，即≥5，無解；當≥1時不等式等價于x－1＋＋≥，解得x≥綜上，不等式的解集{≤－≥2}方法二：－1|＋x＋2|示數(shù)軸上的點x到和點的離的和，如圖所示，數(shù)軸上到點1和－的距離的和為的點有－3和故滿足不等x－＋x＋2|≥5x的值為x≤－3或x≥，所以不等式的集{x≤－≥2}【答案】{x－3或≥2}．(2014·湖南高)若關(guān)于的等式－2|<3的集＝________.1【解析】由ax－，解得－<5，不等式的解集{－<<}∴a－【答案】－3．(2014·陜西)設(shè)，bm∈，＋＝＋＝，則m＋的小值為_．【解析】運柯西不等式求解依據(jù)柯西不等式(ma＋≤＋)(m＋n，得255(＋n)m＋≥，＋的最小值為5.【答案】．(2014·江蘇高)已知x>0>0證明：(1＋y)(1

＋y)≥xy.證明因x>0，y，所以＋x＋

≥3xy

>0,1＋x

＋y≥3x

y，故(1＋y＋x＋)≥xy

y＝9xy從近三年高考來看，該部分高考命題的熱點考向為：．不等式的性質(zhì)①不等式的性質(zhì)(特別是絕對值三角不等式性質(zhì)定)是不等式選講的基礎(chǔ)主要考學生的邏輯推理能力．②在高考中主要以填空題或選擇題的形式出現(xiàn)，難度中等．．絕對值不等式的法①此考向主要考查形x＜或x＞a及x－a|±|－b＜c或－|±|x－b＞c的不等式的解法，考查已知不等式的解集求參數(shù)的值或范圍，考查絕對值的幾何意義及零點分析法的應用．②試題多以填空題或解答題的形式出現(xiàn)，考查學生分析問題的能力以及運算能力，難度中等．預測年會保持相對穩(wěn)定，形式會可能更靈活．．不等式的證明①此類問題涉及到的知識點多，綜合性很強，方法比較靈活，常與函數(shù)的值域問題相結(jié)合，考查比較法、綜合法等在證明不等式中的應用．②試題多以解答題形式出現(xiàn)，考查學生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力以及邏輯推理能力

22222π22222222b22222π22222222b不等式的性質(zhì)【例】(1)若－＜y－＜，下列不等式一定成立的()Ax－y＜B．x－y＜hC．x－y＞D．－y＞2－b|a＋b(2)已知a≠|(zhì)，m，＝，m之的大小關(guān)系是()a＋bAmnBmnC．D．m【解析】(1)|x－＝x－a－(－≤－a＋y－a＜＋＝2故選B.(2)∵a－b≤|a≤a＋，a－|baa＋＋b∴＝≤＝，＝≥＝1∴m1.aa＋＋b【答案】【規(guī)律方法】兩(式)和與差的絕對值不等式的性質(zhì)：(1)a|≤a≤ab≤≤a[新測]x．(1)已知＋＝>b，設(shè)＝a＋b，B＝(x＋y)，則，B間大小關(guān)系是)bA<BB>C．≤DA≥B(2)(2014·遼寧高考已知定義在[0,1]上的函數(shù)f)滿足：①(0)＝(1)＝0②對所有x，y∈[0,1]，x≠y有f(x)－(－y|.若對所有x，y∈[0,1]，fx)－(y恒立，則的小值為()1B.C.D.4xy【解析】＝＋b＝＋)＝2＋(a＋b≥a＝＋)＝B.選D.(2)不妨令≤y<≤，當0<－≤時，1f(x)f(y)|<x－y≤；x－y1時，41f(x)f(y＝()－(1)]－[fy－f≤fx)f(1)|f(y－－＋－＝(1－x)＋21y＝＋(－x)<2綜上，fx)fy，所以≥.故選4【答案】(1)D絕對值不等式的解法【例】遼寧高)已知函數(shù)fx)－，中a(1)當＝2時求不等式f()≥4－x－4|解集；(2)已知關(guān)于x的不等式x＋a－f(x≤2的集為{≤x≤2}，求值．

【解】(1)a，f)＋－＝

x＋，x≤2，2<，

x－，x≥4.當x≤2時由fx≥4－得－2＋6，解得x≤1；當2<x<4時，(x)≥4－無解；當x≥4時由fx≥4－得x－≥4，解得x≥所以fx)≥－－4|的解為{≤或≥5}(2)記(x)＝(2x＋a)－2fx，，x≤，則(x)＝2a，<a

a，x≥a.－＋1由h)|，解得≤≤又已知h)|解集為{|1≤x≤2}－＝1，所以＋＝2，于是＝【規(guī)律方法】1.對值不等式的求解方法：≤cb≥caxb≤?≤ax≤cb≥?b≥cax≤ccaxb≤?b≥Rb≥ab≤c0解含參數(shù)的絕對不等式問題，常有以下兩種方法：(1)(2)f)[新測]．(2014·福建廈門質(zhì))已知函數(shù)fx)＝－aaR．(1)若＝2，求不等式(x的集；(2)若不等式f()＋＋≥上成立，求實數(shù)取值范圍．【解】(1)a，不等式f等－2|<1，解得所以不等式f的解集{x<3}．(2)()＋＋＝x－a＋＋，由絕對值的幾何意義知，表示數(shù)軸上表示的點與表示－1的點的距離，即距離的最小值a＋，故原命題等價于＋1|≥，解得≥≤－所以實數(shù)的取值范圍為(－∞，－∪[2＋)不等式的證明【例】全國新課標Ⅱ高考)ab，c均正數(shù)，且ab＋c＝1.證明：

2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222(1)＋＋ca≤；＋＋≥a【證明】由a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2，得

＋b

＋c

2

≥＋bcca由題設(shè)得＋b＋c＝，即＋＋＋2＋bc＋＝所以3(ab＋ca)≤，即ab＋ca≤.b(2)因為＋≥a＋c≥2b，＋a≥c，abc故＋＋＋＋b＋c≥2(＋b＋c)，abc即＋＋≥＋＋c.a所以＋＋≥a【規(guī)律方法】證不等式的基方法：(1)“至”“””[新測]．證明下列不等式；(1)用分析法證明：＋＋；(2)已知，b，c是不全相等的正數(shù)，證明a＋b＋>＋bc【證明】要證