高考數(shù)學(xué)理科真題匯編解析第六章數(shù)列

12111211第章

數(shù)第一節(jié)

等差數(shù)列與等比數(shù)列題型67

等差（等比）數(shù)列的公差（公比）1.(2017北理若等差數(shù)列

1，14

，則

22

解由

a1

，

a4

，則

a21

，由

b1

，

b4

，則

q

，則

b22

.故22

.全國(guó)1理

n

為等差數(shù)列

項(xiàng)和

a2445

S486

{}n

的公差A(yù)1B．D8解

a24451

，1

62

d

，聯(lián)立

da48

①②①，

，即624，所.故選C3.（2017全2理3我古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題遠(yuǎn)巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈”意思是一座7層共掛了381上一層燈數(shù)的倍，則塔的頂層共有燈（）

盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是A1盞

B

．5盞

D解設(shè)層燈數(shù)為a，q，

，解得a

．故選（2017全3理）等數(shù)列

a1，a3則a．1213解因

為等比數(shù)列，設(shè)公比為．由題意得

，即

顯然，a0

，

式式

，得

1，即q

，代入①式可得

，所以aq

．題型68

等差、等比數(shù)列求和問(wèn)題的拓展（全國(guó)1理幾大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家創(chuàng)業(yè)號(hào)召發(fā)了一款應(yīng)用軟件為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活”活動(dòng)這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案數(shù)列1，，，4，2，，，2，，，，，中第一是

2

0，接下來(lái)的兩項(xiàng)，

，再接下來(lái)的三

項(xiàng)是

2

0

，

1

，

2

2

，依此類推.滿足如下條件的最小整數(shù)N：100

且該數(shù)列的前N項(xiàng)為的整數(shù).那么該款軟件的激活碼是（）

440

C.

220

解設(shè)首項(xiàng)為第1，接下兩項(xiàng)為第2，再接來(lái)三項(xiàng)為第3，以此推．n設(shè)第組項(xiàng)數(shù)為，則n組的項(xiàng)數(shù)和，由題意，N100，2

n2

100得且N

*即N出現(xiàn)在第13組之，第的和為

n

n

，組共的和為

，若要使前N項(xiàng)和2的整數(shù)，則

n

2

項(xiàng)的和k應(yīng)與互為相反數(shù)，

2

14

klog

，得n的最值為

n29k

，則N

292

故選A.山理19已知

為數(shù)的等比數(shù)列，

xxx1232

，（1）求數(shù)列

式（2）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系x中依次聯(lián)點(diǎn)

P11

，，

Pn

n線

PP1

Pn

，求由該折線與直線y

，

x1

，

x

n

所圍成的區(qū)域的面積

Tn

解（1）設(shè)數(shù)列

{}n

的公比為，已知

由題意得

q1qq1

，所以

2

，因?yàn)閝所以qx1

，因此數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式為

x2n（2）過(guò)

P,,P,,13n

向軸垂線，垂足分別為

,,Q,,Q13n

，由（）得

x

n

2n

n

n

n記梯形

PQQ的面積為.nnn由題意

n

n

n

n

，所以

Tn

n

3

0

1

n

n

n

①

6133又6133

2Tn

0

2

n

n

n

②①，n

2

n

)

n

32(1n2所以Tn

(2n2

題型69

等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用1.（2017江蘇09等數(shù)列

n

為數(shù)，其前

項(xiàng)的和為

n

，已知

3

，

，則a8

．解析解法一：由題意等比數(shù)列比不為

，由S

a1a14

，因此

6，．3又

32

2

1

1，得，以a4

．故填

．74解法二（由分段和關(guān)系題3S3

，所以，即2下同解法一．（2017全2理）差列

項(xiàng)和為，a，

，則

nk

k

．解析

n

設(shè)2

首項(xiàng)為a

，公差為由ad，S4d，a，，以a，21

22n

2

11n21

題型70

判斷或證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列（

江蘇

）對(duì)于給定的正整數(shù)

，若數(shù)列

n

滿足a

n

a

k

1

n1

n

+n

k

總成立，則稱數(shù)列

“

P

數(shù)列．（1）證明：等差數(shù)列

n

數(shù)列；（2）若數(shù)列

n

P

數(shù)列”，又是P

數(shù)列，證明：

n

列

2123解析（1因?yàn)?123

n

列設(shè)其公差為

，則n從而當(dāng)n時(shí)，

n

n

1，k，1所以a

n

n

+

n

+

n

n

+a

n

a，此等差數(shù)列nn（2）由數(shù)列

n

數(shù)列”，又是

數(shù)列，因此，當(dāng)n時(shí)

n

n

n

n

a

n

①當(dāng)4，

n

n

n

n

n

n

6a

n

②由①知，a

n

n

a

n

n

n

③

n

n

n

n

n

④將③④代入②，得

n

n

，中n，n所以a,為3

．在①中，取

n

，則a4a，所以a256

，在①中，取n，a，所以a1213

，從而數(shù)列

n

列評(píng)注這是數(shù)列新定義的問(wèn)題，實(shí)類似的問(wèn)題此前我們也研究過(guò)，給出僅供參考．（2015南通基地密卷7第20題設(shè)數(shù)列

n

的各項(xiàng)均為正數(shù)，若對(duì)任意的N*

，存在k*

，使得

ak

成立，則稱數(shù)列

n

型數(shù)列．（1若數(shù)列（2若數(shù)列

nn

a，a，求a；型數(shù)，且22nJ型數(shù)列，又“J型數(shù)列，證明數(shù)列34

n

列．解析（1由題意得，

aaa2

成等比數(shù)列，且公比

1qa2

，所以2

．（2由

n

J

4

型數(shù)得

a,,aa,11721

成等比數(shù)列，設(shè)公比為

t

，由

n

是

J

3

型數(shù)列得

a,a,a,11013

成等比數(shù)列，設(shè)公比為；1a,a,a,,a214a,,,,39

成等比數(shù)列，設(shè)公比為；2成等比數(shù)列，設(shè)公比為3則

131

3

，

175

3

，

219

3

，所以

，妨令1223

，則

t

．

c所以12c所以12所以3k

1

1

，a

，所以a

t

2

，綜上aa

，從而

列．2.(2017

北

京

理

設(shè)

{}和{}

是

兩

個(gè)

等

差

數(shù)

列，

記cmax{,n}(n1,2,3,n22

其中

max{,x,xx,11

這s個(gè)中最大的數(shù)．（1）若

，2，n3

的值，并證明

{}n

是等差數(shù)列；（2）證：或者對(duì)任意正數(shù)M，存在正整數(shù)m，

nm

時(shí)，

cM

；或者存在正整數(shù)m使得,

m

是等差數(shù)列．解（）

c1

，

max,2112

，cmax,aa23

當(dāng)

n

時(shí)，

k

k

k

kk

kk

k

，所以

bnakk

關(guān)于k*單遞減.從而

max,n,,bnn112n11

，將n1,2,3代入，滿足此式所以對(duì)任意列.

，，是c，得nnn

（2）設(shè)數(shù)列

n

n

別為

d,1

2

，則bna121112?nd

①當(dāng)

d1

時(shí)，取正整數(shù)

21

，則當(dāng)n

時(shí)，

nd12

，因此

cn

此時(shí)，

ccmm

,cm

,

是等差數(shù)列.②當(dāng)

d1

時(shí)，對(duì)任意

，cnn1211

此時(shí)，

c,,13

,,n

是等差數(shù)列.③當(dāng)

d01

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，有

ndd12

，所以

bn1211…nn

nb|11

對(duì)任意正數(shù)M，正整數(shù)故當(dāng)m時(shí)

|112d1

，題型71

等差數(shù)列與等比數(shù)列的交匯問(wèn)題—暫無(wú)第二節(jié)

數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和題型72題型73

數(shù)列通項(xiàng)公式的求解數(shù)列的求和（2017天18）已知

{}n

為等差數(shù)列，前n

項(xiàng)和為S

{}n

是首項(xiàng)為的比數(shù)列，且公比大于，

b2

，

b31

，

b114

（1）求

{}和{}n

的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列

22

n項(xiàng)解（1）設(shè)等差數(shù)列

{}n

的公差為，比數(shù)列

{}的比為q.n由已知

b23

，得(q2)

，而

b1

，所以

q

2

又因?yàn)閝0

，解得q2

所以2

由

ba34

，可得

1

①=11，得ad16由1141a，，此可得聯(lián)立①②，解得1

an

②所以數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)公式為

a，列{}nn

的通項(xiàng)公式為

2n

n

(2)設(shè)列

{b22n

}

的前項(xiàng)和為T，n由

a

2

6

，

2

，有an2

n

，故

T3

，n

2

3

4

n

(3n

n

，上述兩式相減，得

23n

n(3n)1

n

n

=

n

，得

Tn

nn3

n2n2xn所以數(shù)列

b2

項(xiàng)為

n3

（2017國(guó)3理）差數(shù)列

1公差不為0若a，a，成比數(shù)列，則數(shù)列23

項(xiàng)的和為（）A

B

C．D．解因

為等差數(shù)列a,a

成等比數(shù)列差da

2d因?yàn)?/p>

代入上式可得2

又則d以Sa

故選A.第三節(jié)

數(shù)列的綜合題型74

數(shù)列與不等式的綜合1.(2017浙理已知數(shù)列x10x；（1）nnx?；（2）

ln

*

時(shí).（3）

1

解（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

x0n

當(dāng)

時(shí)，

x1

，假設(shè)

n

時(shí)，

x0k

，那么

時(shí)，若

x則kkk

k

，矛盾，故

xk

0

因此

n

n

n

因此

0n

n（2）由

xn

，得

xn

x

x2

x

記函數(shù)

f

x2flnxlnxxx

，知函數(shù)

f

0,

上單調(diào)遞增，所以

f

，