2023北京市第一次高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學試卷真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年北京市第一次普通高中學業(yè)水平合格性考試數(shù)學試卷第一部分（選擇題

共60分）一、選擇題共20小題，每小題3分，共60分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.1．已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．2．不等式的解集是（

）A． B．C． D．3．函數(shù)的零點是（

）A．－2 B．－1 C．1 D．24．在平面直角坐標系xOy中，角以O(shè)為頂點，以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點，則角可以是（

）A． B． C． D．5．已知三棱柱的體積為12，則三棱錐的體積為（

）A．3 B．4 C．6 D．86．已知，則（

）A． B． C． D．7．（

）A．－100 B．100 C．－2 D．28．如圖，點O為正六邊形ABCDEF的中心，下列向量中，與相等的是（

）A． B． C． D．9．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（

）A． B．C． D．10．已知向量，．若，則實數(shù)（

）A． B． C． D．11．已知，且．當ab取最大值時，（

）A．， B．，C．， D．，12．將函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．13．四棱錐如圖所示，則直線PC（

）A．與直線AD平行 B．與直線AD相交C．與直線BD平行 D．與直線BD是異面直線14．在中，，，，則（

）A．60° B．75° C．90° D．120°15．已知a，，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件16．向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1，則（

）A．2 B． C． D．317．已知函數(shù)．若的圖象經(jīng)過原點，則的定義域為（

）A． B．C． D．18．某銀行客戶端可通過短信驗證碼登錄，驗證碼由0，1，2，…，9中的四個數(shù)字隨機組成（如“0013”）．用戶使用短信驗證碼登錄該客戶端時，收到的驗證碼的最后一個數(shù)字是奇數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．19．已知函數(shù)，則的最小值是（

）A．2 B．1 C．－2 D．－120．某校學生的體育與健康學科學年成績s由三項分數(shù)構(gòu)成，分別是體育與健康知識測試分數(shù)a，體質(zhì)健康測試分數(shù)b和課堂表現(xiàn)分數(shù)c，計算方式為．學年成績s不低于85時為優(yōu)秀，若該校4名學生的三項分數(shù)如下：abc甲858590乙908580丙858085丁858090則體育與健康學科學年成績?yōu)閮?yōu)秀的學生是（

）A．甲和乙 B．乙和丙 C．丙和丁 D．甲和丁第二部分（非選擇題

共40分）二、填空題共4小題，每小題3分，共12分.21．已知復數(shù)，，則______．22．在中，，，則______．23．某校初一年級共有三個班，為了解課外閱讀情況，隨機抽取部分學生調(diào)查他們一周的課外閱讀時長（單位：小時），整理數(shù)據(jù)得到下表：1班89101111152班7789911123班579991014①設(shè)樣本中1班數(shù)據(jù)的均值為，2班數(shù)據(jù)的均值為，則______（填“＞”或“＜”）；②設(shè)樣本中2班數(shù)據(jù)的方差為，3班數(shù)據(jù)的方差為，則______（填“＞”或“＜”）．24．如圖，在正方體中，是正方形ABCD及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．給出下列三個結(jié)論：①，；②，；③，與不垂直．其中所有正確結(jié)論的序號是______．三、解答題共4小題，共28分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.25．已知函數(shù)．(1)求的最小正周期；(2)求的最大值，并寫出相應(yīng)的一個x的值．26．已知是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，其部分圖像如圖所示．(1)求的值；(2)補全的圖像，并寫出不等式的解集．27．閱讀下面題目及其解答過程．如圖，在直三棱柱中，，D，E分別為BC，的中點．（1）求證：平面；（2）求證：．解：（1）取的中點F，連接EF，F(xiàn)C，如圖所示．在中，E，F(xiàn)分別為，的中點，所以，．由題意知，四邊形為①．因為D為BC的中點，所以，．所以，．所以四邊形DCFE為平行四邊形，所以．又②，平面，所以，平面．（2）因為為直三棱柱，所以平面ABC．又平面ABC，所以③．因為，且，所以④．又平面，所以．因為⑤，所以．以上題目的解答過程中，設(shè)置了①~⑤五個空格，如下的表格中為每個空格給出了兩個選項，其中只有一個符合邏輯推理．請選出符合邏輯推理的選項，并填寫在答題卡的指定位置（只需填寫“A”或“B”）．空格序號選項①A．矩形

B．梯形②A．平面

B．平面③A．

B．④A．平面

B．平面⑤A．

B．28．給定正整數(shù)，設(shè)集合．對于集合M的子集A，若任取A中兩個不同元素，，有，且，，…，中有且只有一個為2，則稱A具有性質(zhì)P．(1)當時，判斷是否具有性質(zhì)P；（結(jié)論無需證明）(2)當時，寫出一個具有性質(zhì)P的集合A；(3)當時，求證：若A中的元素個數(shù)為4，則A不具有性質(zhì)P．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)補集的定義計算即得.【詳解】因為，所以；故選：D.2．B【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)，解二次不等式.【詳解】當時，；當時，，所以不等式的解集是.故選：B3．C【分析】根據(jù)零點的定義求解.【詳解】令，則；故選：C.4．C【分析】根據(jù)廣義角的定義角和正切函數(shù)值求解.【詳解】由題意，并且點在第二象限，；故選：C.5．B【分析】由棱錐體積公式可知，棱錐的體積是等底等高的棱柱體積的，計算即可.【詳解】三棱錐與三棱柱等底等高，則三棱錐的體積是三棱柱體積的，即三棱錐的體積為4.故選：B6．A【分析】根據(jù)誘導公式求解即可．【詳解】由誘導公式得，因為，所以，故選：A．7．D【分析】根據(jù)對數(shù)運算規(guī)則計算.【詳解】；故選：D.8．A【分析】根據(jù)相等向量的定義即可得答案.【詳解】解：因為相等向量是指長度相等且方向相同的向量,O為正六邊形ABCDEF的中心，所以與模相等求且方向相同，所以是相等向量，故A正確；與只是模相等的向量，故B錯誤；與只是模相等的向量，故C錯誤；與只是模相等的向量，故D錯誤.故選：A.9．C【分析】利用初等函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】對于A，由一次函數(shù)的性質(zhì)知，因為，所以在上為減函數(shù)，故A錯誤；對于B，，由于，所以在上不單調(diào)，故B錯誤；對于C，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，在上為增函數(shù)，故C正確；對于D，由余弦函數(shù)知，在上不單調(diào)，故D錯誤.故選：C.10．C【分析】利用平面向量共線的坐標表示可得出關(guān)于實數(shù)的等式，解之即可.【詳解】因為向量，且，則.故選：C.11．C【分析】由題意可得，，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得取最大值時的條件，從而即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以，所以當時，有最大值，此時.故選：C.12．B【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進行求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù).故選：B.13．D【分析】根據(jù)異面直線的定義即可求解.【詳解】根據(jù)異面直線的定義，不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線AD、直線BD是異面直線.故選：D.14．D【分析】運用余弦定理求解.【詳解】由余弦定理得：，.故選：D.15．A【分析】根據(jù)“充分必要條件”的定義求解.【詳解】如果，則有，是充分條件；如果，則有，但不能推出，比如，不是必要條件；所以“”是“”的充分不必要條件；故選：A.16．B【分析】運用坐標計算向量的模.【詳解】由圖形可知：

；故選：B.17．A【分析】利用點在函數(shù)的圖象上及偶次根式有意義即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過原點，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為.要使有意義，只需要，所以的定義域為.故選：A.18．A【分析】根據(jù)古典概型概率公式計算.【詳解】驗證碼的最后一個數(shù)字有10種不同結(jié)果，其中奇數(shù)占5種，所以收到的驗證碼的最后一個數(shù)字是奇數(shù)的概率為.故選：A19．D【分析】分段函數(shù)，分別求函數(shù)在兩個定義區(qū)間內(nèi)的最小值，即可得到函數(shù)最小值.【詳解】當時，，，有最小值1；當時，，，有最小值-1；所以的最小值是-1.故選：D20．D【分析】根據(jù)題目提供的公式分別計算甲乙丙丁的s值，按照“優(yōu)秀”的定義求解.【詳解】由題意，甲的s值；乙的s值；丙的s值；丁的s值；其中s值大于等于85的是甲和?。还蔬x：D.21．##【分析】利用復數(shù)的加法法則即可求解.【詳解】因為，，所以.故答案為：.22．4【分析】利用正弦定理直接求解即可.【詳解】由正弦定理可得，故，所以.故答案為：4.23．

＞

＜【分析】根據(jù)均值和方差的計算公式，分別計算，和，，再比較大小即可【詳解】由表中數(shù)據(jù)得，，所以；設(shè)樣本中3班數(shù)據(jù)的均值為，則，所以，，所以，故答案為：①＞；②＜．24．①②③【分析】（1）平面，即可判斷①；（2）利用平行四邊形的性質(zhì)證明線線平行，即可判斷；（3）利用線面垂直的判定證明平面，過作平面的平行面與平面的交線在正方形ABCD外，即可判斷.【詳解】對于①，平面，，，故①正確；對于②，當?shù)竭_點時，，,是平行四邊形，,,，，故②正確；對于③，平面過作平面的平行面與平面的交線在正方形ABCD外，，與不垂直,故③正確.故答案為：①②③.25．(1)；(2)最大值為2，相應(yīng)的一個x的值為．【分析】（1）根據(jù)周期公式即得；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）因為，所以的最小正周期；（2）因為，當，即時，有最大值1，所以的最大值為2，此時,故相應(yīng)的一個x的值可取.26．(1)1(2)作圖見解析，【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)計算；（2）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)圖像計算.【詳解】（1）由圖可知，，因為是偶函數(shù)，所以；（2）的圖像如上圖，不等式的解集為；綜上，，的解集為.27．（1）①A；②A；（2）③B；④A；⑤B【分析】根據(jù)邏輯推理過程，結(jié)合直棱柱的性質(zhì)、線面平行（垂直）的判定或性質(zhì)確定各空格應(yīng)補充的條件.【詳解】①根據(jù)直棱柱的結(jié)構(gòu)特征及給定的條件知：結(jié)論為四邊形為矩形，填A；②由線面平行的判定條件，條件中缺平面，填A；③由線面垂直的性質(zhì)知：結(jié)論為，填B；④由線面垂直的判定知：結(jié)論為平面，填A；⑤根據(jù)及所得結(jié)論為，條件應(yīng)為，填B.故答案為：A，A，B，A，B28．(1)A不具有性質(zhì)P；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題設(shè)新定義即可判斷；（2）根據(jù)定義即可寫出；（3）若A中的元素個數(shù)為4，假設(shè)A具有性質(zhì)P，設(shè)，然后根據(jù)條件推出矛盾，進而即得.【詳解】（1）根據(jù)題設(shè)定義可知不具有性質(zhì)P；（2）當時，，，且，，