《特殊平行四邊形》全章復習與鞏固(基礎)知識講解-初中數(shù)學【名校學案詳細解答】

《特殊平行邊形》全章習與鞏固（礎）知識解【習標1.掌平行四邊形、矩形、菱形、正方形的概,了它們之間的關.2.探并掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的有關性質(zhì)和常用判別方法并能用這些知識進行有關的證明和計算.【識絡【點理要一平四形．定：組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊.．性）邊平行且相等；（2）對角相等；鄰角互補；（3）對角線互相平分；（4）中心對稱圖.．面：

S平行四邊形．判：）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（2）兩組對邊分別相等的四邊是平行四邊形；（3）一組對邊平行且相等的四形是平行四邊形．角）兩組對角分別相等的四形是平行四邊形；（5）任意兩組鄰角分別互補的邊形是平行四邊形．邊與角）一組對邊平行，一對角相等的四邊形是平行四邊形；對角線）對角線互相平分的邊形是平行四邊.要詮：行線的性質(zhì)：（1）平行線間的距離都相等；（2）等底等高的平行四邊形面相.要二菱定：一組鄰邊相等的平行四邊形叫菱.．性）有平行四邊形的一切性質(zhì)

S正方形S正方形（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂，并且每一條對角線平分一組對角；（4中心對稱圖形，軸對稱圖.．面：S

＝底高＝菱形

對角線對角線2．判一組鄰邊相等的平行四邊形菱形；（2）對角線互相垂直的平行四形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱.要三矩．定：一是直角的平行四邊形叫做矩.．性具有平行四邊形的所有性質(zhì)（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4中心對稱圖形，軸對稱圖.．面：

S

＝長寬矩形４判有一個角是直角的平行四邊是矩.（2）對角線相等的平行四邊形矩.（3有三個角是直角的四邊形矩.要詮：矩直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線于斜邊的一半；（2）直角三角形中30度角對的角等斜的半要四正形定：條相等，四個角都是直角的邊形叫做正方.．性對邊平行；（2四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相，對角線平分對角；（5)兩條線把正方形分成個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖.．面：邊×邊＝

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×角對角線．判有一個角是直角的菱形是正形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正形；（3）對角線相等的菱形是正方；（4）對角線互相垂直的矩形是方形；（5）對角線互相垂直平分且相的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都直角的四邊形是正方.【型題類一平四形1、如圖，在ABC中∠ACB=90°＞，為邊AB的點DE交于E，CF∥AB的延長線于點F．

（1求證；（2連結(jié)CD過點DDC的線交延長線于點，證：∠B=∠∠．【路撥證明四邊形DBCF為平行四邊形得DF=BC證明DE=

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BC，進而得到

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CB，即可證出DE=EF；（）先畫出圖形，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ADG=∠G，證明∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，然后再推出∠1=DCB=∠B，再由∠A+∠ADG=∠可得∠A+∠G=∠B．【案解】證明：（）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四邊形DBCF為平行四邊形，∴DF=BC，∵為邊AB的中點，DE∥BC，∴DE=

111BC，∴EF=DF-DE=BC-CB=CB，222∴DE=EF；（）∵DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠°D為邊AB的中點∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠°∵∠DCB+∠DCA=90°∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠．【結(jié)華此題主考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)及角三角形的性質(zhì)鍵找出∠ADG=G∠1=∠B．掌握在直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半．類二菱

2eq\o\ac(△,)ABCBAC=90D是的中點是的中點點A作AF交BE的長線于點F．（1求證eq\o\ac(△,)AEFDEB；（2證明四邊形是形；（3若，菱ADCF的積．【案解】（1證明AFBCAFE=，E是的點AD是BC邊的中線AE=DE，BD=CDeq\o\ac(△,)AFEDBE中，，AFEDBE（（2證明：由（1知eq\o\ac(△,)AFEDBE則AF=DB，．BC，四形ADCF是行四邊形，，，D是中點E是AD的中點，AD=DC=BC四形ADCF是形；（3解：設菱形邊上的高為，eq\o\ac(△,)ABC斜BC邊的高也為，BC=BC=h==

=，，

，菱形ADCF的面積為DCh=

×

=10．【結(jié)華運用菱形的性質(zhì)可以證明線段相等相等線的平行及垂直等問題，關鍵是要記住它們的判定和性.

舉反：【變式】用兩張等寬的紙帶交叉重疊地放在一起，重合的四邊形ABCD是形嗎？如果是菱形請給出證明，如果不是菱形請說明理由．【案四邊形ABCD是菱；證明：由AD∥BC，AB∥CD得四形是平行四邊,過A，C兩點分別作AE⊥BC于E⊥AB于．∴∠CFB＝∠AEB．∵AE＝CF紙帶的寬度相等）∠ABE＝∴Rt△ABE△CBF,∴AB＝BC,∴四邊形ABCD是菱.類三矩3、已知：如圖D是△ABC的邊AB上一點，CN∥AB，DN交于點M，MA＝MC．①求證：CD；②若∠AMD∠MCD求證：四邊形是矩形．【路撥①根據(jù)直線平行內(nèi)角相等求出∠DAC＝∠NCA后用“角邊角證明△AMD和△全，根據(jù)全等角形對應邊相等可得AD＝CN然后判定四邊形ADCN是行四邊形再根據(jù)平行四邊形的邊相等即可得證根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和推出∠MCD＝∠MDC再根據(jù)等角對等邊可得MD＝MC，然后證明，再根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形即可得證．【案解】證明：①∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA，在△和CMN中，NCA∵

，

AMDCMN∴eq\o\ac(△,≌)AMD△CMN（ASA）∴AD＝CN又∵AD∥CN，

∴四邊形ADCN是平四邊形，∴CD＝AN②∵∠AMD∠MCD，∠AMD＝∠MCD∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由①知四邊形ADCN是平行四邊，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN∴四邊形ADCN是矩．【結(jié)華要判定個四邊形是矩形常先判定它是平行四邊形根據(jù)平行四形構(gòu)成矩形的條件，判定有一個角是直角或?qū)蔷€相等．4、如圖所示，在矩形ABCD中，，BC＝8．將矩形ABCD沿CE折疊，使點D恰好落在對角線上的點F處，EF的長【路撥要求的長，可以考慮把EF放入eq\o\ac(△,Rt)中由折疊可知＝CF，DE＝EF，易得AC＝，所以＝4AE8EF然后在eq\o\ac(△,Rt)AEF中用股定理求出EF的值．【案解】解：設EF＝，由折疊可得：DE＝EF＝，CF＝CD＝6，又∵在eq\o\ac(△,Rt)中AC6

．∴AF＝AC－CF＝4，AE＝AD＝8．在eq\o\ac(△,Rt)AEF中2AF，即

(8)

2

2

2

，解得：x∴＝3【結(jié)華在矩形折疊問題中往往根據(jù)折疊找出相等的量后把未知邊在合適的直角三角形中，再利用勾股定理進行求解．舉反：【變式一矩形紙矩ABCD如圖方式折疊點和點D重痕為EFAB＝3cm，BC＝cm，重疊部eq\o\ac(△,分)的面積__________cm2

．

eq\o\ac(△,S)DEeq\o\ac(△,S)DE【案5.1.提示：由題意可知BF＝DF，F(xiàn)C＝x，DF＝5－x，在Rt△DFC中，DC

DF

1解得＝＝DE＝3.4=DEAB＝2×3.4×3類四正形5、如圖，一個含45°的角板HBE的條直角邊與正方形ABCD的鄰邊重合，過E點作EF⊥AE交∠的平分線點，試探究線段AE與的數(shù)關系，并說明理由.【路撥AE．根據(jù)正方的性質(zhì)推出AB＝BC，＝∠HAD∠DCE，出∠HAE∠CEF根據(jù)△HEB是∠為直角的等腰直角三角形，得到BH＝BE，＝45°HA＝CE，根據(jù)CF平分DCE推∠H＝∠FCE，根據(jù)ASA△HAEeq\o\ac(△,≌)CEF即可得到答案．【案解】探究：＝EF證明：∵△BHE為腰角三角,∴∠H＝＝45°，BH＝BE.又∵CF平∠，邊形為正方形，∴∠FCE＝

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∠DCE＝45°，∴∠H＝∠FCE.由正方形ABCD知∠＝90°，∠HAE＋∠DAE＝90°∠AEB,而AE⊥EF，∴＝90°＋∠AEB，∴∠HAE＝∠FEC.由正方形ABCD知AB＝BC，∴BH－AB＝BE，∴HA＝CE,∴eq\o\ac(△,≌)△ECF（ASA）,∴AE＝EF.【結(jié)華充分利用正方形的性質(zhì)和題目中的已知條件過明全等三角來證明線段相等.

舉反：【變式圖正方形ABCDF為CD上一點與于點E∠CBF=20則AED等．【案65°類五綜應6、如圖所示E、G、H分是四邊形各邊中點，連接EF、GH、HE，則四邊形EFGH為_______形(1)當四邊形滿________條時，四邊形EFGH是菱．(2)當四邊形滿________條時，四邊形EFGH是矩．(3)當四邊形滿________條時，四邊形EFGH是正形．在橫線上填上合適的條件，并說明你所填條件的合理性．【路撥題以平行四邊形為前提對線的特殊條件來判定特殊平行四邊形，加上鄰邊相等為菱形，加上對角線互相垂直為矩形，綜合得到正方形．【案解】邊形EFGH為平行四邊形；解：＝BD，理由：如圖①，四邊形ABCD的角線AC，此時四邊形EFGH為平四邊形且＝

1BD，HG＝，EH＝GH，2故四邊形為形．(2)AC⊥BD，理由：如圖②，四邊形ABCD的角線互相垂直，此時四邊形EFGH為平四邊形易得