2021-2022學年廣東省河源市龍窩中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析

2021-2022學年廣東省河源市龍窩中學高三數(shù)學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若，則等于(

)（A） （B）

（C） （D）參考答案：A略2.若非零向量的夾角為，且，則的夾角為

（

）

A．0

B．

C．

D．參考答案：D3.給出下列4個命題：

①若sin2A=sin2B，則△ABC是等腰三角形；

②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；

③若cosAcosBcosC<0，則△ABC是鈍角三角形；

④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)=1，則△ABC是等邊三角形.

其中正確的命題是

（

）

A.

①③

B.③④

C.①④

D.②③參考答案：答案:B4.設(shè)是三個不重合的平面，是不重合的直線，下列判斷正確的是（

）

（Ａ）若則

（Ｂ）若則

（Ｃ）若則

（Ｄ）若則參考答案：B略5.設(shè)l，m，表示三條直線，表示兩個平面，給出下列四個命題： ①若∥，則； ②若，是在內(nèi)的射影，，則； ③若，則∥； ④若，∥，，則.其中真命題為 （

） （A）①②④ （B）①②③ （C）①③ （D）①②③④參考答案：A略6.觀察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量之間關(guān)系最強的是A．

B．C．

D．參考答案：D在頻率等高條形圖中，與相差很大時，我們認為兩個分類變量有關(guān)系，四個選項中，即等高的條形圖中所占比例相差越大，則分類變量關(guān)系越強，故選D．7.已知=2，則的值為（

）A．

B．7

C．－

D．－7參考答案：A略8.設(shè)，則函數(shù)的定義域為

(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B9.若cosα=﹣，sin2α＞0，則tanα的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【專題】計算題；函數(shù)思想；做商法；三角函數(shù)的求值．【分析】求出正弦函數(shù)值，然后求解即可．【解答】解：sin2α=2sinαcosα＞0，cosα=﹣，∴sinα=，∴tanα==．故選：D．【點評】本題考查二倍角的正弦函數(shù)以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的應用，考查計算能力．10.函數(shù)f(x)＝x2019＋a－1－3sinx是R上的奇函數(shù)，則f(x)的零點的個數(shù)為A.4

B.3

C.2

D.1參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線y=sinx+ex在點(0,1)處的切線方程是

參考答案：的導數(shù)為，在點（0,1）處的切線斜率為，即有在點（0,1）處的切線方程為.故答案為：.

12.（4分）設(shè)a為大于1的常數(shù)，函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f2（x）﹣bf（x）=0恰有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)b的取值范圍是．參考答案：0＜b≤1考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷．專題：計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：由題意化簡f2（x）﹣bf（x）=0為f（x）=0或f（x）=b；作函數(shù)f（x）=的圖象，利用數(shù)形結(jié)合求解．解答： 解：f2（x）﹣bf（x）=0可化為f（x）=0或f（x）=b；作函數(shù)f（x）=的圖象如下，當f（x）=0可得x=1，故f（x）=b要有兩個不同于1的實數(shù)解，故由圖象可得，0＜b≤1；故答案為：0＜b≤1．點評： 本題考查了方程的根與函數(shù)的圖象的關(guān)系，同時考查了學生的作圖能力，屬于中檔題．13.已知，照此規(guī)律，第五個等式為

。參考答案：略14.圓心為（a，2），過拋物線y2=4x的焦點，且與其準線相切的圓的方程是_________．參考答案：15.已知實數(shù)x，y滿足，則點P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為，2x+y的最大值為，其對應的最優(yōu)解為

．參考答案：8，11，（6，﹣1）．【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】先畫出滿足條件的平面區(qū)域，從而求出三角形的面積，令z=2x+y，變形為y=﹣2x+z，顯然直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，進而求出最大值和最優(yōu)解．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，∴點P（x，y）構(gòu)成的區(qū)域的面積為：S△ABC=×8×2=8，令z=2x+y，則y=﹣2x+z，當直線y=﹣2x+z過B（6，﹣1）時，z最大，Z最大值=2×6﹣1=11，∴其對應的最優(yōu)解為（6，﹣1），故答案為：8，11，（6，﹣1）．16.求值：=．參考答案：1【考點】兩角和與差的正切函數(shù)．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由條件利用兩角和的正切公式求得要求式子的值．【解答】解：===1，故答案為：1．【點評】本題主要考查兩角和的正切公式的應用，屬于基礎(chǔ)題．17.在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩數(shù)m，n（m≠n），則橢圓的離心率大于的概率是

．參考答案：【考點】幾何概型；橢圓的簡單性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】由已知中在區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個實數(shù)，我們易求出該基本事件對應的平面區(qū)域的大小，再求了滿足條件橢圓的離心率大于對應的平面區(qū)域的面積大小，代入幾何概型公式，即可得到答案．【解答】解：區(qū)間（0，2）內(nèi)任取兩個實數(shù)計為（m，n），則點對應的平面區(qū)域為下圖所示的正方形，當m＞n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，m＞2n；當M＜n時，橢圓的離心率e=＞，化簡得，n＞2m；故其中滿足橢圓的離心率大于時，有m＞2n或n＞2m．它表示的平面區(qū)域如下圖中陰影部分所示：其中正方形面積S=4，陰影部分面積S陰影=2××2×1=2．∴所求的概率P==故答案為：．【點評】本題考查的知識點是幾何概型，其中計算出總的基本事件對應的幾何圖形的面積及滿足條件的幾何圖形的面積是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題13分）已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖像過原點．（I）當時，求函數(shù)的圖像在處的切線方程；（II）若存在，使得，求的最大值；（III）當時，求函數(shù)的零點個數(shù).參考答案：,由得

,.（I）當時，，，，所以函數(shù)的圖像在處的切線方程為即（II）存在,使得，

，，當且僅當即時，等號成立

∴的最大值為.

（III）當時，的變化情況如下表：極大值極小值的極大值，的極小值又，.所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個零點，故函數(shù)共有三個零點.

19.如圖，C、D是離心率為的橢圓的左、右頂點，F(xiàn)1、F2是該橢圓的左、右焦點，A、B是直線x=－4上兩個動點，連接AD和BD，它們分別與橢圓交于點E、F兩點，且線段EF恰好過橢圓的左焦點F1.當時，點E恰為線段AD的中點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求證：以AB為直徑的圓始終與直線EF相切．參考答案：（1）∵當時，點E恰為線段AD的中點，∴，又，聯(lián)立解得：，，，……………（3分）∴橢圓的方程為.………………（4分）（2）設(shè)EF的方程為：，E（）、F（），聯(lián)立得：∴，∴……（*）

………………（6分）又設(shè)，由A、E、D三點共線得，同理可得.……………（8分）∴∴.

………………（10分）設(shè)AB中點為M，則M坐標為（）即（），∴點M到直線EF的距離.故以AB為直徑的圓始終與直線EF相切.

………………（12分）20.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)面是正三角形，且平面平面，為棱的中點

（1）求證：平面；

（2）求二面角的大??；

（3）求點到平面的距離.

參考答案：解析：（1）是正三角形，是中點，平面平面，平面

（2）以O(shè)為原點，以PO為Z軸，如右圖建系，

點，，，,

，設(shè)平面的法向量為

又平面，平面的法向量為

二面角的大小為

（3）

點C到平面PBD的距離為21.三棱柱的底面是等邊三角形，的中點為，底面，與底面所成的角為，點在棱上，且.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.參考答案：(1)詳見解析；（2）.又又，平面，又平面，，又，平面.（6分）設(shè)平面的法向量，由得令則則，易知所求的二面角為鈍二面角，二面角的平面角的余弦角值是

（12分）考點：1.線面垂直的判定定理；2.空間向量的應用.22.已知△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對三邊分別為a，b，c，且sin（A﹣）=．（1）求tanA的值；（2）若△ABC的面積S=24，b=10，求a的值．參考答案：【考點】解三角形．【專題】綜合題；解三角形．【分析】（1）利用差角的正弦公式，即可求tanA的值；