2022-2023學年杭州市重點中學數學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數有三個不同的零點（其中），則的值為()A． B． C． D．12．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是()A． B．C． D．3．如果函數的圖象如下圖，那么導函數的圖象可能是（）A． B． C． D．4．從5名男公務員和4名女公務員中選出3人，分別派到西部的三個不同地區(qū)，要求3人中既有男公務員又有女公務員，則不同的選派議程種數是（）A．70 B．140 C．420 D．8405．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱,且，則直線與直線夾角的余弦值為（）A． B． C． D．6．轉化為弧度數為（）A． B． C． D．7．針對時下的“抖音熱”，某校團委對“學生性別和喜歡抖音是否有關”作了一次調查，其中被調查的女生人數是男生人數的12，男生喜歡抖音的人數占男生人數的16，女生喜歡抖音的人數占女生人數23，若有99%參考公式：KP0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828A．12人 B．18人 C．24人 D．30人8．在一組樣本數據為，，，（，，，，，不全相等）的散點圖中，若所有樣本點都在直線上，則這組樣本數據的相關系數為（）A． B． C．1 D．-19．已知是定義在上的奇函數，對任意，，都有，且對于任意的，都有恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設向量與，且，則（）A． B． C． D．11．現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為（）A．15 B．14 C．13 D．1212．若三角形的兩內角α，β滿足sinαcosβ＜0，則此三角形必為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．以上三種情況都可能二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．數列的前n項和記為，則__________.14．已知復數的共軛復數是，且，則的虛部是__________．15．在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸建立極坐標系，若曲線的極坐標方程為，則曲線的直角坐標方程為___.16．設函數可導，若，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著社會的進步與發(fā)展，中國的網民數量急劇增加.下表是中國從年網民人數及互聯網普及率、手機網民人數（單位：億）及手機網民普及率的相關數據.年份網民人數互聯網普及率手機網民人數手機網民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互聯網普及率（網民人數/人口總數）×100%；手機網民普及率（手機網民人數/人口總數）×100%）（Ⅰ）從這十年中隨機選取一年，求該年手機網民人數占網民總人數比值超過80%的概率；（Ⅱ）分別從網民人數超過6億的年份中任選兩年，記為手機網民普及率超過50%的年數，求的分布列及數學期望；（Ⅲ）若記年中國網民人數的方差為，手機網民人數的方差為，試判斷與的大小關系.（只需寫出結論）18．（12分）已知函數,.（Ⅰ）若是函數的一個極值點，求實數的值及在內的最小值；（Ⅱ）當時，求證：函數存在唯一的極小值點，且.19．（12分）已知，且滿足.（1）求；（2）若，，求的取值范圍.20．（12分）設集合，其中.（1）寫出集合中的所有元素；（2）設，證明“”的充要條件是“”（3）設集合，設，使得，且，試判斷“”是“”的什么條件并說明理由.21．（12分）已知函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）設函數，當時，，求的取值范圍.22．（10分）設為關于的方程的虛根，虛數單位．（1）當時，求、的值；（2）若，在復平面上，設復數所對應的點為，復數所對應的點為，試求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

令y=，從而求導y′=以確定函數的單調性及取值范圍，再令=t，從而化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，從而可得a＜﹣3或a＞1，討論求解即可．【詳解】令y=，則y′=，故當x∈（0，e）時，y′＞0，y=是增函數，當x∈（e，+∞）時，y′＞0，y=是減函數；且=﹣∞，=，=0；令=t，則可化為t2+（a﹣1）t+1﹣a=0，故結合題意可知，t2+（a﹣1）t+1﹣a=0有兩個不同的根，故△=（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＞0，故a＜﹣3或a＞1，不妨設方程的兩個根分別為t1，t2，①若a＜﹣3，t1+t2=1﹣a＞4，與t1≤且t2≤相矛盾，故不成立；②若a＞1，則方程的兩個根t1，t2一正一負；不妨設t1＜0＜t2，結合y=的性質可得，=t1，=t2，=t2，故（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣t1）2（1﹣t2）（1﹣t2）=（1﹣（t1+t2）+t1t2）2又∵t1t2=1﹣a，t1+t2=1﹣a，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1；故選：D．【點睛】本題考查了導數的綜合應用及轉化思想的應用，考查了函數的零點個數問題，考查了分類討論思想的應用．2、C【解析】

根據導函數圖象，確定出函數的單調區(qū)間和極值，從而可得結論.【詳解】根據的圖象可知，當或時，，所以函數在區(qū)間和上單調遞增；當時，，所以函數在區(qū)間上單調遞減，由此可知函數在和處取得極值，并且在處取得極大值，在處取得極小值，所以的圖象最有可能的是C.故選：C.【點睛】本題考查導數與函數單調性、極值的關系，考查數形結合思想和分析能力.解決此類問題，要根據導函數的圖象確定原函數的單調區(qū)間和極值，一定要注意極值點兩側導數的符號相反.3、A【解析】試題分析：的單調變化情況為先增后減、再增再減因此的符號變化情況為大于零、小于零、大于零、小于零，四個選項只有A符合，故選A.考點：1、函數的單調性與導數的關系；2、函數圖象的應用.【方法點晴】本題通過對多個圖象的選擇考查函數的解析式、定義域、值域、單調性，導數的應用以及數學化歸思想，屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據函數的定義域、值域、單調性、奇偶性、特殊點以及時函數圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意選項一一排除.4、C【解析】

試題分析：先分組：“個男個女”或“個女個男”，第一種方法數有，第二種方法數有.然后派到西部不同的地區(qū)，方法數有種.考點：排列組合.5、A【解析】

設CA＝2，則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，B1(0,2,1)，可得＝(－2,2,1)，＝(0,2，－1)，由向量的夾角公式得cos〈，〉＝6、D【解析】已知180°對應弧度，則轉化為弧度數為.本題選擇D選項.7、B【解析】

設男生人數為x，女生人數為x2，完善列聯表，計算K2【詳解】設男生人數為x，女生人數為x喜歡抖音不喜歡抖音總計男生1656x女生1316x總計xx32K男女人數為整數故答案選B【點睛】本題考查了獨立性檢驗，意在考查學生的計算能力和應用能力.8、D【解析】

根據回歸直線方程可得相關系數．【詳解】根據回歸直線方程是yx+2，可得這兩個變量是負相關，故這組樣本數據的樣本相關系數為負值，且所有樣本點（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關系數r＝﹣1．故選D．【點睛】本題考查了由回歸直線方程求相關系數，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數的含義是解題的關鍵．9、B【解析】

由可判斷函數為減函數，將變形為，再將函數轉化成恒成立問題即可【詳解】，又是定義在上的奇函數，為R上減函數，故可變形為，即，根據函數在R上為減函數可得，整理后得，在為減函數，為增函數，所以在為增函數，為減函數在恒成立，即，當時，有最小值所以答案選B【點睛】奇偶性與增減性結合考查函數性質的題型重在根據性質轉化函數，學會去“”；本題還涉及恒成立問題，一般通過分離參數，處理函數在某一區(qū)間恒成立問題10、B【解析】

利用列方程，解方程求得的值，進而求得的值.【詳解】由于，所以，即，而，故，故選B.【點睛】本小題主要考查向量數量積的坐標運算，考查二倍角公式，考查特殊角的三角函數值，屬于基礎題.11、A【解析】分析：直接利用組合數求解即可．詳解：現有黨員6名，從中任選2名參加黨員活動，則不同選法的種數為故選A點睛：本題考查組合的應用，屬基礎題..12、B【解析】

由于為三角形內角，故，所以，即為鈍角，三角形為鈍角三角形，故選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】試題分析：由可得：，所以,則數列是等比數列，首項為3，公比為3，所以?？键c：數列求通項公式。14、【解析】

設復數，代入等式得到答案.【詳解】設復數故答案為【點睛】本題考查了復數的化簡，共軛復數，復數的模，意在考查學生的計算能力和對復數知識的靈活運用.15、【解析】

轉化為，由于，即可得解.【詳解】又由于即故答案為：【點睛】本題考查了極坐標和直角坐標的互化，考查了學生概念理解，轉化劃歸的能力，屬于基礎題.16、3【解析】

根據導數的定義求解.【詳解】因為，所以，即，故.【點睛】本題考查導數的定義.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由表格得出手機網民人數占網民總人數比值超過的年份，由概率公式計算即可；（Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出對應的概率，列出分布列，計算數學期望即可；（Ⅲ）觀察兩組數據，可以發(fā)現網民人數集中在之間的人數多于手機網民人數，則網民人數比較集中，而手機網民人數較為分散，由此可得出.【詳解】解：（Ⅰ）設事件：“從這十年中隨機選取一年，該年手機網民人數占網民總人數比值超過”.由題意可知：該年手機網民人數占網民總人數比值超過80%的年份為，共6個則.（Ⅱ）網民人數超過6億的年份有共六年，其中手機網民普及率超過的年份有這年.所以的取值為.所以，，.隨機變量的分布列為.（Ⅲ）.【點睛】本題主要考查了計算古典概型的概率，離散型隨機變量的分布列，數學期望等，屬于中檔題.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析【解析】

（Ⅰ）由已知條件的導函數，以及，從而求出實數的值，利用導數求出函數在內的單調性，從而得到在內的最小值（Ⅱ）由題可得,令，要證函數存在唯一的極小值點，即證只有唯一根，利用導數求出的單調區(qū)間與值域即可，且由零點定理可知，由，可得，代入中，利用導數求出在內的最值即可證明。【詳解】（Ⅰ）由題可得：，則，是函數的一個極值點，，即，解得：，經檢驗，當時，是函數的一個極值點；；當時，，令，解得：或，當時，、的變化如下表：所以當時，有最小值，（Ⅱ）當時，，令，，則，由于恒成立，所以恒大于零，則在上單調遞增，由于，，根據零點定理，可得存在唯一的，使得，令，解得：，，當或時，，即的單調增區(qū)間為，，當時，，即的單調減區(qū)間為，函數存在唯一的極小值點，且，，則；，則，令，解得：或，當時，，則在上單調遞減，則，，所以【點睛】本題考查導數在函數最值以及極值中的運用，考查學生轉化的思想，綜合性較強，有一定難度。19、（1）；（2）.【解析】

分析：（1）利用復數模的定義、互為共軛復數的意義及復數相等的定義即可解出；

（2）利用復數模的計算公式即可證明．詳解：（1）設，則由得利用復數相等的定義可得，解得或．或．（2）當時，當時，|綜上可得：.點睛：熟練掌握復數模的定義、互為共軛復數的意義及復數相等的定義是解題的關鍵．20、（1），，，；（2）證明見解析；（3）充要條件.【解析】

（1）根據題意，直接列出即可（2）利用的和的符號和最高次的相同，利用排除法可以證明。（3）利用（2）的結論完成（3）即可?！驹斀狻浚?）中的元素有，，，。（2）充分性：當時，顯然成立。必要性：若=1，則若=，則若的值有個1，和個。不妨設2的次數最高次為次，其系數為1，則，說明只要最高次的系數是正的，整個式子就是正的，同理，只要最高次的系數是負的，整個式子就是負的，說明最高次的系數只能是0，就是說，即綜上“”的充要條件是“”（3）等價于等價于由（2）得“=”的充要條件是“”即“=”是“”的充要條件【點睛】本題考查了數列遞推關系等差數列與等比數列的通項公式求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．21、（1）（2）【解析】

（1）將代入不等式，討論范圍去絕對值符號解得不等式.（2）利用絕對值三角不等式得到答案.【詳解】(1)當時，綜上(2)恒成立恒成立解不等式可得【點睛