2022-2023學(xué)年江蘇省南京市玄武區(qū)溧水中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測(cè)模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列選項(xiàng)敘述錯(cuò)誤的是（）A．命題“若，則”的逆否命題是“若，則”B．若命題，則C．若為真命題，則，均為真命題D．若命題為真命題，則的取值范圍為2．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．3．對(duì)于橢圓，若點(diǎn)滿足，則稱該點(diǎn)在橢圓內(nèi)，在平面直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)A在過(guò)點(diǎn)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則滿足條件的點(diǎn)A構(gòu)成的圖形為（）A．三角形及其內(nèi)部 B．矩形及其內(nèi)部 C．圓及其內(nèi)部 D．橢圓及其內(nèi)部4．設(shè)a∈R，則“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要條件 D．既不充分也不必要5．下列命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①，；②若“”是假命題，則都是假命題；③若“，”的否定是“，”A．0 B．1 C．2 D．36．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的解析式可能為A． B． C． D．7．是虛數(shù)單位，則的虛部是（）A．-2 B．-1 C． D．8．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．19．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集為（）A． B． C． D．10．已知展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為1120，實(shí)數(shù)是常數(shù)，則展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和是A． B． C． D．11．設(shè)，，若，則的最小值為A． B．8 C．9 D．1012．（2018年天津市河西區(qū)高三三模）已知雙曲線：的虛軸長(zhǎng)為，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為15，則a=________.(用數(shù)字填寫(xiě)答案)14．已知高為H的正三棱錐P-ABC的每個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為R的球O的球面上，若二面角P-AB-C的正切值為4，則HR=15．已知兩直線的方向向量分別為，，若兩直線平行，則________．16．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，且，E為PD中點(diǎn).（I）求證：平面ABCD；（II）求二面角B-AE-C的正弦值.18．（12分）羽毛球比賽中采用每球得分制，即每回合中勝方得1分，負(fù)方得0分，每回合由上回合的勝方發(fā)球．設(shè)在甲、乙的比賽中，每回合發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各回合發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立．若在一局比賽中，甲先發(fā)球．（1）求比賽進(jìn)行3個(gè)回合后，甲與乙的比分為的概率；（2）表示3個(gè)回合后乙的得分，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．19．（12分）如圖，在三棱錐中，底面，且，，，、分別是、的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求二面角的平面角的大小.20．（12分）橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，與軸正半軸交于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2.（1）求橢圓的方程；（2）直線：與橢圓交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，射線與橢圓交于點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，求證：的面積為定值.21．（12分）求證：.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，又底面，，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】分析：根據(jù)四種命題的關(guān)系進(jìn)行判斷A、B，根據(jù)或命題的真值表進(jìn)行判斷C，由全稱命題為真的條件求D中參數(shù)的值．詳解：命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，A正確；若命題，則，B正確；若為真命題，則，只要有一個(gè)為真，C錯(cuò)誤；若命題為真命題，則，，D正確．故選C．點(diǎn)睛：判斷命題真假只能對(duì)每一個(gè)命題進(jìn)行判斷，直到選出需要的結(jié)論為止．命題考查四種命題的關(guān)系，考查含邏輯連接詞的命題的真假以及全稱命題為真時(shí)求參數(shù)的取值范圍，掌握相應(yīng)的概念是解題基礎(chǔ)．2、C【解析】

先根據(jù)條件求出，再由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式，即可得答案.【詳解】由已知可得：，所以，則展開(kāi)式的中間項(xiàng)為，即展開(kāi)式的中間項(xiàng)的系數(shù)為1120.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式定理及展開(kāi)式通項(xiàng)公式，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力．3、B【解析】

由在橢圓上，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，則關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)都在橢圓上，即可得結(jié)論．【詳解】設(shè)在過(guò)的任意橢圓內(nèi)或橢圓上，則，，即，由橢圓對(duì)稱性知，都在任意橢圓上，∴滿足條件的點(diǎn)在矩形上及其內(nèi)部，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)到橢圓的位置關(guān)系．考查橢圓的對(duì)稱性．由點(diǎn)在橢圓上，則也在橢圓上，這樣過(guò)點(diǎn)的所有橢圓的公共部分就是矩形及其內(nèi)部．4、C【解析】

先由兩直線平行解得a的值，再通過(guò)檢驗(yàn)是否重合可得a=3，從而得兩命題的關(guān)系.【詳解】若直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行，可得：aa-1=2×3，解得當(dāng)a=3時(shí)，兩直線分別為：3x+2y+9=0和3x+2y+4=0，滿足平行；當(dāng)a=-2時(shí)，兩直線分別為：x-y+3=0和x-y+3=0，兩直線重合；所以“a=3”是“直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a-1)y=a-7平行”的充要條件.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩直線平行求參數(shù)值的問(wèn)題。已知兩直線的一般方程判定兩直線平行的一般方法為：已知l1:A1x+5、B【解析】若，，故命題①假；若“”是假命題，則至多有一個(gè)是真命題，故命題②是假命題；依據(jù)全稱命題與特征命題的否定關(guān)系可得命題“”的否定是“”，即命題③是真命題，應(yīng)選答案B．6、C【解析】

依次對(duì)選項(xiàng)求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案?！驹斀狻繉?duì)于A，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故A不滿足題意；對(duì)于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱，故B不滿足題意；對(duì)于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對(duì)稱，故C滿足題意，正確；對(duì)于D，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對(duì)稱，故D不滿足題意；故答案選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。7、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式后可得其虛部．【詳解】由題意得，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的基本概念，解答本題時(shí)容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為復(fù)數(shù)的虛部為，對(duì)此要強(qiáng)化對(duì)基本概念的理解和掌握，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解析】由條件中所給的隨機(jī)變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．9、B【解析】令,,所以函數(shù)是減函數(shù)，又，所以不等式的解集為本題選擇B選項(xiàng).10、C【解析】分析：由展開(kāi)式通項(xiàng)公式根據(jù)常數(shù)項(xiàng)求得，再令可得各項(xiàng)系數(shù)和．詳解：展開(kāi)式通項(xiàng)為，令，則，∴，，所以展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為或．故選C．點(diǎn)睛：賦值法在求二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)和方面有重要的作用，設(shè)展開(kāi)式為，如求所有項(xiàng)的系數(shù)和可令變量，即系數(shù)為，而奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)為，還可以通過(guò)賦值法證明一些組合恒等式．11、C【解析】

根據(jù)題意可知，利用“1”的代換，將化為，展開(kāi)再利用基本不等式，即可求解出答案。【詳解】由題意知，，，且，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，的最小值為9，故答案選C?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了利用基本不等式的性質(zhì)求最值的問(wèn)題，若不滿足基本不等式條件，則需要?jiǎng)?chuàng)造條件對(duì)式子進(jìn)行恒等變形，如構(gòu)造“1”的代換等。12、A【解析】分析：由虛軸長(zhǎng)為可得，由到漸近線的距離為可解得，從而可得結(jié)果.詳解：由虛軸長(zhǎng)為可得，右頂點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線距離為，，解得，則雙曲線的方程為，故選A.點(diǎn)睛：用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟；①作判斷：根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，還是在軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；②設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方程或；③找關(guān)系：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，即為所求.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】因?yàn)?，所以令，解得，所?15，解得.考點(diǎn)：本小題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，求特定項(xiàng)的系數(shù)，題目難度不大，屬于中低檔.14、8【解析】

取線段AB的中點(diǎn)D，點(diǎn)P在平面ABC的射影點(diǎn)M，利用二面角的定義得出∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，于此得出PMDM=4，并在RtΔOMC中，由勾股定理OM2+C【詳解】取線段AB的中點(diǎn)D，設(shè)P在底面ABC的射影為M，則H=PM，連接CD，PD（圖略）.設(shè)PM=4k，易證PD⊥AB，CD⊥AB，則∠PDC為二面角P-AB-C的平面角，從而tan∠PDC=PMDM=4k在RtΔOMC中，OM2+CM2=OC故答案為：85【點(diǎn)睛】本題考查二面角的定義，考查多面體的外接球，在處理多面體的外接球時(shí)，要確定球心的位置，同時(shí)在求解時(shí)可引入一些參數(shù)去表示相關(guān)邊長(zhǎng)，可簡(jiǎn)化計(jì)算，考查邏輯推理能力，屬于中等題。15、【解析】

根據(jù)題意可得出，從而得出m1﹣4＝0，解出m即可．【詳解】∵；∴m1﹣4＝0；∴m＝±1．故答案為±1．【點(diǎn)睛】考查直線的方向向量的概念，以及平行向量的坐標(biāo)關(guān)系．16、【解析】

先計(jì)算，歸納猜想【詳解】由，，，可得，，歸納猜想：故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納猜想，意在考查學(xué)生的歸納猜想能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（I）見(jiàn)解析（II）【解析】

（I）根據(jù)題目所給條件，利用直線與平面垂直的判定方法分別證明出平面PAB以及平面，進(jìn)而得到和，從而推得線面垂直．（II）根據(jù)已知條件，以A為原點(diǎn)，AB為軸，AD為軸，AP為軸建立直角坐標(biāo)系，分別求出平面ABE和平面AEC的法向量，最后利用向量法求出二面角B-AE-C的正弦值．【詳解】解：（I）證明：∵底面ABCD為正方形，∴，又，，∴平面PAB，∴．同理，∴平面ABCD（II）建立如圖的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，則，，，，易知設(shè)為平面ABE的一個(gè)法向量，又，，∴令，，得.設(shè)為平面AEC的一個(gè)法向量，又∴令，得.∴二面角B-AE-C的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了通過(guò)證明直線與平面垂直來(lái)推出直線與直線垂直，以及利用向量法求二面角的問(wèn)題，解題時(shí)要注意根據(jù)圖形特征或者已知要求確定二面角是銳角或鈍角，從而得出問(wèn)題的結(jié)果．18、（1）0.1（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立，設(shè)“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，由互斥事件概率加法公式和相互獨(dú)立事件乘法公式求出比賽進(jìn)行2個(gè)回合后，甲與乙的比分為2比1的概率；（2）的可能取值為0，1，2，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：記“第回合發(fā)球，甲勝”為事件，=1，2，2，且事件相互獨(dú)立．（1）記“2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1”為事件，則事件發(fā)生表示事件或或發(fā)生，且，，互斥．又，，．由互斥事件概率加法公式可得．答：2個(gè)回合后，甲與乙比分為2比1的概率為0.1．（2）因表示2個(gè)回合后乙的得分，則0，1，2，2．，，．．所以，隨機(jī)變量的概率分布列為01220.2160.10.2040.144故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為=．答：的數(shù)學(xué)期望為1.276．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.19、（Ⅰ）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）．【解析】

（Ⅰ）已知SB、AB、BC兩兩互相垂直，故可建立空間直角坐標(biāo)系如下圖．根據(jù)線段長(zhǎng)度可求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可推出，則，所以平面平面BCD．（Ⅱ）求出兩個(gè)平面的法向量，利用法向量夾角與二面角平面角的關(guān)系求出平面角的大?。驹斀狻浚á瘢忠?，所以建立如上圖所示的坐標(biāo)系．所以A（2，0，0），，，D（1，0，1），，S（0，0，2）易得，，，又，又又因，所以平面平面BCD．（Ⅱ）又設(shè)平面BDE的法向量為，則,即所以又因平面SBD的法向量為所以由圖可得二面角為銳角，所以二面角的平面角的大小為．考點(diǎn)：?平面與平面的垂直的證明?二面角大小的求法．20、（1）；（2）【解析】分析：（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)分析可得，又由直線與圓的位置關(guān)系可得的值，進(jìn)而可得的值，將的值代入橢圓的方程即可得結(jié)論；（2）根據(jù)題意，分、兩種情況討論，若直線的斜率不存在，容易求出的面積，若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系，求出的面積消去參數(shù)，綜合兩種情況可得結(jié)論.詳解：（1）由為等腰直角三角形可得，直線：被圓圓所截得的弦長(zhǎng)為2，所以，所以橢圓的方程為.（2）若直線的斜率不存在，則.若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)，即，則，，，由題意點(diǎn)為重心，設(shè)，則，所以，，代入橢圓，得，整理得，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，則的面積.綜上可得的面積為定值.點(diǎn)睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、圓錐曲線的定值問(wèn)題以及點(diǎn)在曲線上問(wèn)題，屬于難題.探索圓