2022-2023學(xué)年江蘇省南京市秦淮區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)是周期為4的偶函數(shù),當(dāng)時(shí)，,則不等式在上的解集是()A． B． C． D．2．全國高中聯(lián)賽設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個(gè)學(xué)科，3名同學(xué)欲報(bào)名參賽，每人必選且只能選擇一個(gè)學(xué)科參加競賽，則不同的報(bào)名種數(shù)是（）A． B． C． D．3．若，是第三象限的角，則（）A． B． C． D．4．命題，，則為（）A．， B．，C．， D．，5．對相關(guān)系數(shù)，下列說法正確的是（）A．越大，線性相關(guān)程度越大B．越小，線性相關(guān)程度越大C．越大，線性相關(guān)程度越小，越接近0，線性相關(guān)程度越大D．且越接近1，線性相關(guān)程度越大，越接近0，線性相關(guān)程度越小6．如圖，線段AB=8，點(diǎn)C在線段AB上，且AC=2，P為線段CB上一動點(diǎn)，點(diǎn)A繞著C旋轉(zhuǎn)后與點(diǎn)B繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)后重合于點(diǎn)D，設(shè)CP=x，△CPD的面積為f（x）．求f（x）的最大值（）．A．B．2C．3 D．7．已知命題對，，成立，則在上為增函數(shù)；命題，，則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．8．用指數(shù)模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)z＝㏑y，變換后得到線性回歸直線方程，則常數(shù)的值為（）A． B． C．0.3 D．49．定積分（）A．1 B．2 C．3 D．410．函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)且f（2）=0，則使f（x）<0的x的取值范圍（）A．（－∞，2） B．（2，+∞）C．（－∞，-2）∪（2，+∞） D．（－2，2）11．設(shè)集合，則（）A． B． C． D．12．一個(gè)盒子里有3個(gè)分別標(biāo)有號碼為1，2，3的小球，每次取出一個(gè)，記下它的標(biāo)號后再放回盒子中，共取3次，則取得小球標(biāo)號最大值是3的取法有（）A．12種 B．15種 C．17種 D．19種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．根據(jù)如圖所示的偽代碼，可知輸出S的值為.14．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長情況,隨機(jī)抽測了其中60株樹木的底部周長(單位:),所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間上,其頻率分布直方圖如圖所示,則在抽測的60株樹木中,有_______株樹木的底部周長大于110.15．已知函數(shù)，則在處的切線方程為_______________.16．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)．(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(Ⅱ)若當(dāng)時(shí)，恒有，試確定的取值范圍；(Ⅲ)當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程f(x)＝0在區(qū)間[1,3]上恒有兩個(gè)相異的實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．18．（12分）已知命題（其中）.（1）若，命題“或”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）某品牌新款夏裝即將上市,為了對新款夏裝進(jìn)行合理定價(jià),在該地區(qū)的三家連鎖店各進(jìn)行了兩天試銷售,得到如下數(shù)據(jù):連鎖店A店B店C店售價(jià)x（元）808682888490銷量y（元）887885758266(1)分別以三家連鎖店的平均售價(jià)與平均銷量為散點(diǎn),如A店對應(yīng)的散點(diǎn)為，求出售價(jià)與銷量的回歸直線方程;(2)在大量投入市場后,銷量與單價(jià)仍然服從(1)中的關(guān)系,且該夏裝成本價(jià)為40元/件,為使該新夏裝在銷售上獲得最大利潤,該款夏裝的單價(jià)應(yīng)定為多少元?(保留整數(shù))附:,.20．（12分）設(shè)，其中，，與無關(guān).（1）若，求的值；（2）試用關(guān)于的代數(shù)式表示：；（3）設(shè)，，試比較與的大小.21．（12分）如圖所示，三棱錐中，平面，，，為上一點(diǎn)，，，分別為，的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求平面與平面所成角的余弦值.22．（10分）已知函數(shù)，，.（1）若，求不等式的解集；（2）若對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】若，則此時(shí)是偶函數(shù)，即若，則∵函數(shù)的周期是4，

即，作出函數(shù)在上圖象如圖，

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)

若，則不等式等價(jià)為，此時(shí)，

綜上不等式在上的解集為故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，利用函數(shù)奇偶性和周期性求出對應(yīng)的解析式，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．2、C【解析】分析：利用分布計(jì)數(shù)乘法原理解答即可.詳解：全國高中聯(lián)賽設(shè)有數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、生物、信息5個(gè)學(xué)科，3名同學(xué)欲報(bào)名參賽，每人必選且只能選擇一個(gè)學(xué)科參加競賽，則每位同學(xué)都可以從5科中任選一科，由乘法原理，可得不同的報(bào)名種數(shù)是故選C.點(diǎn)睛：本題考查分布計(jì)數(shù)乘法原理，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算出的值，然后利用兩角和的正弦公式可計(jì)算出的值.【詳解】是第三象限角，，且，因此，，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的正弦公式計(jì)算三角函數(shù)值，解題時(shí)充分利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

含有一個(gè)量詞命題的否定方法：改變量詞，否定結(jié)論.【詳解】量詞改為：，結(jié)論改為：，則，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查含一個(gè)量詞命題的否定，難度較易.含一個(gè)量詞命題的否定方法：改量詞，否結(jié)論.5、D【解析】

根據(jù)兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)r的基本特征，直接選出正確答案即可．【詳解】用相關(guān)系數(shù)r可以衡量兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱，|r|≤1，r的絕對值越接近于1，表示兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，r的絕對值接近于0時(shí)，表示兩個(gè)變量之間幾乎不存在相關(guān)關(guān)系，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查兩個(gè)變量之間相關(guān)系數(shù)的基本概念應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．6、A【解析】試題分析：利用三角形的構(gòu)成條件，建立不等式，可求x的取值范圍；三角形的周長是一個(gè)定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，再利用基本不等式，即可求f（x）的最大值．解：（1）由題意，DC=2，CP=x，DP=6-x，根據(jù)三角形的構(gòu)成條件可得x+6-x＞2,2+6-x＞x,2+x＞6-x，解得2＜x＜4；三角形的周長是一個(gè)定值8，故其面積可用海倫公式表示出來，即f（x）=當(dāng)且僅當(dāng)4-x=-2+x，即x=3時(shí)，f（x）的最大值為,故選A.考點(diǎn)：函數(shù)類型點(diǎn)評：本題考查根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型，本題中求函數(shù)解析式用到了海倫公式，7、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)分別判斷命題的真假再判斷各選項(xiàng)的真假即可.【詳解】命題當(dāng)時(shí),因?yàn)楣剩划?dāng)時(shí),因?yàn)楣?；故隨的增大而增大.故命題為真.命題,因?yàn)?故命題為假命題.故為真命題.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判定與函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

我們根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：loga（MN）=logaM+logaN，logaNn=nlogaN，即可得出lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，可得z=lnc+kx，對應(yīng)常數(shù)為1=lnc，c=e1.【詳解】∵y=cekx，∴兩邊取對數(shù)，可得lny=ln（cekx）=lnc+lnekx=lnc+kx，令z=lny，可得z=lnc+kx，∵z=0.3x+1，∴l(xiāng)nc=1，∴c=e1．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是線性回歸方程，其中熟練掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是解答此類問題的關(guān)鍵．線性回歸直線過樣本中心點(diǎn)，在一組具有相關(guān)關(guān)系的變量的數(shù)據(jù)間，這樣的直線可以畫出許多條，而其中的一條能最好地反映x與Y之間的關(guān)系，這條直線過樣本中心點(diǎn)．線性回歸方程適用于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，對于具有確定關(guān)系的兩個(gè)變量是不適用的,線性回歸方程得到的預(yù)測值是預(yù)測變量的估計(jì)值，不是準(zhǔn)確值.9、B【解析】

直接利用定積分公式計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì),求出函數(shù)在(－∞，0]上的解集,再根據(jù)對稱性即可得出答案.【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù),所以,又因?yàn)楹瘮?shù)在(－∞，0]是減函數(shù),所以函數(shù)在(－∞，0]上的解集為,由偶函數(shù)的性質(zhì)圖像關(guān)于軸對稱,可得在(0,+∞)上的解集為(0,2),綜上可得,的解集為(-2,2).故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,借助于偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

先求，再求【詳解】,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的并集和補(bǔ)集，屬于簡單題型.12、D【解析】試題分析：分三類：第一類，有一次取到3號球，共有取法；第二類，有兩次取到3號球，共有取法；第三類，三次都取到3號球，共有1種取法；共有19種取法.考點(diǎn)：排列組合，分類分步記數(shù)原理.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】試題分析：這是循環(huán)結(jié)構(gòu)，計(jì)算時(shí)要弄明白循環(huán)條件，什么時(shí)候跳出循環(huán)，循環(huán)結(jié)構(gòu)里是先計(jì)算，第一次計(jì)算時(shí)，循環(huán)結(jié)束前，此時(shí)，循環(huán)結(jié)束，故輸出值為1．考點(diǎn)：程序框圖，循環(huán)結(jié)構(gòu)．14、18【解析】

根據(jù)頻率小矩形的面積小矩形的高組距底部，求出周長大于110的頻率，再根據(jù)頻數(shù)樣本容量頻率求出對應(yīng)的頻數(shù).【詳解】由頻率分布直方圖知：底部周長大于110的頻率為，所以底部周長大于110的頻數(shù)為（株），故答案是：18.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)頻率分布直方圖的應(yīng)用，在解題的過程中，注意小矩形的面積表示的是對應(yīng)范圍內(nèi)的頻率，屬于簡單題目.15、【解析】

求導(dǎo)數(shù)，令，可得，求出，即可求出切線方程。【詳解】；；又；在處的切線方程為，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。16、2；【解析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【詳解】因?yàn)?，方?【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．，（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，并求出函數(shù)的極值點(diǎn)，列表分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，從而可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值和極大值；（Ⅱ）由條件得知，考查函數(shù)的單調(diào)性知，得知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，于是得出，解該不等式組即可；（Ⅲ）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為解出不等式即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（Ⅰ）．令，得x＝a或x＝3a.當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：x(－∞，a)a(a,3a)3a(3a，＋∞)－0＋0－↘極小↗極大↘∴在(－∞，a)和(3a，＋∞)上是減函數(shù)，在(a,3a)上是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得極小值，；當(dāng)時(shí)，取得極大值，；（Ⅱ），其對稱軸為.因?yàn)椋?所以在區(qū)間上是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，取得最大值，；當(dāng)時(shí)，取得最小值，.于是有即.又因?yàn)?，所?（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，.，由，即，解得，即在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．要使在[1,3]上恒有兩個(gè)相異實(shí)根，即在(1,2)，(2,3)上各有一個(gè)實(shí)根，于是有即解得.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式恒成立以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，解題時(shí)注意這些問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，在處理零點(diǎn)問題時(shí)，可充分利用圖象來理解，考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中等題．18、（1）(2)【解析】分析：（1）分別求出的等價(jià)命題，，再求出它們的交集；

（2），因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以，解不等式組可得．詳解：：（1），若，命題“或”為假，則命題“且”為真，取交集，所以實(shí)數(shù)的范圍為；

（2），解得，

若是的充分不必要條件，則，則.點(diǎn)睛：本題考查了不等式的解法、集合運(yùn)算性質(zhì)、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）求出三家連鎖店的平均年售價(jià)和平均銷量，根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)，得出回歸方程（2）設(shè)定價(jià)為，得出利潤關(guān)于的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定出的最值．【詳解】（1）三家連鎖店的平均售價(jià)和銷售量分別為，，．，．，．售價(jià)與銷量的回歸直線方程為．（2）設(shè)定價(jià)為元，則利潤為．當(dāng)時(shí)，取得最大值，即利潤最大．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性回歸方程的求解，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．20、(1);(2);(3).【解析】分析：（1）由，即可求出p；（2）當(dāng)時(shí)，，兩邊同乘以，再等式兩邊對求導(dǎo)，最后令即可；（3）猜測：，利用數(shù)學(xué)歸納法證明.詳解：（1）由題意知，所以.（2）當(dāng)時(shí)，，兩邊同乘以得：，等式兩邊對求導(dǎo)，得：，令得：，即.（3），，猜測：，當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)不等式成立；②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即：，則時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，不等式也成立；根據(jù)①②可知，，均有.點(diǎn)睛：利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式時(shí)應(yīng)注意的問題(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0；(2)由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．21、(1)見解析；（2）見解析.【解析】分析：由PA=AC=AB，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，我們不妨令PA=1，然后以A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標(biāo)系．由此不難得到各點(diǎn)的坐標(biāo)（1）要證明CM⊥SN，我們可要證明即可，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算，我們不難證明；（2）要求平面與平面CMN所成角的大小，我們只要利用求向量夾角的方法，求出平面與平面CMN的法向量的夾角，再由它們之間的關(guān)系，易求出平面與平面CMN所成角的大?。斀猓涸O(shè)PA＝1，以A為原點(diǎn)，