高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專(zhuān)題講座運(yùn)用向量法解題的思路及方法

11題高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題講座高要

運(yùn)向法題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題重點(diǎn)納解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算加深對(duì)量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想

二是向量的坐標(biāo)運(yùn)向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等兩向量垂直射影夾角等問(wèn)題中

常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題用向的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題用空間向量解決立體幾何問(wèn)題一般可按以下過(guò)程進(jìn)行思考要決問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)決？需要用到哪些向量？所要向量是否已知？若未知可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？所要向量若不能直接用已知條轉(zhuǎn)化成的向量表示們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？典題示講例如圖已知平行六面體ABCD—

CD的面

ABCD是菱形∠C=∠CD=∠BCD

C1

B

1

D1

A

1求

CC⊥BD

B

ACD

rrr(·－crr·－·－bbc－||r111rrr(·－crr·－·－bbc－||r111當(dāng)

CDCC1

的值為多少時(shí)，能使A

C⊥平面？請(qǐng)給出證明命題意圖

本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問(wèn)題以及對(duì)立體幾何圖形的解讀能力知識(shí)依托

解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來(lái)論證立體幾何中的垂直問(wèn)題，這就使幾何問(wèn)題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡(jiǎn)單錯(cuò)解分析

本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系技巧與方法

利用

r⊥

r

r·b

=0來(lái)證兩直線直，只要證明兩直線對(duì)應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可證明

設(shè)

CD

=

r

=

rb

CC

1

=

r

依題意

r

rb

|，

CD

、

、

CC

1

中兩兩所成夾角θ，于是BDDBb，

C1

1

D1

1CC1

=

rra

r－

)=

r

rr

r·

=|

r

·

r

C|cos－|

Dr

·

rb

|cos∴CC⊥解

若使C⊥平面，只須證AC⊥，C⊥DC，由

CA11

1

)=(

r

+

rb

+

r

)·(

rr

)=|

r

|2+

rrr

=|

rr

rb

|·θ－

rb

|·

r

|·cos=0,當(dāng)

rrrr=|c時(shí)⊥DC，同理可證當(dāng)|ac時(shí)，C⊥，CD∴=1時(shí)，C⊥平面CBDCC1例如圖，直三棱柱ABC—C，底CB=1，∠BCA°，=2，MN分

A

zC

M

B

面△ABC中，別是B、No

C

B

yx

A

11112)111111112)1111A的中點(diǎn)求BN的；求cos<

BA,11

>的值；求命題意圖幾何問(wèn)題知識(shí)依托

B⊥M本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來(lái)解決立體解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系O－xyz,進(jìn)找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo)錯(cuò)解分析技巧與方法

本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo)可以先找到底面坐標(biāo)面內(nèi)AC坐標(biāo)然后用向量的模及方向來(lái)找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo)解

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O依題意得

1，，，，1)∴BN|=(1

0)

(0

1)2

(1

0)

解

依題意得

，，2)，C，0，，(0，1∴==(0，，BA11=10+(－×1+2×1|BA|=(12(0(2證依題意得C(

1,22

z

M

y∴ABC,∴⊥M例角形ABC

中(51)、(1，、(12)，求

(1)上的

MDDrrrrrrr，=，=rrrr1MDDrrrrrrr，=，=rrrr1中線AM

的長(zhǎng)；(2)∠

的平分線

的長(zhǎng)；

ABC

的值解

點(diǎn)M的坐標(biāo)為=

9yM2D點(diǎn)分的比為

yB(-1,7)∴

=

711,y3

D∠ABCBA與的夾角=(6－5）

C(1,2)oxA(5,-1)

=(2，學(xué)鞏練設(shè)、、、四點(diǎn)坐標(biāo)依次是(10)，，，，(3，則四邊形ABCD為()A

正方形

B矩

C菱形

D平行四邊形已知△中，

AB

=

r

，

=

rb

r·b

<0=ab則arb

的夾角是()A30°B

－°C°

D30°或150°將二次函數(shù)yx

的圖象按向量

平移后得到的圖象與一次函數(shù)=2x的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，，向a

=_________等腰△和腰eq\o\ac(△,Rt)有公共的底邊，它們所在的兩個(gè)平面成°角，若cm,則CDμ

rb

如圖，在ABC中，=ABr，b表c(0<<1),試用向量a

r

bAP,ADλ<1),A

AE

=正三棱柱—B的底面邊長(zhǎng)為a側(cè)建適的坐標(biāo)系，并寫(xiě)出、、

B

DEPFC

棱長(zhǎng)為的坐標(biāo)；求與側(cè)面A所成的角已知兩點(diǎn)M－，，N，0)，點(diǎn)使

MPPM,NM

成公差

得α=,則=30°或=150°·3·rrrrr得α=,則=30°或=150°·3·rrrrr小于零的等差數(shù)列點(diǎn)的軌跡是什么曲線？若坐標(biāo)為(y0),Q為PM與PN的夾角，求tan

θ已知FH分別是空間四邊形的邊、CD的中點(diǎn)用量證明E、F、G、H四點(diǎn)共面；用量證明

∥面；設(shè)M是和FH的交點(diǎn)，求證

對(duì)空間任一點(diǎn)，

OM(OD參考答案解析

AB

=(1，

DC

=(1，

AB

=

DC

，∴

AB

∥

DC

，又線段與線段DC無(wú)公共點(diǎn)，∴∥DC且ABDC，∴是平行四邊形，又|=5，，3AC|=34，∴AB≠},

ABCD不是菱形，更不是正方形；又

=(4，1··1=6≠0,∴

AB

不垂直于

，∴也不是矩形，故選D答案

D解析∵

11又a·＜0,∴=150°答案

C(2,0)13解∵與BE共線∴=BE=(－m

μ

rb

－

∴AP=AB+BP=

+m

μ

rb

－

)=(1m

r

+μ

rb

①

rrrrr1r代入①式得=(1－m)+μ=r111rrrrr1r代入①式得=(1－m)+μ=r111又與CD共，=n=(AD－)=n

λ

r－

∴

AP

=

+

=

rb

+n(

λ

r

r－

)=nλa+(1－)

rb

②由①②，得1－）

r+m

=n

r

+(1－n

rb∵ab不共線，∴

即n

③解方程組③得n1rr

［(1-

μ)

+

)

r

］解

以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線Oy軸，以所在線為軸，以經(jīng)過(guò)原點(diǎn)且與平面標(biāo)系

垂的直線為Ox軸，建立空間直角坐由已知，得，，B，,0）

(0,0,

C(－

,2

)取A的中點(diǎn)M，于是有(0，2AM，，有

=(a）且，a）=(0,02)由于

MC

1

·

AB

=0

MC

1

·

AA1

=0所以M⊥面，∴

與AM成的角就是AC與面ABB所成的角∵

=

(

a,a),AMa),所以AC

所成的角，AC與側(cè)面A所的角為°11解

設(shè)P(y）由M(－1，N(10）得，=－MP－1－－）

=(1－－MN

=

NM

=(2,0),∴

·

MN

=2(1+x

·

=

+

－1,

NM

=2(1－)于是，

MPPM,

是公差小于零的等差數(shù)列，

等價(jià)于所以，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，點(diǎn)的坐標(biāo)為y)證明）結(jié)BG，則

3

為半徑