2.3平面向量的基本定理及坐標表示2.3.1平面向量基本定理

§2.3平面向量的基本定理及坐標表示2．3.1平面向量基本定理【課時目標】1.理解并掌握平面向量基本定理【課時目標】1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之間的夾角與垂直.1．平面向量基本定理向量a,⑴定理：如果e1,e向量a,兩向量的夾角與垂直（1）夾角：已知兩個a和b，作（9A=a,Ob=b，則=Q（0°WQ<180°）,叫做向量a與b的夾角.①范圍：向量a與b的夾角的范圍是.②當Q=0°時，a與b.③當Q=180°時，a與b.（2）垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作.作業(yè)設計?一、選擇題.若e1,e2是平面內的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）1e1-e2,e2-e1 B-實數(shù)21，22，使a=.⑵基底：把 的向量e1,e2實數(shù)21，22，使a=.⑵基底：把 的向量e1,e2叫做表示這一平面內向量的一組基底.C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2,e1－e2TOC\o"1-5"\h\z.等邊△ABC中，AB與BBC的夾角是（ ）A．30°B．45° C．60°D．120°3．下面三種說法中,正確的是（ ）①一個平面內只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;②一個平面內有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量.A.①②B.②③ C.①③ D.①②③4.若OP1=a,A．a(chǎn)+2bC．2a+bOP2=4.若OP1=a,A．a(chǎn)+2bC．2a+bD.21+b2a+(1-D.21+b.如果e1、e2是平面a內兩個不共線的向量，那么在下列各命題中不正確的有（）①2e1+pe2（2、從￡R）可以表示平面a內的所有向量；②對于平面a中的任一向量a,使a=2e1+pe2的實數(shù)2、p有無數(shù)多對；③若向量21e1+p1e2與22e1+p2e2共線，則有且只有一個實數(shù)2,使21e1+p1e2=2（22e1+p2e2）；④若實數(shù)2、p使2e1+pe2=0,則2=p=0.A.①②B.②③C.③④D.②.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點，且AF=1,連結CF并FD5延長交AB于E，則AE等于（）EB1-11C1A--A.12B.3C.5D.10題號123456答案二、填空題.設向量m=2a—3b,n=4a—2b,p=3a+2b,試用m,n表示p,p=..設e1、e2是不共線的兩個向量，給出下列四組向量：①e1與e1+e2；②e1—2e2與e2—2e1；③e1—2e2與4e2—2e1.其中能作為平面內所有向量的一組基底的序號是 .(寫出所有滿足條件的序號).在△ABC中，AB=c,AC=b.若點D滿足BD=2DC，則AD=..在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若AC=XAE+^AF，其中2、〃￡R，貝口2+〃=.三、解答題.如圖所示，已知△ABC中，D為BC的中點，E,F為BC的三等分點，若AB=a,AC=b,用a,b表示AD,AE,AF..如圖所示，已知△AOB中，點C是以A為中點的點B的對稱點，OD=2DB,DC和OA交于點E，設OA=a,OB=b.⑴用a和b表示向量OAC、DC；(2)若OE=2OAA，求實數(shù)2的值.【能力提升】.如圖所示，OM〃A&點P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(不含邊界)運動，且OP=xOA+yOB,則x的取值范圍是；當x=—2時，y的取值范圍.如圖所示，在△ABC中，點M是BC的中點，點N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交于點P,求證：AP:PM=4：1..對基底的理解⑴基底的特征基底具備兩個主要特征：①基底是兩個不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內兩向量不共線是這兩個向量可以作為這個平面內所有向量的一組基底的條件.⑵零向量與任意向量共線，故不能作為基底..準確理解平面向量基本定理⑴平面向量基本定理的實質是向量的分解，即平面內任一向量都可以沿兩個不共線的方向分解成兩個向量和的形式，且分解是唯一的.⑵平面向量基本定理體現(xiàn)了轉化與化歸的數(shù)學思想，用向量解決幾何問題時，我們可以選擇適當?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.§2.3平面向量的基本定理及坐標表示平面向量基本定理

答案知識梳理(1)不共線任意有且只有一對2陷+丸2e2(2)不共線所有(1)非零向量/AOB①[0°,180°]②同向③反向(2)90°a±b作業(yè)設計.D2.D3.B— 一 — —三D[:P1P=2PP2，?二OP—OP1=2(OP2—OP)，(1+2)OP=OP1+20P2

—> 1—> /一> 1A/.OP=7T7OP1+7T7O^=7T7?+rT76-]1+2i1+221+2 1+2JB[由平面向量基本定理可知，①④是正確的.對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數(shù)對是唯一的.對于③，當兩向量的系數(shù)均為零，即4=4=〃]=〃2=。時，這樣的丸有無數(shù)個，故選B.]一一AED[設lAB=q,AC=^, .iLd??嗡=；,/.CF=CA+AF=ca+^aB=^(ab+ac)-acCE=CA+AEf?2f=CA+--7AB1十人A-A-A?.AB—ACL\A上A1+LVCF/7CE,2.1+-__1_.__1_?,^r=TT,,,2=io-]7.-解析%

7.-解析%

13-8

+

7.產(chǎn)貝i]3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x~2y)b,__7'2x+4y=3—3x~2y=213~8=-'2x+4y=3—3x~2y=213~88.①②解析對于③曲之-2?]=—24+44=-2(?]—2々)，.,?。]一2。2與4c2—2。]共線，不能作為基底.2 19~b+~c解析Ab=AB+BZ)=AB+|BC=AB+|(AC—AB)=|ab+|aC=|6+1c.解析設贏=〃，AD=b,則矗=]〃+仇乙AF=a+^b,又,:AC=a+b,AC=3(AE+AF)，即A=〃=3，.，.A+〃=|..解j\D=t4B+BD=t4B+|BC=a+；(b-a)=|a+|b；1\E=l^B+bE=1\B+|bC=a+3(b-a)=|a+3b；AF=AB+BF=AB+3BC=a+3(b-a)=3a+3b.2—.解(1)由題意，A是BC的中點，且OD=3OB,由平行四邊形法則，(JB+O!C=2(jA.TOC\o"1-5"\h\z一f-ff 一.OC=2OA—OB=2a—b,D)C=(OC—O)D=(2a—b)—2b=2a—3b.—*~ ——*~ 一一一 —*~ ~*~ —*~ 一 一 —*~ 5一(2)EC//DC.又;EC=OC—OE=(2a—b)—Aa=(2—A)a—b,DC=2a—3b,2—A1 4, --..2 5，.A5.3bl,o)(2,2)解析由題意得：OP=a-OM+b-OB(a,b￡R+,0<b<1)=a-AAB+b-Ob=aA(OB—OA)+b-OB=—aA-()A+(aA+b)?(B(A>0).由一aA<0,得x￡(—8,0).又由O=x()A+y(°B，則有0<x+y<1,當x=—1時，有0<—2+y<1,解得y￡Q，3).14.解設AB=b,j0C=c,則AM=2b+2c,AN=3AC=3c,乙乙 J J^j-*,b