2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2.3.1平面向量基本定理

§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示2．3.1平面向量基本定理【課時(shí)目標(biāo)】1.理解并掌握平面向量基本定理【課時(shí)目標(biāo)】1.理解并掌握平面向量基本定理.2.掌握向量之間的夾角與垂直.1．平面向量基本定理向量a,⑴定理：如果e1,e向量a,兩向量的夾角與垂直（1）夾角：已知兩個(gè)a和b，作（9A=a,Ob=b，則=Q（0°WQ<180°）,叫做向量a與b的夾角.①范圍：向量a與b的夾角的范圍是.②當(dāng)Q=0°時(shí)，a與b.③當(dāng)Q=180°時(shí)，a與b.（2）垂直：如果a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作.作業(yè)設(shè)計(jì)?一、選擇題.若e1,e2是平面內(nèi)的一組基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是（）1e1-e2,e2-e1 B-實(shí)數(shù)21，22，使a=.⑵基底：把 的向量e1,e2實(shí)數(shù)21，22，使a=.⑵基底：把 的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)向量的一組基底.C．2e2－3e1,6e1－4e2 D．e1＋e2,e1－e2TOC\o"1-5"\h\z.等邊△ABC中，AB與BBC的夾角是（ ）A．30°B．45° C．60°D．120°3．下面三種說法中,正確的是（ ）①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面所有向量的基底;②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可作為基底中的向量.A.①②B.②③ C.①③ D.①②③4.若OP1=a,A．a(chǎn)+2bC．2a+bOP2=4.若OP1=a,A．a(chǎn)+2bC．2a+bD.21+b2a+(1-D.21+b.如果e1、e2是平面a內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么在下列各命題中不正確的有（）①2e1+pe2（2、從￡R）可以表示平面a內(nèi)的所有向量；②對于平面a中的任一向量a,使a=2e1+pe2的實(shí)數(shù)2、p有無數(shù)多對；③若向量21e1+p1e2與22e1+p2e2共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)2,使21e1+p1e2=2（22e1+p2e2）；④若實(shí)數(shù)2、p使2e1+pe2=0,則2=p=0.A.①②B.②③C.③④D.②.如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，F(xiàn)是AD上的一點(diǎn)，且AF=1,連結(jié)CF并FD5延長交AB于E，則AE等于（）EB1-11C1A--A.12B.3C.5D.10題號123456答案二、填空題.設(shè)向量m=2a—3b,n=4a—2b,p=3a+2b,試用m,n表示p,p=..設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出下列四組向量：①e1與e1+e2；②e1—2e2與e2—2e1；③e1—2e2與4e2—2e1.其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是 .(寫出所有滿足條件的序號).在△ABC中，AB=c,AC=b.若點(diǎn)D滿足BD=2DC，則AD=..在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)，若AC=XAE+^AF，其中2、〃￡R，貝口2+〃=.三、解答題.如圖所示，已知△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E,F為BC的三等分點(diǎn)，若AB=a,AC=b,用a,b表示AD,AE,AF..如圖所示，已知△AOB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，OD=2DB,DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)OA=a,OB=b.⑴用a和b表示向量OAC、DC；(2)若OE=2OAA，求實(shí)數(shù)2的值.【能力提升】.如圖所示，OM〃A&點(diǎn)P在由射線OM、線段OB及AB的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且OP=xOA+yOB,則x的取值范圍是；當(dāng)x=—2時(shí)，y的取值范圍.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求證：AP:PM=4：1..對基底的理解⑴基底的特征基底具備兩個(gè)主要特征：①基底是兩個(gè)不共線向量；②基底的選擇是不唯一的.平面內(nèi)兩向量不共線是這兩個(gè)向量可以作為這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底的條件.⑵零向量與任意向量共線，故不能作為基底..準(zhǔn)確理解平面向量基本定理⑴平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)是向量的分解，即平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個(gè)不共線的方向分解成兩個(gè)向量和的形式，且分解是唯一的.⑵平面向量基本定理體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，用向量解決幾何問題時(shí)，我們可以選擇適當(dāng)?shù)幕?，將問題中涉及的向量向基底化歸，使問題得以解決.§2.3平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示平面向量基本定理

答案知識梳理(1)不共線任意有且只有一對2陷+丸2e2(2)不共線所有(1)非零向量/AOB①[0°,180°]②同向③反向(2)90°a±b作業(yè)設(shè)計(jì).D2.D3.B— 一 — —三D[:P1P=2PP2，?二OP—OP1=2(OP2—OP)，(1+2)OP=OP1+20P2

—> 1—> /一> 1A/.OP=7T7OP1+7T7O^=7T7?+rT76-]1+2i1+221+2 1+2JB[由平面向量基本定理可知，①④是正確的.對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個(gè)平面的基底確定，那么任意一個(gè)向量在此基底下的實(shí)數(shù)對是唯一的.對于③，當(dāng)兩向量的系數(shù)均為零，即4=4=〃]=〃2=。時(shí)，這樣的丸有無數(shù)個(gè)，故選B.]一一AED[設(shè)lAB=q,AC=^, .iLd??嗡=；,/.CF=CA+AF=ca+^aB=^(ab+ac)-acCE=CA+AEf?2f=CA+--7AB1十人A-A-A?.AB—ACL\A上A1+LVCF/7CE,2.1+-__1_.__1_?,^r=TT,,,2=io-]7.-解析%

7.-解析%

13-8

+

7.產(chǎn)貝i]3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x~2y)b,__7'2x+4y=3—3x~2y=213~8=-'2x+4y=3—3x~2y=213~88.①②解析對于③曲之-2?]=—24+44=-2(?]—2々)，.,?。]一2。2與4c2—2。]共線，不能作為基底.2 19~b+~c解析Ab=AB+BZ)=AB+|BC=AB+|(AC—AB)=|ab+|aC=|6+1c.解析設(shè)贏=〃，AD=b,則矗=]〃+仇乙AF=a+^b,又,:AC=a+b,AC=3(AE+AF)，即A=〃=3，.，.A+〃=|..解j\D=t4B+BD=t4B+|BC=a+；(b-a)=|a+|b；1\E=l^B+bE=1\B+|bC=a+3(b-a)=|a+3b；AF=AB+BF=AB+3BC=a+3(b-a)=3a+3b.2—.解(1)由題意，A是BC的中點(diǎn)，且OD=3OB,由平行四邊形法則，(JB+O!C=2(jA.TOC\o"1-5"\h\z一f-ff 一.OC=2OA—OB=2a—b,D)C=(OC—O)D=(2a—b)—2b=2a—3b.—*~ ——*~ 一一一 —*~ ~*~ —*~ 一 一 —*~ 5一(2)EC//DC.又;EC=OC—OE=(2a—b)—Aa=(2—A)a—b,DC=2a—3b,2—A1 4, --..2 5，.A5.3bl,o)(2,2)解析由題意得：OP=a-OM+b-OB(a,b￡R+,0<b<1)=a-AAB+b-Ob=aA(OB—OA)+b-OB=—aA-()A+(aA+b)?(B(A>0).由一aA<0,得x￡(—8,0).又由O=x()A+y(°B，則有0<x+y<1,當(dāng)x=—1時(shí)，有0<—2+y<1,解得y￡Q，3).14.解設(shè)AB=b,j0C=c,則AM=2b+2c,AN=3AC=3c,乙乙 J J^j-*,b