2023屆黑龍江省綏化市青岡縣數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)，給出下列四個說法：；函數(shù)的周期為；在區(qū)間上單調(diào)遞增；的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱其中正確說法的序號是A． B． C． D．3．如圖，梯形中，∥，，，，將△沿對角線折起，設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，使二面角為直二面角，給出下面四個命題：①；②三棱錐的體積為；③平面；④平面平面；其中正確命題的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．44．設(shè)集合，|，則（）A． B． C． D．5．為了了解我校今年準(zhǔn)備報考飛行員的學(xué)生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖（如圖），已知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1：2：3，第2小組的頻數(shù)為12,則抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)是（）A．12 B．24 C．48 D．566．三位女歌手與三位男歌手站成一排合影，要求每位女歌手互不相鄰，則不同的排法數(shù)為A．48 B．72 C．120 D．1447．已知，函數(shù)，若在上是單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是()A． B． C． D．8．點(diǎn)M的極坐標(biāo)為（1，π），則它的直角坐標(biāo)為（）A．（1，0） B．（，0） C．（0，1） D．（0，）9．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)，若，是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是，若，則（）A． B． C． D．11．有件產(chǎn)品，其中件是次品，從中任取件，若表示取得次品的件數(shù)，則（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為__________．14．已知，且的實(shí)部為，則的虛部是________.15．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺?biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________16．選修4-5：不等式選講設(shè)函數(shù)，（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)對50名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有10人．在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過的人與性別有關(guān)；（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時，．19．（12分）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時，求證：．(2)若函數(shù)在為增函數(shù)，求的取值范圍.20．（12分）在中，角,,所對的邊分別是，，，已知.（1）求的值；（2）若，，，為垂足，求的長.21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．22．（10分）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過作互相垂直的直線,分別與交于點(diǎn)、和、.（1）當(dāng)?shù)膬A斜角為時，求以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）問是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

算出，即可得.【詳解】由得，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念，考查了學(xué)生基本運(yùn)算能力和對基本概念的理解.2、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性可排除，同時可以確定對．由，可去絕對值函數(shù)化為，可判斷對．由取特值，可確定錯．【詳解】，所以函數(shù)的周期不為，錯，，周期為．=，對．當(dāng)時，，，所以f(x)在上單調(diào)遞增．對．，所以錯．即對，填．【點(diǎn)睛】本題以絕對值函數(shù)形式綜合考查三角函數(shù)求函數(shù)值、周期性、單調(diào)性、對稱性等性質(zhì)，需要從定義角度入手分析，也是解題之根本．3、C【解析】

取BD中點(diǎn)O，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得平面，再根據(jù)線面垂直判定與性質(zhì)定理、面面垂直判定定理證得平面以及平面平面；利用錐體體積公式求三棱錐的體積，最后根據(jù)反證法說明不成立.【詳解】因?yàn)?，，所以為等腰直角三角形，因?yàn)椤?，，所?從而為等腰直角三角形，取BD中點(diǎn)O，連接，如圖，因?yàn)槎娼菫橹倍娼?，所以平面平面，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，所以平面平?平面,因此平面，所以三棱錐的體積為,②正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?平面，所以平面；即③正確;因?yàn)槠矫?，平面；所以；由已知條件得,平面,因此平面,因?yàn)槠矫?所以平面平面；即④正確；如果，而由平面，平面，所以，因?yàn)?平面，所以平面；因?yàn)槠矫?；?與矛盾,所以①不正確;故選：C【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直性質(zhì)與判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理以及錐體體積公式，考查基本分析論證與求解能力，屬中檔題.4、C【解析】

解出集合M中的不等式即可【詳解】因?yàn)?，所以故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是解對數(shù)不等式及集合的運(yùn)算，屬于基本題.5、C【解析】試題分析：根據(jù)題意可知，第組的頻數(shù)為，前組的頻率和為，所以抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，故選C.考點(diǎn)：頻率分布直方圖與頻數(shù)．6、D【解析】

女歌手不相鄰，則先排男生，再對女生插空即可.【詳解】由插空法得．選D.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合用插空法解決問題，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)函數(shù)的解析式，可求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，可以得到；分離參數(shù)，根據(jù)所得函數(shù)的特征求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)樗砸驗(yàn)樵谏鲜菃握{(diào)減函數(shù)所以即所以當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，令，可知雙刀函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以即所以選C【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立；（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值）..8、B【解析】

將極坐標(biāo)代入極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間的互化公式，即可得到直角坐標(biāo)方程.【詳解】將極坐標(biāo)代入互化公式得：，，所以直角坐標(biāo)為：.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式，注意特殊角三角函數(shù)值不要出錯.9、A【解析】

利用f（1）＝0得出a，b的關(guān)系，根據(jù)f′（x）＝0有兩解可知y＝2e2x與y＝2ax+a+1﹣e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點(diǎn)，做出兩函數(shù)圖象，根據(jù)圖象判斷a的范圍．【詳解】解：∵f（1）＝0，∴e2﹣a+b﹣1＝0，∴b＝﹣e2+a+1，∴f（x）＝e2x﹣ax2+（﹣e2+a+1）x﹣1，∴f′（x）＝2e2x﹣2ax﹣e2+a+1，令f′（x）＝0得2e2x＝2ax﹣a﹣1+e2，∵函數(shù)f′（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)有兩個零點(diǎn)，∴y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2的函數(shù)圖象在（0，1）上有兩個交點(diǎn)，作出y＝2e2x與y＝2ax﹣a﹣1+e2＝a（2x﹣1）+e2﹣1函數(shù)圖象，如圖所示：若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經(jīng)過點(diǎn)（1，2e2），則a＝e2+1，若直線y＝2ax﹣a﹣1+e2經(jīng)過點(diǎn)（0，2），則a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故選：A．點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．10、C【解析】

根據(jù)切線方程計算，，再計算的導(dǎo)數(shù)，將2代入得到答案.【詳解】函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程是故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.11、B【解析】

由題意，知取0，1，2，3，利用超幾何分布求出概率，即可求解．【詳解】根據(jù)題意，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用超幾何分布求概率，屬基礎(chǔ)題.12、A【解析】

，可得在上是偶函數(shù).函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)果.【詳解】解：，在上是偶函數(shù).函數(shù)，，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.，，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的奇偶性，不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求得函數(shù)的定義域，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】由解得或，由于在其定義域上遞減，而在時遞減，故的單調(diào)遞增區(qū)間為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，考查對數(shù)函數(shù)定義域的求法，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)的實(shí)部為，設(shè)，然后根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)榈膶?shí)部為，設(shè)，又因?yàn)?，所以，解得，故的虛部?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

根據(jù)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)，確定長方體的各邊長度，再求的坐標(biāo).【詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查基本概念和基礎(chǔ)知識，屬于簡單題型.16、（1）；（2）.【解析】試題分析：（I）利用零點(diǎn)分段法去絕對值，將函數(shù)化為分段函數(shù)，由此求得不等式的解集為；（II）由（I）值，函數(shù)的最小值為，即，由此解得.試題解析：（I），當(dāng)，，，當(dāng)，，，當(dāng)，，，綜上所述.（II）易得，若，恒成立，則只需，綜上所述.考點(diǎn)：不等式選講．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)公示計算得到卡方值，作出判斷即可；（2）根據(jù)條件可知由公式得到期望值.詳解：（1）平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)201030女性駕駛員人數(shù)51520合計252550∵，∴所以有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān).（2）根據(jù)樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，駕駛員為女性且車速不超過的車輛的概率為.所以的可能取值為0,1,2,3，且，.方法點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機(jī)變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值，對于有些實(shí)際問題中的隨機(jī)變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）先求函數(shù)定義域，由導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（2）由題意可得即證lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）的單調(diào)性可得lnx＜x﹣1；設(shè)F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，求出單調(diào)性，即可得到x﹣1＜xlnx成立；【詳解】（1）由題設(shè)，的定義域?yàn)?，，令，解得．?dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減．（2）證明：當(dāng)x∈（1，+∞）時，，即為lnx＜x﹣1＜xlnx．由（1）可得f（x）＝lnx﹣x+1在（1，+∞）遞減，可得f（x）＜f（1）＝0，即有l(wèi)nx＜x﹣1；設(shè)F（x）＝xlnx﹣x+1，x＞1，F(xiàn)′（x）＝1+lnx﹣1＝lnx，當(dāng)x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，可得F（x）遞增，即有F（x）＞F（1）＝0，即有xlnx＞x﹣1，則原不等式成立；【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)法，求出導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．19、（1）見證明；（2）【解析】

(1)時，設(shè),對函數(shù)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值進(jìn)而得證；（2）原函數(shù)單調(diào)遞增，即恒成立，變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.【詳解】（1）時，設(shè)．則，在單調(diào)遞增．即.(2)恒成立，即對恒成立．∵時，（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）∴【點(diǎn)睛】這個題目考查了不等式證明問題以及恒成立求參的問題，不等式的證明，常見的方法是，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題；恒成立求參，常采用的方法是變量分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題.20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)正弦定理化邊為角，再根據(jù)兩角和正弦公式化簡得結(jié)果，（2）先根據(jù)余弦定理求，再利用三角形面積公式求AD.【詳解】（1）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所?即.因?yàn)?，所以，所?則.（2）因?yàn)?，所?.在中，由余弦定理可得，即.由，得.所以.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理以及三角形面積公式，考查基本分析求解能力，屬中檔題.21、單調(diào)遞增區(qū)間是[