大綱版數(shù)學(xué)高考名師一輪復(fù)習(xí)教案97空間向量microsoftword文檔doc高中數(shù)學(xué)

10/109.7空間向量一、明確復(fù)習(xí)目標1．了解空間向量的根本概念；掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、及數(shù)量積的運算；了解空間向量共面的概念及條件；理解空間向量根本定理.2．理解空間直角坐標系的概念，會用坐標來表示向量；理解空間向量的坐標運算.3．掌握空間中兩點間距離、兩向量的夾角公式及∥的坐標表示；會求平面的法向量.4．會用空間向量判定線、面的垂直，會求空間直線所成的角.二．建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)1.共線向量定理：對空間任意兩個向量（），<=>存在實數(shù)使.顯然. 假設(shè)直線L過點A、B，是方向向量，那么點P在直線L上存在實數(shù)t，使，（此式也叫L的向量方程）點P在直線L上=(1t).（或=x，x+y=1）2.共面向量定理：兩個向量不共線，那么向量與向量共面的充要條件是存在實數(shù)對x，y使=.推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y使得：，或?qū)臻g任意一點O有：.3.空間向量的根本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任意一向量，存在惟一有序?qū)崝?shù)對x、y、z使得=.推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，那么對空間任意一點P，都存在惟一的三個有序?qū)崝?shù)x、y、z使=x+。特別地，當x+y+z=1時，那么必有P、A、B、C四點共面.4.向量的數(shù)量積：，，用于求兩個向量的數(shù)量積或夾角；，用于求距離.，用于證明兩個向量的垂直關(guān)系；5.空間向量的直角坐標運算律：那么;，，坐標對應(yīng)成比例；．數(shù)量積為零.6.夾角公式:7.模長公式：，．8.,那么．距離公式：，9.假設(shè)表示向量a1，a2，…，an的有向線段終點和始點連結(jié)起來構(gòu)成一個封閉折圖形，那么a1＋a2＋a3＋…＋an=0.三、雙基題目練練手1.設(shè)向量a、b、c不共面，那么以下集合可作為空間的一個基底的是（）A.{a+b，b－a，a} B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c} D.{a+b+c，a+b，c}2.在平行六面體ABCD—A′B′C′D’中，向量、、是（）A.有相同起點的向量 B.等長的向量C.共面向量 D.不共面向量3.假設(shè)a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a與b為共線向量，那么()A.x=1，y=1B.x=，y=－ C.x=，y=－ D.x=－，y=4.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b與2a－b互相垂直，那么k值是5.已知四邊形ABCD中，=a－2c，=5a+6b－8c，對角線AC、BD的中點分別為E、F，那么=_____________.6.已知空間三點A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），那么與的夾角θ的大小是_________.◆答案提示：1-3.CCB;4.k=.5.=3a+3b－5c.6.120°5.提示:設(shè)AD中點為G，得=3a+3b－5c.四、經(jīng)典例題做一做【例1】如圖,在平行六面體中,是的中點.求證:（1）∥面.（2）設(shè)E、F、G、H、K、L依次是棱AB、BC、CC1、C1D1、D1A1、A1A的中點，那么這六點共面.AABCC1D1A1B1DO分析:只需證明與面中的一組基向量共面.證明（1）:設(shè)因為為平行四邊形,,又O是的中點,假設(shè)存在實數(shù)使成立,那么因為向量不共線,,.所以是共面向量,因為不在所確定的平面內(nèi),∥面,又面,∥面.（2）不共線，可作為基底，再依次證明、…能用這組基底表示即可，試試如何？【例2】在三棱錐S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.（1）求證：SC⊥BC；（2）求SC與AB所成角的余弦值.（3）假設(shè)E、F、G分別是AB、AC、SB的中點，求證：平面EFG⊥平面ACG..思路1：要用向量來研究線面的位置關(guān)系，需要有一組基底把有關(guān)的向量表示出來，再用向量運算的幾何意義來研究。解法1：所以SC與AB所成的角為arccos.（3）如以以下圖，取A為原點，AD、AC、AS分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系（一般建成右手系），那么由AC=2，BC=，SB=，得C（0，2，0），B（，2，0）、S（0，0，2）。=（0，2，－2），=（，0，0）.（1）∵=0，∴SC⊥BC.（2）設(shè)SC與AB所成的角為θ，∵=（，2，0），·=4，||||=4，∴cosθ=，即為所求._y_yzxGFEBCAS（3）,思悟提練1.利用空間向量可以解決立體幾何中的線線垂直、線線平行、四點共面、求長度、求夾角等問題.2．用向量研究研究問題可以建立坐標系用向量的代數(shù)形式，也可用向量的幾何形式.【例3】已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的單位法向量.思悟提練求法向量一般用待定系數(shù)法.常把n的某個坐標設(shè)為1，再求另兩個坐標.平面法向量是垂直于平面的向量，有方向相反的兩個.單位法向量只需將法向量再除以它的模.五．提煉總結(jié)以為師1．在處理立體幾何中的平行、垂直或求兩異面直線所成的角時,用向量來解決思維簡單，是模式化了的方法，是行之有效的方法.2．要熟練掌握空間向量平行、垂直的條件及三個向量共面及四點共面的條件，掌握運用向量判定平行、垂直和求空間直線所成的角的方法.同步練習(xí)9.7空間向量【選擇題】c，那么以下式子中與相等的是（）A.－a+b+c B.a+b+cC.a－b+c D.－a－b+c2.在空間直角坐標系中，已知點P（x，y，z），以下表達中正確的個數(shù)是（）①點P關(guān)于x軸對稱點的坐標是P1（x，－y，z）②點P關(guān)于yOz平面對稱點的坐標是P2（x，－y，－z）③點P關(guān)于y軸對稱點的坐標是P3（x，－y，z）④點P關(guān)于原點對稱的點的坐標是P4（－x，－y，－z）A.3 B.2 C.1 D.03．以下命題中不正確的命題個數(shù)是①假設(shè)A、B、C、D是空間任意四點，那么有+++=0②|a|－|b|=|a+b|是a、b共線的充要條件③假設(shè)a、b共線，那么a與b所在直線平行④對空間任意點O與不共線的三點A、B、C，假設(shè)=x+y+z（其中x、y、z∈R），那么P、A、B、C四點共面（）A.1 B.2 C.3 D.4【填空題】4.已知點A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），假設(shè)，那么||的值是__________.5.設(shè)點C（2a+1，a+1，2）在點P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）確定的平面上，a的值等于;6．A是△BCD所在平面外一點，M、N分別是△ABC和△ACD的重心，假設(shè)BD=4，那么MN的長為.答案:1-3,ACC;4.;5.a=166.【解答題】7．設(shè)A、B、C及A1、B1、C1分別是異面直線l1、l2上的三點，而M、N、P、Q分別是線段AA1、BA1、BB1、CC1的中點.求證：M、N、P、Q四點共面.證明：，A、B、C及A1、B1、C1分別共線，∴∴、∴M、N、P、Q四點共面.8.已知空間四邊形中,且分別是的中點,是中點.求證:證明:連結(jié)由線段中點公式得:且,9．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，BD1交平面ACB1于點E，求證：（1）BD1⊥平面ACB1；（2）BE=ED1.證明：（1），建立空間直角坐標系，那么A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1)（2）設(shè)設(shè)，10．在正三棱柱ABCA1B1C1中，(1)已知AB1BC1，求證：AB1A1Ｃ；(2)當AB=2，AA1=4時，求異面直線BC1與A1C所成角的余弦值．解：(1)設(shè)=a，=b，=c，那么=a+c，=ba+c，=bc．∵，∴(a+c)(ba+c)=0，即c2a2+ab=0．又設(shè)==x，=h，那么h2x2+x2=0，∴x2=2h2．=(a+c)(bc)=abc2=x2h2=h2h2=0．(2)==，=(ba+c)(bc)=b2c2ab=14設(shè)異面直線BC1與A1C所成的角為，那么cos=|cos<,>|==．即異面直線BC1與A1C所成角的余弦值為．【探索題】如以以下圖，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分