數(shù)學專業(yè)畢業(yè)優(yōu)秀論文

數(shù)專業(yè)秀

———————————————————————————————作：———————————————————————————————日：2

求矩陣特征向的三種方法數(shù)學專業(yè)學生指導(dǎo)教師

張廷楊波摘要關(guān)詞Differentfromthoughtofonlyconsideringtouserowelementaryofmatrix,thispaperof“characteristicrootandeigevectorsynchronouslyrequestsolutiondeducethemethodofusing“ierelementarycounterchangetorequesttheeigenvector”.Theyarededucedtheoreticallythetext.ifmethodoftheofwillcalculation.Keywords:rowelementarycounterchange;tierelementarycounterchange;matrix;eigenvector.、義定義

所謂數(shù)域P上矩的初等變換是指下列三種變換：）））

以P中個非零的數(shù)乘矩陣的某一行（列.把矩陣的某一行（列）的c倍加另一行（列）互換矩陣中兩行（列）的位.定義

設(shè)A是數(shù)域P上性變換果于數(shù)域P中一數(shù)一個非零向量，使得A

.那么為A的一特征值，而稱屬于特征值一特征向量.定義3

設(shè)A是域P上n階陣

是一個文字.矩

E

的行列式|

A|

稱為A的特多項式是數(shù)

n1

域P上的一個n次多式定義4設(shè)向量組,...,(1s

不線性相關(guān)即沒有不全為零的數(shù)

k,...,k1

使3

0006k

11

...2

就稱為線性無關(guān)或者說向

1

2

稱為線性無關(guān)，如果由k

1

2

可以推出kkk1s

.、行等換矩的征量此方法求n階陣的特征向量，常是解齊次線性方程

(

EA0

，而解齊次線性方程組一般是用行初等到變換要時變換列化系數(shù)為階梯形

Er

C

rn

然后給自由變量一些賦值進而求.具體求解步驟是：1線性空間V中取組基，寫出A在組基下的矩陣A；2出A的征多項式

在數(shù)域P中全的根，它們也就是線性變換的全特征值；3所得的每一個特征值逐代入方程組，對于每一個特征值解方程組，求出一組基解系它們是于個征值的n個線無的特向量在基,...,2向量.

下的坐標這我也求出了屬于每個特征值的全部線性無關(guān)的特征例設(shè)域P上維空間V線性變換關(guān)于基的特值與特征向.解因特征多項式為

,

的矩陣為A=

33

求f(E-A|=

=

2)

2

(所以特征值是

=-2(兩)和=4求相應(yīng)于A的特征值

的征向量（

33E-A00即

1

-

2

-

3

=0，它的基礎(chǔ)解系是4

161201612022D（E-A）=因此，屬于

1

=-2的兩個線性無關(guān)的特征向量

=

1

+

，

=-

1

+

而屬于

1

=-2的全部向量就是

K

1

+

K

2

，

K

，1

取遍數(shù)域P中全為零的全部數(shù).求相應(yīng)于A的特征值

2

=4的征向量（

2

31E-A1212即

+-

=012-6

=0它的基礎(chǔ)解系是：因此屬于

=4的個線性無關(guān)的特征向量是

=

1

+

2

+2

，而屬于=4的全部特征向量就是K是域P中任意不等于零的.、列等換矩的征量設(shè)n階陣A的特根列初等變換化為

)

的同時，對單位陣E施同樣的列初等變換就得到矩陣

n

D

n)

，則矩陣D的一個列向量都是A的于征根

的特征向量們構(gòu)成特征子空間V

的一個基（這里r=秩（）事實上，由矩陣的初等變換和分塊矩陣運算性質(zhì)可得n)n)

（E-AD

n)

=0.由于D是位陣E經(jīng)干初等列變換得到的分塊矩陣；因而它的n-r個列量線性無關(guān)，且每個列向量都是（）x=0的解向量從而結(jié)得.5

44103100200011Kj例2求R上陣A=

321

的特征根與特征向量

解：f(x)=A

=(x-4)(xx

矩陣A只一個實根

=4I=

3..................1從而

為A的屬于特征根4的個特征量，而

，K

0,K

R,是A的屬的全特征向量要求出矩陣A的一個特征根征量，只需對每一個上述方法一一求解便.推：若n階矩陣A僅兩個特根且秩（

i

E-A

j

的重數(shù)（i

j,i,j=1,2對（

i

E-A）經(jīng)列初等變換化為（

B

j

n)

B的一個列向量都是的屬特征根

j

的特征向量，且它們恰好構(gòu)成特征子空間V

的一個基.j事實上，秩（

i

E-A）=

j

的重數(shù)（i

j,i,j=1,2A可對角化存在可逆陣P

1

A=

P

1

2

2

P=QP6

i0A0xi0A0x1027

（jE-AiE-A=（

j

E-

P

QP

i

E-

P

QP）=

j

E-Q（

i

E-Q=

P

（

j

E-Q

i

E-Q）P=0而B的向量?。‥-A的空間的一個基所以（jE-A）x=0的一基礎(chǔ)解系

r

j

個列向量是齊次線性方程組即B的r列量是從屬于j

j

的線性無關(guān)的特征向.例3求矩A=

3

的特征根與特征向量0解f(x)=0x2A的征根是5和1

=

(x2(xI

=

...

...

1

...

20......00

...

A的于特征根5的特征向量是1

，

，K12

不全為0，

K1

RA的于特征值1的征向量是K

3

K3

0，

K

R對于只有兩個特征根的矩陣來說求它的屬于不同特征根的特征向量常重數(shù)較大的那個特征根，這樣作初等變換時比起另一個來更方便.0還有一些矩陣比如

等然保有兩個特征根并滿秩7

E00E001（

i

E-A

j

的重

j,i,j=1,2條件，因而只對

作列初等變換即可當然，并不是所有矩陣運用此法求特征向量都相對簡便，僅供參.§4、陣特根特向的步解對f(

E

A

同時進行列與行的初等變換，將其化為對角形

—矩陣B(

).即只要求出有可逆矩陣n階使p((…,f(1顯然每個

f

i

(

（不是零多項式其中Q(就是在對f(進行列的初等變換時，同時對I進相同的列初等變換的結(jié).（或記錄）當然p(是對行初等變換時，同時對I進行行初等變換的結(jié).只是后來不用它，不必記錄）設(shè)f(的任意一個根（A的征根為A的特征多項式=f(1f

(設(shè)

f1

(

f

2

(

f

(中有t個為0，n-t個為（t

1）設(shè)f((…=fii

it

(其余的(ii1

i

2

i

t

是1中t個然f(秩為n–t.即有p((i

(…,i

(it

(※)其中(((是Q(中第iiit

i1

i

2

i

t

列的列向量由于p(與Q(皆是可逆矩陣由（※）可得f((q(q(iiit

而q((…,q(線性無關(guān)即它們就是方程組iiitf(

)

n

nt

的一個基礎(chǔ)解系故

(i

q(…,i

(就是A的于特征根特向.it對f(同時施行行與列的初等,易將其化為對角形

—矩陣B(

),只需記錄下Q(

)就了這免去了對B(

)的(

是A的個特征根時非0列量再施初等變換的過.面舉例說.例求矩陣A的征根與特征向,中A=

10

8

00以-1,加00以-1,加20到第行上1110021解

I

=

......列初等變換

100第2行乘02..................

[I]相同

0

0

100行乘以加到第行上

00.........0

第列乘加到1列上去0000

0.........0

0知B(

)=

0000Q()=0

A的征根是1(2重根)與1.

1

=1時B(

1

)中應(yīng)的Q(

1

)中兩個列向量是

(1,0,2)'

與9

(0,1,0)(0,1,0)

'

.

2

=-1時與B(