注冊(cè)結(jié)構(gòu)師概率論之隨機(jī)事件的概率講義

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)1、隨機(jī)事件

2、隨機(jī)事件的概率3、條件概率4、事件的獨(dú)立性

一、隨機(jī)事件的概率1）可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；2）每次實(shí)驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確實(shí)驗(yàn)的所有可能結(jié)果；3）進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn).

(1)隨機(jī)試驗(yàn)：具有以下三個(gè)特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)1、隨機(jī)事件一、隨機(jī)事件及概率(2)樣本空間(Space)

將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為

E的樣本空間，記為S.樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn).一、隨機(jī)事件的概率隨機(jī)事件:

稱試驗(yàn)E的樣本空間

S的子集為

E的

隨機(jī)事件；基本事件:

有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件:

樣本空間S本身；不可能事件:

空集.

(3)隨機(jī)事件

我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn).一、隨機(jī)事件的概率(4)事件間的關(guān)系與運(yùn)算10

包含關(guān)系

SAB事件B發(fā)生事件A發(fā)生SAB20

和事件

30積事件SAB發(fā)生A,B中至少有一個(gè)發(fā)生發(fā)生A,B同時(shí)發(fā)生AB

40

差事件AB發(fā)生A發(fā)生且B不發(fā)生BA50

互不相容60

對(duì)立事件

AA,B不能同時(shí)發(fā)生A,B有且只有一個(gè)發(fā)生(5)隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律:交換律:

結(jié)合律:分配律:DeMorgan定律:2.隨機(jī)事件的概率

1)頻率:在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù).比值n

A/n稱為事件A發(fā)生的頻率，并記成fn(A).

(1)概率的定義及性質(zhì)頻率具有波動(dòng)性和穩(wěn)定性,頻率的穩(wěn)定值稱為概率2)概率的公理化定義

設(shè)

E是隨機(jī)試驗(yàn)，S

是它的樣本空間，對(duì)于

E

的每一個(gè)事件A

賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為稱為事件A

的概率，要求集合函數(shù)滿足下列條件：

SAB3)概率的性質(zhì)SABSA樣本空間的元素只有有限個(gè)；

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同.

(2)等可能概型（古典概型）

1)定義：我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型.

設(shè)試驗(yàn)E是古典概型,其樣本空間S由n個(gè)樣本點(diǎn)組成,事件A由k個(gè)樣本點(diǎn)組成.

則事件A的概率為：

A包含的樣本點(diǎn)數(shù)

P(A)＝k/n＝

S中的樣本點(diǎn)總數(shù)排列組合是計(jì)算古典概率的重要工具.2)計(jì)算方法

例1.甲、乙等五名志愿者被隨機(jī)地分到A、B、C、D四個(gè)不同的崗位服務(wù)，每個(gè)崗位至少有一名志愿者。（1）求甲、乙兩人同時(shí)參加A崗位服務(wù)的概率;

(2)求甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率。

解（1）（2）(3)幾何概型

幾何概型考慮的是有無窮多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。首先看下面的例子。

例2(會(huì)面問題）甲、乙二人約定在12點(diǎn)到5點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的，且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。解：以X,Y

分別表示甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是

即點(diǎn)M落在圖中的陰影部分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形，即有無窮多個(gè)結(jié)果。由于每人在任一時(shí)刻到達(dá)都是等可能的，所以落在正方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的。012345yx54321.M(X,Y)二人會(huì)面的條件是：

012345yx54321y-x=1y-x=-13、條件驗(yàn)概率設(shè)A、B是某隨機(jī)霉試驗(yàn)中的脆兩個(gè)事件完，且則稱事件B在事件A已發(fā)生顫的條件婦下的概讀率為B在A之下的條斗件概率，站記為(1)條件概率例3盒中有4揉個(gè)外形相邪同的球，圖它們的標(biāo)裁號(hào)分別為1、海2、3玩、4，澡每次從強(qiáng)盒中取名出一球蜻，有放回地取洪兩次．則該試?yán)弪?yàn)的所題有可能泥的結(jié)果賺為(1,窯1)餅(1圾,2)甜(碌1,3微)侮(1,乒4)(2,蹤蝶1)沃(2滑,2)花(蔽2,3馳)黨(2,六4)(3,蹄1)忍(3作,2)難(黃3,3索)螺(3,家4)(4,睡1)勞(4燭,2)惹(當(dāng)4,3獅)營(yíng)(4,命4)其中(i,j)表示第固一次取i號(hào)球，辨第二次串取j號(hào)球設(shè)A={第一次折取出球額的標(biāo)號(hào)蹄為2習(xí)}B={取出的餐兩球標(biāo)際號(hào)之和音為4蓄}則事件B所含的樣葡本點(diǎn)為(1,陣3)吩(2慢,2)壘(趙3,1潤(rùn))因此事板件B的概率華為:若我們漏考慮在央事件A發(fā)生的到條件下痰，事件B發(fā)生的收概率并席記此概弱率為:由于已屢知事件A已經(jīng)發(fā)生脊，則該試屢驗(yàn)的所有燙可能結(jié)果迅為(2,勒1)忽(2吊,2)村(吧2,3言)兄(2,臭4)這時(shí)，照事件B是在事箱件A已經(jīng)發(fā)坊生的條憂件下的閉概率，礎(chǔ)因此這苗時(shí)所求冠的概率滅為注：由例1可愉以看出，展事件在“艙條件A已發(fā)生這腸附加條件喊的概率與姑不附加這由個(gè)條件的擴(kuò)概率是不影同的．由于故稱為在事鍵件A已發(fā)生的壟條件下事心件B的條件感概率，紐奉簡(jiǎn)稱為B在A之下的假條件概勞率。在例5中，我課們已求權(quán)得定義設(shè)A、B是某隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且則例5已知某家而庭有3個(gè)狀小孩，且裝至少有一吐個(gè)是女孩天，求該家征庭至少有筒一個(gè)男孩漫的概率．則所以解：設(shè)A={緊3個(gè)小孩至當(dāng)少有一個(gè)援女孩}B={揀3個(gè)小孩至扛少有一個(gè)思男孩}(2)乘法公式由條件爸概率的洽計(jì)算公減式我們得這就是兩雖個(gè)事件的盼乘法公式括．則有這就是n個(gè)事件的枯乘法公式憶．例6袋中有一蔑個(gè)白球與史一個(gè)黑球潑，現(xiàn)每次坦從中取出啄一球，若撓取出白球間，則除把賺白球放回斑外再加進(jìn)罩一個(gè)白球析，直至取湖出黑球?yàn)榉轮梗笕〉ち薾次都未取遼出黑球的診概率．解：則由乘法逗公式，狗我們有(3）全概率素公式和貝歐葉斯公式SA1A2An…..材.BA1BA2…...BAn

定義設(shè)S

為試驗(yàn)E

的樣本空間，

為E的一組事件。若滿足(1)(2)則稱為樣本空間S的一個(gè)劃分。

1)全概率公狼式：設(shè)隨機(jī)演事件滿足：全概率汽公式的冊(cè)使用我們把花事件B看作某一絲式過程的結(jié)勻果，根據(jù)歷史造資料，每蒜一原因發(fā)檢生的概率婦已知，而且每一壓原因?qū)Y(jié)氧果的影響讀程度已知蜓，則我們擦可用全這概率公誕式計(jì)算棟結(jié)果發(fā)浴生的概她率．例8某小組有嫩20名射娛手，其中窄一、二、胞三、四級(jí)膛射手分別鈔為2、6甜、9、3貴名．又若注選一、二配、三、四軌級(jí)射手參畜加比賽，糠則在比賽朽中射中目譯標(biāo)的概率嫂分別為0膝.85、巷0.64戰(zhàn)、0.4貫5、0.料32，今綢隨機(jī)選一普人參加比危賽，試求跨該小組在煩比賽中射奧中目標(biāo)的急概率．解：由全概塵率公式滿，有2)貝葉斯斗公式設(shè)隨機(jī)事狼件滿足則貝葉斯目公式的尚使用我們把事等件B看作某一糾過程的結(jié)丑果，根據(jù)歷史或資料，每務(wù)一原因發(fā)防生的概率京已知，而且每智一原因絹對(duì)結(jié)果涼的影響堡程度已蒙知，如果已洞知事件B已經(jīng)發(fā)煌生，要粒求此時(shí)沫是由第i個(gè)原因引種起的概率糠，則用Baye嬌s公式例9用某種方佛法普查肝稍癌，設(shè)：A={用此方縱法判斷示被檢查娃者患有律肝癌設(shè)}，D={被檢查遍者確實(shí)編患有肝壁癌}廢，已知現(xiàn)有一運(yùn)人用此逗法檢驗(yàn)攔患有肝丙癌，求辨此人真民正患有痛肝癌的煉概率．例9（續(xù)）解：蓬由桌已知，懷得所以，由Baye舉s公式，怕得例11袋中有a只黑球，b只白球．擔(dān)每次從中妨取出一球，取后斥放回．令萄：A={第一次取箏出白球}，B={第二次礙取出白弦球}，則4.兩事件謙的獨(dú)立辨性所以，厭由由例11，可知這表明涉，事件A是否發(fā)葵生對(duì)事側(cè)件B是否發(fā)皆生在概閘率上是嘩沒有影婆響的，端即事件A與B呈現(xiàn)出標(biāo)某種獨(dú)販立性．辰事實(shí)上航，由于進(jìn)是有放溝回摸球寸，因此更在第二侍次取球斑時(shí)，袋赴中球的區(qū)總數(shù)未肅變，并手且袋中澆的黑球輝與白球貪的比例膊也未變到，這樣補(bǔ)，在第關(guān)二次摸燃出白球晌的概率誦自然也兇未改變素．由此，我萌們引出事留件獨(dú)立性梅的概念定義:設(shè)A、B是兩個(gè)淡隨機(jī)事描件，如隸果