斐波那契數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法

斐波那契數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法第1頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一一、與斐波那契有關(guān)的事實第2頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一

1、斐波那契和“兔子問題”

第3頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一意大利數(shù)學(xué)家(約1170-約1250年)，12、13世紀(jì)歐洲數(shù)學(xué)界的代表人物，生于比薩。他的書保存下來的共有5種。最重要的是《算盤書》（1202年完成，1228年修訂），其中最耐人尋味的是，這本書出現(xiàn)了中國《孫子算經(jīng)》中的不定方程解法。另一個「兔子問題」也引起了后人的極大興趣。這數(shù)列與后來的「優(yōu)選法」有密切關(guān)系。第4頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一「兔子問題」：假定一對大兔子每一個月可以生一對小兔子，而小兔子出生后兩個月就有生殖能力．問從一對大兔子開始，一年后能繁殖成多少對兔子？這就產(chǎn)生了斐波那契數(shù)列：1，2，3，5，8，13，21，34…1，第5頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一2、介紹斐波那契數(shù)列的應(yīng)用和植物生長的有趣現(xiàn)象

第6頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一數(shù)學(xué)家澤林斯基在一次國際數(shù)學(xué)會議上提出樹木生長的問題：如果一棵樹苗在一年以后長出一條新技，然后休息一年．再在下一年又長出一條新枝，并且每一條樹枝都按照這個規(guī)律長出新枝．那么第1年它只有主干1枝，第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5年有8枝等等.每年的分枝數(shù)順次組成的數(shù)列符合斐波那契數(shù)列（除第一項外）

植物生長的螺旋現(xiàn)象等

它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用。第7頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一3、概括斐波那契數(shù)列的特征，寫出遞推關(guān)系第8頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一其規(guī)律是從第三項起，每一項都是前兩項的和．用遞推公式表達(dá)就是：

1,1,2,3,5,8,13,21,34,…第9頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一4、斐波那契數(shù)列通項公式的發(fā)現(xiàn)與證明

第10頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一1680年意大利──法國學(xué)者卡西尼發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的某個重要關(guān)系式。1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項表達(dá)式19世紀(jì)初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明這一表達(dá)式，現(xiàn)在稱為之為比內(nèi)公式。1963年美國還創(chuàng)刊《斐波那契季刊》來專門研究斐波那契數(shù)列。第11頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一二、設(shè)計問題，發(fā)現(xiàn)公式的推導(dǎo)方法第12頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一問題一

已知數(shù)列{}滿足求數(shù)列{}的通項公式。問題二

已知數(shù)列{}滿足數(shù)列{}滿足：=+1；（1）求證：數(shù)列{}為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的通項公式。第13頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一問題一的解答=3×1+2=5，=3×5+2=17，=3×17+2=53，…無法繼續(xù)下去。思路一：第14頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一第15頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一第16頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一第17頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一概括出這類數(shù)列的一般特征和解法：第18頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一第19頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一思路一：用計算、猜想、證明的方法(略)第20頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一三、斐波那契數(shù)列通項公式的推導(dǎo)方法第21頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一第22頁，共25頁，2023年，2月20日，星期一解法推廣：第23頁，共25頁，2023年，2月20日