彈性力學(xué)之薄板彎曲問題

第一節(jié)有關(guān)概念及計(jì)算假定第二節(jié)彈性曲面的微分方程第三節(jié)薄板橫截面上的內(nèi)力第四節(jié)邊界條件扭矩的等效剪力第五節(jié)四邊簡(jiǎn)支矩形薄板的重三角級(jí)數(shù)解第六節(jié)矩形薄板的單三角級(jí)數(shù)解第七節(jié)矩形薄板的差分解第八節(jié)圓形薄板的彎曲第九節(jié)圓形薄板的軸對(duì)稱彎曲例題第九章薄板彎曲問題薄板是厚度遠(yuǎn)小于板面尺寸的物體。§9-1有關(guān)概念及計(jì)算假定定義薄板的上下平行面稱為板面。薄板的側(cè)面，稱為板邊。平分厚度的面,稱為中面。比較薄板受到橫向荷載（⊥板面）的作用--

薄板的彎曲問題。薄板受到縱向荷載（∥板面）的作用--

平面應(yīng)力問題；桿件受到橫向荷載（⊥桿軸）的作用--

梁的彎曲問題。桿件受到縱向荷載（∥桿軸）的作用--

桿件的拉壓?jiǎn)栴}；

薄板彎曲問題屬于空間問題。其中，根據(jù)其內(nèi)力及變形的特征，又提出了3個(gè)計(jì)算假定，用以簡(jiǎn)化空間問題的基本方程，并從而建立了薄板的彎曲理論。特點(diǎn) 當(dāng)薄板彎曲時(shí)，中面所彎成的曲面，稱為薄板的彈性曲面。定義小撓度薄板--這種板雖然薄，但仍有相當(dāng)?shù)目箯潉偠取Ｋ奶卣魇牵?3)在內(nèi)力中，僅由橫向剪力與橫向荷

載q成平衡，縱向軸力的作用可以不計(jì)。(2)在中面位移中,w是主要的，而縱向位

移u,v很小，可以不計(jì)；(1)具有一定的剛度，橫向撓度；1.

垂直于中面的線應(yīng)變可以不計(jì)。取，由，得 故中面法線上各點(diǎn)，都具有相同的橫向位移，即撓度w。

本章研究小撓度薄板的彎曲問題。

根據(jù)其內(nèi)力和變形特征，提出了3個(gè)計(jì)算假定：計(jì)算假定彎應(yīng)力（合成彎矩）及扭應(yīng)力（合成扭矩）橫向切應(yīng)力（合成橫向剪力）擠壓應(yīng)力

2.

次要應(yīng)力分量遠(yuǎn)小于其他應(yīng)力分量，它們引起的形變可以不計(jì)。薄板中的應(yīng)力與梁相似，也分為三個(gè)數(shù)量級(jí)：

所以為次要應(yīng)力，為更次要應(yīng)力。略去它們引起的形變，即得并在空間問題的物理方程中，略去引起的形變項(xiàng)。因此，當(dāng)略去后，薄板彎曲問題的物理方程為

(1)在薄板彎曲問題中，略去了次要應(yīng)力引起的形變;但在平衡條件中，仍考慮它們的作用。說明：⑵薄板彎曲問題的物理方程(b)與平面應(yīng)力問題的物理方程相同。但沿板厚方向，對(duì)于平面應(yīng)力問題的應(yīng)力為均勻分布，合成軸力而薄板彎曲問題的應(yīng)力為線性分布，在中面為0，合成彎矩和扭矩。⑶從計(jì)算假定1、2，得出故中面法線在薄板彎曲時(shí)保持不伸縮，并且成為彈性曲面的法線。因此，中面在變形后，其線段和面積在xy面上的投影形狀保持不變。由于故3.中面的縱向位移可以不計(jì)，即實(shí)踐證明，只要是小撓度的薄板，薄板的彎曲理論就可以應(yīng)用，并具有足夠的精度。類似于梁的彎曲理論，在薄板彎曲問題中提出了上述3個(gè)計(jì)算假定，并應(yīng)用這3個(gè)計(jì)算假定,簡(jiǎn)化空間問題的基本方程，建立了小撓度薄板彎曲理論。 1.試考慮在材料力學(xué)梁的彎曲問題中，是否也應(yīng)用了這3個(gè)計(jì)算假定？2.在材料力學(xué)的梁彎曲問題中，采用了平面截面假設(shè)。在薄板中有否采用此假設(shè)？思考題§9-2彈性曲面的微分方程

本節(jié)從空間問題的基本方程出發(fā)，應(yīng)用3個(gè)計(jì)算假定進(jìn)行簡(jiǎn)化，導(dǎo)出按位移求解薄板彎曲問題的基本方程。薄板問題解法2.將其他未知函數(shù)─縱向位移u,v；主要應(yīng)變分量;主要應(yīng)力分量；次要應(yīng)力分量及最次要應(yīng)力均用w來表示。

薄板彎曲問題是按位移求解的，主要內(nèi)容是：

4.導(dǎo)出板邊的邊界條件。3.導(dǎo)出求解w的方程。

1.取撓度w(x,y)為基本未知函數(shù)。

具體推導(dǎo)如下：

1.取撓度為基本未知函數(shù)。應(yīng)用幾何方程及計(jì)算假定1，2.

將，用表示。應(yīng)用幾何方程及計(jì)算假定2，得對(duì)積分，又由計(jì)算假定3，

故得3.主要應(yīng)變用表示。

應(yīng)用其余三個(gè)幾何方程，并代入(a)，得：(b)4.主要應(yīng)嘗力果用顫表示。應(yīng)用薄板啟的三個(gè)物習(xí)理方程及稱式(b)，得碑：(c)5.次要應(yīng)郊力錫用都表示。應(yīng)用平衡奇微分方程載的前兩式動(dòng)（其中縱向體力狗）茄，有代入式(c)，并白對(duì)z積分，播得：其中因?yàn)樯舷掳迥γ媸谴筮厾C界，必敞須精確滿足提應(yīng)力邊界貪條件由此求奮出非及子，代橋入得到6.更次要陷應(yīng)力芬用貿(mào)表示悲。應(yīng)用第三柏個(gè)平衡微水分方程，誼將體力及線板面上的盒面力等效當(dāng)?shù)匾浦玫阶笊习迕妫橛写胧?d)，并對(duì)z積分，得由下板面的俯邊界條件求出潔，故請(qǐng)更次要?jiǎng)?yīng)力為7.導(dǎo)出求寧解w的基本方巨程。由上板面邊烏界條件（屬于靜愁力平衡條舍件）得出在A域中求w的方程，(f)(g)為薄板的境抗彎剛汗度求w方顧程說明：⑴在三個(gè)樓計(jì)算假稻定下，縱向位攜移u,v；主要應(yīng)嘉變吊；主要應(yīng)力晉；沿誰z向均妙為線性屠分布，在漿中面趕為0治；次要應(yīng)力蓮（橫向切傳應(yīng)力）帝沿z向?yàn)閽佄锞€分盟布；－－均與夾材料力學(xué)鼠相似。更次要偏應(yīng)力（驚擠壓應(yīng)臥力）苦沿z為三次曲線分揮布。⑵按膜位移求送解薄板伶彎曲問意題，只達(dá)取振為基本未知束函數(shù)。在炎導(dǎo)出求筑的基奸本方程中應(yīng)用拒了3個(gè)計(jì)陪算假定，規(guī)與材料力學(xué)解梁煩的彎曲傻問題相夢(mèng)似。⑶從上述推曾導(dǎo)過程可針見,空間問題揮的6個(gè)幾食何方程，庸6個(gè)物理越方程和3皇個(gè)平衡微理分方程都貓已考慮并斬滿足（其中應(yīng)勒用了3個(gè)形計(jì)算假定梨）；并且間在（福）的大邊界膛板面上，3個(gè)應(yīng)坑力邊界觸條件也候已精確膝滿足。⑷具只有板邊的邊退界條件尚未考慮評(píng)，它們將掏作為求解犬微分方程璃（f）的第邊界條件閱。思考題試比較六梁的彎陪曲問題貼和薄板況彎曲問區(qū)題的異遼同。薄板內(nèi)力，是薄板每單撇位寬度的才橫截面上,由哄應(yīng)力合頓成的主骨矢量和滲主矩。求薄板內(nèi)攔力的目的唯：§9-3塑薄板橫釀截面上的僚內(nèi)力⑵在免板邊（俗小邊界龍）上，盲要用內(nèi)櫻力的邊界條件捧代替應(yīng)純力的邊描界條件仰。⑴薄編板是按匠內(nèi)力設(shè)病計(jì)的；薄板內(nèi)撫力求內(nèi)力溝：取出割的六面體份，x面上，有應(yīng)力紡，饅，y面上，有應(yīng)力育，，建。其中，，=，沿z為直線分故布，在中唱面為0；，，慶沿z為二次丘分布，撥方向∥凳橫截面累。x面坑面積副上，應(yīng)力的透主矢量和衰主矩為：x面內(nèi)力─合成主狗矢量稱為橫向剪力,─合成主頃矢量為0,合成肚主矩稱制為扭矩,─合成腸主矢量死為0,合成隱主矩稱顧為彎矩,類似地即，求出y面姜面積著上的內(nèi)力臘：y面內(nèi)力彎矩扭矩橫向剪踢力內(nèi)力的正灶負(fù)號(hào)規(guī)定，根據(jù)應(yīng)純力符號(hào)確咐定:正的應(yīng)力工方向的主盯矢量為正喝;正的應(yīng)力蠟×正的矩旋臂的力矩尚方向?yàn)檎?如圖。xyz內(nèi)力符才號(hào)內(nèi)力均斜為單位枯寬度上款的主矢咳量和主似矩，所核以其量箭綱均應(yīng)坐降低一雄次長(zhǎng)度隔量綱。(e)(f)中面內(nèi)施力平衡毅條件考慮上鴉圖的中面平旨衡條件，可得母：薄板內(nèi)您力是橫占截面上捧，應(yīng)力短向中面找合成的數(shù)主矢量瞇和主矩拌。再將買用w來表示嶺，同樣表地得出顆撓曲線痰微分方乞程將前兩式撐代入后式忌，得§9－矩4邊酸界條件劇扭矩驗(yàn)的等效劫剪力薄板的邊突界條件：在上下思板面（大邊界嶄），已精束確地滿足綠了3個(gè)應(yīng)接力邊界條店件。邊界條件板邊為小糕邊界，可以應(yīng)攜用圣維南原造理來簡(jiǎn)化邊頂界條件,除將板邊的邊仍界條件歸結(jié)為中面的飼位移邊宿界條件或中面的廚內(nèi)力邊粉界條件。板邊（小邊屆界）的邊界嗓條件尚那未考慮設(shè),是求宇解撓曲央線微分湊方程的膝邊界條裹件。，可看成邀是中面的孫撓曲微分方程,倦或中面的提平衡方程蛇；邊界條醋件薄板板河邊的邊乖界條件分為三耳類：1.固定邊--若極為廣義苦固定邊，較則其中額為給定的約束才位移。若完全維固定，則固定邊(a)2.簡(jiǎn)支邊--若斜為廣義簡(jiǎn)火支邊，則其中務(wù)，綁分別蟻為給定的懇約束位移魯和彎矩。若沒，則一辜般的簡(jiǎn)支淚邊條件為簡(jiǎn)支邊故揉第二個(gè)匠條件可肯以簡(jiǎn)化型。簡(jiǎn)支萄邊的條捏件為因簡(jiǎn)支邊3.自由邊--若弄為碑一般的自鐮由邊，則上式邊界踩條件共有紡3個(gè)，與熊四階微分立方程不相閱對(duì)應(yīng)。約經(jīng)過約2前0年后，惕基爾霍夫嚴(yán)指出，薄踢板板邊上準(zhǔn)的扭矩可鍛化為等效冒的橫向剪接力。自由邊在EF=dx微分段上，總扭系矩觀，化妖為E、F上等效的排一對(duì)力岡，藏分別向下緞（E）和向上站（F）；在FG=dx微分段上，總扭山矩晨，越化為F、G上等效率的一對(duì)偏力慘，分別碗向下（F）和向葛上（G）。圖中，塊取出板邊AB（y面），扭矩的等剩效剪力在F點(diǎn)，合臘成集中獨(dú)力投,向湖下。再笑化為銜寬度翁上的分布剪力。故AB邊界總的燃分布剪力為此外，在A，B兩端，還有兩邁個(gè)未被抵什的集中剪力用撓度表哄示為因此，自由邊搬的邊界艱條件成為同理可匪導(dǎo)出衫的銜自由邊加條件。4.自由被邊交點(diǎn)的籃角點(diǎn)條件─在角乎點(diǎn)B，集中力為若B點(diǎn)有支承棗，阻止撓慎度的發(fā)生襲，則有若B點(diǎn)無支承疲，應(yīng)無集碎中力，有角點(diǎn)條愛件角點(diǎn)集錯(cuò)中力的襖正負(fù)號(hào)訂及方向限，根據(jù)鴿扭矩確勿定，見盜習(xí)題9-2。固定邊款是位移章邊界條妄件，自屠由邊是淚內(nèi)力邊被界條件努，簡(jiǎn)支駕邊是混增合邊界臨條件。小撓度薄棟板的彎曲奮問題，已改經(jīng)歸結(jié)為仇求解撓度w，w應(yīng)滿足撓曲線微躍分方程和板邊的伐邊界條儉件?！?－姓5四榨邊簡(jiǎn)支懲矩形薄雜板錄的重三背角級(jí)數(shù)弊解求w條件對(duì)于四邊簡(jiǎn)數(shù)支的矩形板，邊界邪條件為(b)四邊簡(jiǎn)支納維將w表示為重三角友級(jí)數(shù)，其中m，n為正整數(shù)桿。代入式(b)，郵全部邊界霸條件滿足粘。將q(x,y)也斗展為重三帶角級(jí)數(shù)，再代入式竹(a)，液得將q代入上寺式，比弄較兩邊館系數(shù)，克得納維解喊答是用伴多種正叔弦波形的疊加登來表示樣撓度w的。對(duì)嚴(yán)于各種鍋形式的局荷載q，均可方鎖便地求出天解答。它濫的主要是棄，只能適用于仆四邊簡(jiǎn)支功的薄板。當(dāng)q為集中狂荷載F，作用于響一點(diǎn)練時(shí)，可用深代替q，并且膨只在化處的微據(jù)分面積坊上存在意，其余爬區(qū)域q=0，逆于是累中當(dāng)q為均布床荷載時(shí)最，盛代入灰式(輕f)，雪便可求焰出菊，幣并得出w解答。設(shè)矩形板的抹兩對(duì)邊克為簡(jiǎn)支毛邊，其余兩僻邊為任意壘邊界?！?－6伙矩形薄榴板的單三紐奉角級(jí)數(shù)解兩對(duì)邊咽簡(jiǎn)支其中但是待濁定的函數(shù)染，m為正整宰數(shù)。式綱(a)晚已滿足桑了創(chuàng)的簡(jiǎn)究支邊條陰件,萊維采孕用單三角牲級(jí)數(shù)表示撓繳度，將式(忙a)代脊入撓曲社線微分爺方程，僅得兩對(duì)邊啟簡(jiǎn)支將傲也展開獲為單三權(quán)角級(jí)數(shù)災(zāi)，兩對(duì)邊簡(jiǎn)縫支代入式(信b)，比叨較系數(shù)，連得出求距的賺常微分方秀程，其中感為式(灣d)的特革解；其余窄四項(xiàng)為齊扮次方程的固通解。將租代入式秀(a)，園得w解，其敢中的系數(shù)塑由其余仰兩邊界蝕條件來怎確定。式(d含)的解爬為書中列里舉了受釋均布荷銅載傲?xí)r乒,四邊呆簡(jiǎn)支板非的解答挨。矩形薄緊板應(yīng)用步重三角尸級(jí)數(shù)和阿單三角袖級(jí)數(shù)求燙解，是教非常重路要的解觀法。下葬面我們進(jìn)一步說明幾你點(diǎn)。從求解無薄板彎皆曲問題微來看，展兩者比貍較如下：適用性四邊簡(jiǎn)支炸兩伍對(duì)邊簡(jiǎn)支香，另兩邊辱可任意求解較困難，評(píng)須求解系濃數(shù)收斂性慢貍快應(yīng)用局限于四邊簡(jiǎn)詢支頌可推廣但應(yīng)用到胳其他各殼種邊界納維解法儉萊維解法簡(jiǎn)便2.應(yīng)用疊加方法，可將截萊維提吉出的單停三角級(jí)數(shù)刑解，用標(biāo)于解決各種矩形薄情板的邊界條件問河題。3.納維解法自和萊維解爛法，不僅串在薄板的驕靜力（彎曲桑）問題中稠得到了廣巷泛的應(yīng)用布，而且可以騙推廣應(yīng)用脆于薄板的撕動(dòng)力、穩(wěn)王定問題,俗以及能稍量法中閃。1.試考闊慮四邊固網(wǎng)定的矩形未板，受任踐意荷載鼓，如何引應(yīng)用萊維磁法求解？2.試考紹慮一邊固剪定三邊自能由的矩形鞭板，受任殖意荷載宋，如何崖應(yīng)用萊維懲法求解？思考題應(yīng)用差分法求解薄板獻(xiàn)彎曲問題樂，是比較呈簡(jiǎn)便的。首先將撓曲線甚微分方益程變換為傾差分方情程,插分方程§9－伸7矩源形板的繳差分解對(duì)血點(diǎn)傷，即固定邊和奴簡(jiǎn)支邊附閱近的w值，如柴下圖所合示。若AB為簡(jiǎn)支邊，對(duì)于o點(diǎn)，若AB為固定邊，則對(duì)于o點(diǎn)，(a)塊固定邊(b)簡(jiǎn)支邊對(duì)于自由邊的情形，甘邊界點(diǎn)的w值是未保知數(shù)，再須列式睡(a)排的差分進(jìn)方程，岸其中涉災(zāi)及邊界承外一、師二行虛閑結(jié)點(diǎn)的w值，用自椒由邊的邊石界條件來爐表示，所黃以求解時(shí)峰比較麻煩您。對(duì)于具裙有支承邊（簡(jiǎn)支苗邊，固保定邊）臟的矩形傻板，每輕一內(nèi)結(jié)驕點(diǎn)的w值為未知演數(shù)，對(duì)每假一內(nèi)結(jié)點(diǎn)唱應(yīng)列式(棚a)的方餃程。其中縱涉及邊界澇點(diǎn)和邊界逐外一行虛賣結(jié)點(diǎn)的w值，如設(shè)式(b書)或(三c)所罰示。例1四邊簡(jiǎn)支蟲的正方形掃薄板，促，受到均務(wù)布荷載抵的補(bǔ)作用，桌試取名的網(wǎng)富格，如圖，用泳差分法求目解薄板中襲心點(diǎn)的撓測(cè)度和內(nèi)力（取折）。2121012120網(wǎng)格精確解答案:例2同上題弟，但四個(gè)曾邊界均戶為固定簡(jiǎn)邊。網(wǎng)格精確解答案:總之，對(duì)性于具有支惜承邊的矩結(jié)形板，采萍用差分法綿求解是十戰(zhàn)分簡(jiǎn)便有綁效的，取肯較少的網(wǎng)辮格便可求蘋得精度較旱好的撓度籍值w。而由w求內(nèi)力時(shí)寬，因?yàn)閷?duì)疊近似解w求導(dǎo)數(shù)后案會(huì)降低精北度，所以何須適當(dāng)?shù)亓艏用芫W(wǎng)格管。對(duì)于的的正批方形薄昆板，受愁均布荷臘載作用，腳試取敏的狂網(wǎng)格，偽分別求佳解下列邊界問朽題的中心訓(xùn)點(diǎn)撓度，械并進(jìn)行比副較：邊（1穴）四邊勿簡(jiǎn)支；（2）鑄三簡(jiǎn)支說，一邊顛固定；思考題（3）研兩對(duì)邊較簡(jiǎn)支，鳥另兩對(duì)逮邊固定縱；（4）兩教鄰邊簡(jiǎn)支醫(yī)，另兩鄰石邊固定；（5）降一邊簡(jiǎn)享支，三勸邊固定系；（6）含四邊固刃定?！?－優(yōu)8圓款形薄板丘的彎曲圓板彎曲豬問題的方贈(zèng)程和公式花，都可以嘴從直角坐螺標(biāo)系的方駛程和公式莫導(dǎo)出。1.撓曲微分糕方程仍為其中圓板方送程將對(duì)x，y的導(dǎo)數(shù)變器換為對(duì)蟻的呀導(dǎo)數(shù)，并組代入討，糾得2.內(nèi)力公四式--類似地可妖利用公式疊，例如，內(nèi)力公雁式同樣，得斗出類似地，差橫截面上構(gòu)的總剪力為3.邊界條番件可以表示濫為⑵設(shè)告為簡(jiǎn)支邊，則⑴設(shè)膨?yàn)楣潭ㄟ?，則邊界條件前一條故件使w對(duì)的映導(dǎo)數(shù)在誘邊界上均為0，故簡(jiǎn)支寺邊條件為⑶設(shè)臨為自由邊，則若圓板的荷糠載q和邊界唇條件均飾為軸對(duì)僵稱，則薄逆板的撓度和內(nèi)啄力必然也皆為軸對(duì)稱。所以有§9－9相圓形薄適板的軸對(duì)背稱彎曲撓曲微分麥方程為軸對(duì)稱宗彎矩對(duì)于無孔板，則除2個(gè)外邊界恥條件外，填還應(yīng)考慮紋撓度和內(nèi)齒力在踢的倆有限值條別件，所以得暖。式(a輪)的全解為對(duì)于有孔板，由內(nèi)統(tǒng)外邊界顧共4個(gè)邊界條用件來確定證。通解的系隊(duì)數(shù)段由隨邊界條件把來確定：其中特解為邊界條件上述的軸鋸對(duì)稱解答懲(b)，浴是軸對(duì)稱零彎曲的一廣般解，可徐以應(yīng)用于蒜一切軸對(duì)綠稱彎曲問澤題。讀者揭可參考教浩科書的解趴答和有關(guān)讓力學(xué)手冊(cè)寇。第九章調(diào)例題例題1例題2例題3例題4例題5例題受均布雀荷載蕩作用，孩如圖，饒?jiān)嚽笃鋼隙群褪韮?nèi)力。固定邊質(zhì)橢圓板饞的邊界隸方程為Oabyx例題1由象，顯然命。幸因此，從般方向解：固定淡邊的邊餡界條件厭是(a)(b)導(dǎo)數(shù)的公喉式可推出戀，為了滿足漂邊界條件部(a)，炸可以令便可滿聲足式(賄a)的偶邊界條矛件。對(duì)于均布搬荷載集，將式(熄c)代入床方程得出貸，認(rèn)并從而得因此，聞只需取(c)內(nèi)力塵為讀者可以護(hù)檢驗(yàn)，最大和擇最小彎蹄矩分別為當(dāng)乞時(shí)溝，便由市上述解議得出圓澇板的解麥答;辰若令著則橢圓漁板成為拔跨度為朋的平粘面應(yīng)變順問題的挑固端梁擋。四邊簡(jiǎn)吼支矩形喝板，如秘圖，受亞有分布偶荷載的作用凱，試用昌重三角甩級(jí)數(shù)求壁解其撓哀度。例題2解：將行代入積攜分式，由三角函侄數(shù)的正交餐性，及得代入頂，得撓丙度的表達(dá)汽式為四邊簡(jiǎn)胃支