2023屆新疆克拉瑪依市第十三中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為b，若13a=7b，則m＝()A．5 B．6 C．7 D．82．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（）A． B．C． D．3．某品牌小汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量（升）關(guān)于行駛速度（千米/時(shí)）的函數(shù)解析式為.若要使該汽車行駛200千米時(shí)的油耗最低，則汽車勻速行駛的速度應(yīng)為（）A．60千米/時(shí) B．80千米/時(shí) C．90千米/時(shí) D．100千米/時(shí)4．二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣155．定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)的的個(gè)數(shù)是（）A．9 B．10 C．11 D．126．給出下列三個(gè)命題：①“若，則”為假命題；②若為真命題，則,均為真命題；③命題，則.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．37．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知集合，，則（）A． B． C． D．9．從名學(xué)生中選取名組成參觀團(tuán)，若采用下面的方法選取：先用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從人中剔除人，剩下的人再按系統(tǒng)抽樣的方法進(jìn)行.則每人入選的概率()A．不全相等 B．均不相等 C．都相等，且為 D．都相等，且為10．一個(gè)空間幾何體的三規(guī)圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．11．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，，當(dāng)時(shí)，則（）A． B．3 C． D．412．某地區(qū)高考改革，實(shí)行“”模式，即“”指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，“”指在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，“”指在物理、歷史兩門科目中必選一門，則一名學(xué)生的不同選科組合有多少種？（）A．種 B．種 C．種 D．種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓：的離心率為，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊、、的中點(diǎn)分別為、、，且三條邊所在直線的斜率分別、、，且、、均不為.為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線、、的斜率之和為，則______.14．已知，且的實(shí)部為，則的虛部是________.15．在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)并且與極軸垂直的直線方程是__________．16．已知函數(shù)，則在處的切線方程為_______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），設(shè)點(diǎn)，直線與曲線相交于兩點(diǎn)，求的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，且，，，，，，.（1）證明：平面；（2）求四棱錐的體積.19．（12分）若正數(shù)滿足，求的最小值.20．（12分）已知非零向量，且，求證：．21．（12分）已知的展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是．（Ⅰ）求展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；（Ⅱ）求展開式中中間項(xiàng)．22．（10分）在一個(gè)圓錐內(nèi)作一個(gè)內(nèi)接等邊圓柱（一個(gè)底面在圓錐的底面上，且軸截面是正方形的圓柱），再在等邊圓柱的上底面截得的小圓錐內(nèi)做一個(gè)內(nèi)接等邊圓柱，這樣無(wú)限的做下去.（1）證明這些等邊圓柱的體積從大到小排成一個(gè)等比數(shù)列；（2）已知這些等邊圓柱的體積之和為原來(lái)圓錐體積的，求最大的等邊圓柱的體積與圓錐的體積之比.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：由題意可知,,,即,,解得．故B正確．考點(diǎn)：1二項(xiàng)式系數(shù)；2組合數(shù)的運(yùn)算．2、C【解析】

，函數(shù)f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∵f(3)=ln3-1＞0，f(e)=lne-=1-＜0，∴f(3)·f(e)＜0，∴在區(qū)間（e，3）內(nèi)函數(shù)f(x)存在零點(diǎn).故選C.3、C【解析】分析：先設(shè)速度為x千米/小時(shí)，再求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，再利用導(dǎo)數(shù)求其最小值.詳解：當(dāng)速度為x千米/小時(shí)時(shí)，時(shí)間為小時(shí)，所以f(x)=所以令當(dāng)x∈（0,90）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（90,120）時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.所以x=90時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值.故答案為C.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.(2)如果求函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的最值，則必須通過(guò)求導(dǎo)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，最后確定函數(shù)的最值．4、A【解析】

化簡(jiǎn)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算的系數(shù)，從而得出正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，即，故常數(shù)項(xiàng)為，選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

由，得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察圖像即可．【詳解】由于，所以，函數(shù)的周期為，且函數(shù)為偶函數(shù)，由，得出，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)與函數(shù)的圖象如下圖所示，由圖象可知，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)與函數(shù)在上沒(méi)有交點(diǎn)，結(jié)合圖像可知，函數(shù)與函數(shù)圖象共有11個(gè)交點(diǎn)，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，有兩種做法：一是代數(shù)法，解代數(shù)方程；二是圖象法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，在畫函數(shù)的圖象是，要注意函數(shù)的各種性質(zhì)，如周期性、奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)的體現(xiàn)，屬于中等題．6、B【解析】試題分析：①若，則且，所以①正確；②若為真命題，則，應(yīng)至少有一個(gè)是真命題，所以②錯(cuò)；③正確．考點(diǎn)：1.四種命題；2.命題的否定．7、B【解析】

求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)得到答案.【詳解】單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)區(qū)間上是單調(diào)遞減不滿足只能區(qū)間上是單調(diào)遞增.故故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，排除單調(diào)遞減的情況是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】

先求解絕對(duì)值不等式得到集合A，然后直接利用交集運(yùn)算可得答案?！驹斀狻拷猓阂?yàn)椋裕?，所以集合，又因?yàn)?，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值不等式及交集運(yùn)算，較基礎(chǔ).9、C【解析】

按系統(tǒng)抽樣的概念知應(yīng)選C，可分兩步：一是從2018人中剔除18留下的概率是，第二步從2000人中選50人選中的概率是，兩者相乘即得．【詳解】從2018人中剔除18人每一個(gè)留下的概率是，再?gòu)?000人中選50人被選中的概率是，∴每人入選的概率是．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查隨機(jī)抽樣的事件與概率，在這種抽樣機(jī)制中，每個(gè)個(gè)體都是無(wú)差別的個(gè)體，被抽取的概率都相等．10、B【解析】

根據(jù)三視圖得知該幾何體是四棱錐，計(jì)算出四棱錐的底面積和高，再利用錐體體積公式可得出答案．【詳解】由三視圖可知，該幾何體是四棱錐，底面是矩形，其面積為，高為，因此，該幾何體的體積為，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及簡(jiǎn)單幾何體體積的計(jì)算，要根據(jù)三視圖確定幾何體的形狀，再根據(jù)體積公式進(jìn)行計(jì)算，考查空間想象能力與計(jì)算能力，屬于中等題．11、D【解析】

根據(jù)奇偶性和可知關(guān)于軸和對(duì)稱，由對(duì)稱性和周期性關(guān)系可確定周期為，進(jìn)而將所求函數(shù)值化為，代入可求得結(jié)果.【詳解】，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱；，關(guān)于直線對(duì)稱；是周期為的周期函數(shù)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值的問(wèn)題，涉及到函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和周期性的應(yīng)用；關(guān)鍵是能夠熟練掌握對(duì)稱性和周期性的關(guān)系，準(zhǔn)確求得函數(shù)的周期性.12、B【解析】

根據(jù)題意，分步進(jìn)行分析該學(xué)生在“語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門”、“化學(xué)、生物、政治、地理四門”、“物理、歷史兩門”中的選法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分3步進(jìn)行分析：①語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三門必考科目，有1種選法；②在化學(xué)、生物、政治、地理四門科目中必選兩門，有種選法；③在物理、歷史兩門科目中必選一門，有種選法；則這名學(xué)生的不同選科組合有種.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求出橢圓方程，設(shè)出的坐標(biāo)，利用橢圓中的結(jié)論：，，，結(jié)合直線的斜率之和為進(jìn)行運(yùn)算.【詳解】因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，又，，，所以，，，所以.故答案為：-2【點(diǎn)睛】解析幾何小題若能靈活利用一些二級(jí)結(jié)論，能使問(wèn)題的求解更簡(jiǎn)便，計(jì)算量更小，本題等三個(gè)結(jié)論均可利用設(shè)而不求點(diǎn)差法證出.14、【解析】

根據(jù)的實(shí)部為，設(shè)，然后根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)榈膶?shí)部為，設(shè)，又因?yàn)?，所以，解得，故的虛部?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意畫出圖形，結(jié)合三角形中的邊角關(guān)系得答案．【詳解】如圖，由圖可知，過(guò)點(diǎn)（1，0）并且與極軸垂直的直線方程是ρcosθ＝1．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題．16、【解析】

求導(dǎo)數(shù)，令，可得，求出，即可求出切線方程?！驹斀狻浚?；又；在處的切線方程為，即；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）聯(lián)立直線線l的參數(shù)方程與曲線C方程，巧解韋達(dá)定理表示，解得其值.試題解析：（1）由曲線C的原極坐標(biāo)方程可得，化成直角方程為．（2）聯(lián)立直線線l的參數(shù)方程與曲線C方程可得，整理得，∵，于是點(diǎn)P在AB之間，∴．點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為(t為參數(shù))，t的幾何意義是直線上的點(diǎn)P到點(diǎn)P0(x0，y0)的數(shù)量，即t＝|PP0|時(shí)為距離．使用該式時(shí)直線上任意兩點(diǎn)P1，P2對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2，則|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為(t1＋t2)18、（1）見解析（2）【解析】

（1）先證明，，再證明平面；（2）連接，求出AC,CB的長(zhǎng)，再求四棱錐的體積.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，，所以，即，同理可得，因?yàn)椋云矫?（2）解：連接，，，..【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直關(guān)系的證明，考查錐體的體積是計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.19、【解析】試題分析：由柯西不等式得，所以試題解析：因?yàn)榫鶠檎龜?shù)，且，所以．于是由均值不等式可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立．從而．故的最小值為．此時(shí)．考點(diǎn)：柯西不等式20、證明見解析【解析】

?．同時(shí)注意，，將要證式子等價(jià)變形，用分析法即可獲證．【詳解】解：∵∴，要證，只需證，只需證，只需證，只需證0，即，上式顯然成立，故原不等式得證．【點(diǎn)睛】用分析法證明，即證使等式成立的充分條件成立．注意應(yīng)用條件?和．21、（Ⅰ）64；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)展開式中第五項(xiàng)的系數(shù)與第三項(xiàng)的系數(shù)的比是求出的值，然后可求各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；（Ⅱ）根據(jù)的值確定中間項(xiàng)，利用通項(xiàng)公式可求.【詳解】解：由題意知，展開式的通項(xiàng)為：，且，則第五項(xiàng)的系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為，則有，化簡(jiǎn)，得，解得，展開式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和；由（1）知，展開式共有7項(xiàng)，中間項(xiàng)為第4項(xiàng)，令，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)展開式的系數(shù)及特定項(xiàng)求解，通項(xiàng)公式是求解這類問(wèn)題的鑰匙，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).22、（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）求出第一個(gè)等邊圓柱的體積，設(shè)第個(gè)等邊圓柱的底面半徑為，其外接圓錐的底面半徑為，高為，則其體積，進(jìn)一步求得第個(gè)等邊圓柱的體積，作比可得這些等邊圓柱的體積從大到小排成一個(gè)等比數(shù)列；（2）由這些等邊圓柱的體積之和為原來(lái)圓錐體積的可得與的關(guān)系，則答案可求．【詳解】（1）證