高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 數(shù)列（綜合訓(xùn)練）（解析版）

2/8專題二數(shù)列綜合訓(xùn)練一、選擇題1.已知數(shù)列3,7,11,15,…,則53是該數(shù)列的第()項(xiàng).A.17 B.18 C.19 D.20【答案】C【解析】由數(shù)列的前幾項(xiàng),可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=4n-1,因?yàn)?3=2.一個項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等差數(shù)列,奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30,若最后一項(xiàng)比第一項(xiàng)大10.5,則該數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為().A.18 B.12 C.10 D.8【答案】D【解析】設(shè)共有2n項(xiàng),公差為d,則S偶-S奇=nd,又奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的和分別為24和30,∴nd=6.又a2n-a1=(2n-1)d,∴2nd-d=10.5,∴d=1.5,∴n=4,故選D.3.計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的,二進(jìn)制數(shù)即“逢二進(jìn)一”,如(1111)2表示二進(jìn)制數(shù),將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是1×23+1×22+1×21+1×20=15,那么將二進(jìn)制數(shù)(111…1)2(共2023個1)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制形式是().A.22021-1B.22022-1C.22023-1D.22024-1【答案】C【解析】(111…1)2=1×22022+1×22021+…+1×21+1×20=1×(1-4.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an3aA.34103 B.100 C.1100 【答案】C【解析】由an+1=an3an+1兩邊取倒數(shù),得1∴1an=1+3(n-1)=3n-2,即an=13n-2,∴a345.某市2019年新建住房100萬平方米,其中有25萬平方米的經(jīng)濟(jì)適用房,有關(guān)部門計(jì)劃以后每年新建住房面積比上一年增加5%,其中經(jīng)濟(jì)適用房每年增加10萬平方米.按照此計(jì)劃,當(dāng)年建造的經(jīng)濟(jì)適用房面積首次超過該年新建住房面積的一半的年份是().(參考數(shù)據(jù):1.052≈1,1.053≈1.16,1.054≈1.22,1.055≈1.28)A.2022年 B.2023年 C.2024年 D.2025年【答案】B【解析】設(shè)第n年新建住房面積為an=100(1+5%)n,經(jīng)濟(jì)適用房面積為bn=25+10n,由2bn>an,得2(25+10n)>100(1+5%)n,解得n的最小正整數(shù)解為4,即在2023年時滿足題意,故選B.6.對于每個自然數(shù)n,拋物線y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1與x軸交于An,Bn兩點(diǎn),則|A1B1|+|A2B2|+…+|A2023B2023|=().A.20232024 B.20222023 C.12023【答案】A【解析】令y=0,則(n2+n)x2-(2n+1)x+1=0,解得x1=1n,x2=1n+1,∴|AnBn|=1n∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2023B2023|=1-12+12-13+…+12023-120247.已知函數(shù)f(x)=(3-a)x-3,x≤7,aA.94,3【答案】C【解析】∵數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是遞增數(shù)列,∴函數(shù)f(n)為增函數(shù),∴a>1,8.數(shù)列1,12,12,13,13,13,14,A.13914 B.131114 C.14114【答案】A【解析】觀察數(shù)列,分母為1的有1項(xiàng),分母為2的有2項(xiàng),…,分母為m的有m項(xiàng).由1+2+…+m=m(m+1)2≤100,m∈N∴此數(shù)列前100項(xiàng)中的后面9項(xiàng)均為114,∴此數(shù)列前100項(xiàng)和為1399.根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果,預(yù)測某種家電從年初開始的n個月內(nèi)累積的需求量為Sn(單位:萬件),Sn近似地滿足Sn=n90(21n-n2A.5月、6月B.6月、7月C.7月、8月D.8月、9月【答案】C【解析】第n個月的需求量an=Sn-Sn-1=n90(21n-n2-5)-n-190[21(n-1)-(n-1)2-5]=130(-n2+15n-9),由題意知,an>1.5滿足條件,即130(-n2+15n-9)>1.5,解得6<n<9,∵n10.在等差數(shù)列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,Sn為{an}的前n項(xiàng)和,則在{Sn}中最大的負(fù)數(shù)為().A.S17 B.S18 C.S19 D.S20【答案】C【解析】∵等差數(shù)列{an}中,a10<0,a11>0,∴數(shù)列{an}為遞增數(shù)列,∵a11>|a10|,∴a11>-a10,即a10+a11>0,又∵S20=20(a10+a∴數(shù)列{Sn}中最大的負(fù)數(shù)為S19,故選C.11.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(n∈N*),則S100=().A.2500 B.2600 C.2800 D.3600【答案】B【解析】∵當(dāng)n為奇數(shù)時,an+2-an=0,當(dāng)n為偶數(shù)時,an+2-an=2,∴S100=(a1+a3+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=50a1+(a2+a4+…+a100)=50×1+(50×2+50×49212.在數(shù)列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),設(shè)數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Tn,則T2020=().A.6B.6703C.6730D.6731【答案】D【解析】∵a1=1,a2=5,∴a3=a2-a1=4,a4=a3-a2=-1,依次得a5=-5,a6=-4,a7=1,a8=5,…,∴{an}是以6為周期的周期數(shù)列,{|an|}是以3為周期的周期數(shù)列,∴T2020=673(a1+a2+a3)+|a2020|=6730+a1=6731,故選D.二、填空題13.明代程大位所著《算法統(tǒng)宗》中記載:遠(yuǎn)望巍巍塔七層,紅光點(diǎn)點(diǎn)加倍增,共燈三百八十一,請問尖頭有盞燈.【答案】3【解析】設(shè)尖頭有m盞燈,由詩意知,每層的燈數(shù)成以m為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,因此有m(14.已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,則an=.【答案】2n-1【解析】∵an+1=2an+1,∴an+1+1=2(an+1),則an+1+1an+1=2,∵a1+1=1+1=2,∴數(shù)列{an+1}是以2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,∴an+1=2×2n-1=215.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+1n),則an=【答案】2+lnn【解析】∵an+1=an+ln(1+1n),∴an+1-an=lnn則a2-a1=ln2,a3-a2=ln32,a4-a3=ln43,…,an-an-1=ln把以上n-1個式子相加得,an-a1=ln(2×32×43×…×又a1=2,∴an=2+lnn(n≥2).顯然a1=2滿足上式,∴an=2+lnn.16.在數(shù)列{an}中,a1=6,且an-an-1=an-1n+n+1(n∈N*,n≥2),數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為S【答案】5【解析】∵an-an-1=an∴nan=(n+1)an-1+n(n+1),∴ann+1又∵a12=3,∴數(shù)列∴an∴an=(n+1)(n+2),∴1an=1(n+1∴S10=12-13+13-14+…+111-112=三、解答題17.(2022年新高考全國Ⅱ卷)已知{an}為等差數(shù)列,{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且a2-b2=a3-b3=b4-a4.(1)證明:a1=b1.(2)求集合kb【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,由a2-b2=a3-b3,知a1+d-2b1=a1+2d-4b1,故d=2b1.由a2-b2=b4-a4,知a1+d-2b1=8b1-(a1+3d),故a1+d-2b1=4d-(a1+3d),故a1+d-2b1=d-a1,整理得a1=b1,得證.(2)由(1)知d=2b1=2a1,由bk=am+a1知,b1·2k-1=a1+(m-1)d+a1,即b1·2k-1=b1+(m-1)·2b1+b1,即2k-1=2m,因?yàn)?≤m≤500,所以2≤2k-1≤1000,解得2≤k≤10,故集合{k|bk=am+a1,1≤m≤500}中的元素的個數(shù)為9.18.(2022·遼寧模擬)已知數(shù)列{an}中,a1=32且2an+1=4an+n-1(n∈N*(1)求證:數(shù)列an(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.【解析】(1)因?yàn)?an+1=4an+n-1,所以an+1=2an+n2-1則an+1+n+12=2an+n=2(an+又因?yàn)閍1+12=32+12(2)由(1)得an+n2=2n,所以an=2n-n所以Sn=a1+a2+a3+…+an=21+22+23+…+2n-12(1+2+3+…+n)=2(1-2n)1-19.(2022·湖南一模)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a3=8,S5=2a7.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列{bn}滿足bn=ancosnπ+2n+1,求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,依題意得5解得a1所以an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)=3n-1.(2)因?yàn)閎n=ancosnπ+2n+1=(-1)nan+2n+1,所以T2n=(a2-a1)+(a4-a3)+…+(a2n-a2n-1)+(22+23+…+22n+1)=3×n+2=3n+22n+2-4.20.(2022·四川二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=an+2,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=(-1)nSn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足Tn-mn2>0對一切正奇數(shù)n恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】(1)∵a1=1,an+1=an+2,∴an+1-an=2,∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,∴an=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)可得Sn=n(1+2n∴bn=(-1)nSn=(-1)nn2,∴當(dāng)n為奇數(shù)時,bn+bn+1=-n2+(n+1)2=2n+1,∴當(dāng)n為奇數(shù),且n≥3時,Tn=b1+b2+b3+b4+…+bn-2+bn-1+bn=3+7+…+(2n-3)-n2=n-12·(3+2當(dāng)n=1時,T1=-1也符合上式,故當(dāng)n為奇數(shù)時,Tn=-n(又Tn-mn2>0對一切正奇數(shù)n恒成立,∴m<Tnn2=-n+12n=-又-12-1∴m<-1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-∞,-1).21.(2022·山東模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn+an=2.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.(2)若bn=1(n+2)log2an+1,設(shè)數(shù)列{bn【解析】(1)當(dāng)n=1時,S1+a1=2a1=2,所以a1=1.當(dāng)n≥2時,Sn-1+an-1=2,所以an+an-an-1=0,即an=12an-1所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為12故an=12(2)由(1)得bn=1(n+2=-12(1n-所以Tn=-12(1-13+12-14+…+=-12(1+12-1n+1-1n+2)=因?yàn)?n+32(n+1)(n+222.(2022·遼寧二模)已知數(shù)列{an}滿足a1=1,a2=2,對于任意正整數(shù)n,有an+2=3an+1-2an.若bn=an+1-2an.(1)判斷數(shù)列{bn}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)cn=an·log2an+1,求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn【解析】(1)因?yàn)閍n+2=3an+1-2an,bn=an+1-2an,所以bn+1=an+2-2an+1=an+1-2an,即bn+1=bn,n∈N*,又b1=a2-2a1=2-2=0,因?yàn)榈缺葦?shù)