福建省福州第四中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中,為了提高安保的級(jí)別同時(shí)又為了方便接待，現(xiàn)將其中的五個(gè)參會(huì)國的人員安排酒店住宿，這五個(gè)參會(huì)國要在、、三家酒店選擇一家，且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國入住，則這樣的安排方法共有A．種 B．種C．種 D．種2．下列說法中，正確說法的個(gè)數(shù)是（）①在用列聯(lián)表分析兩個(gè)分類變量與之間的關(guān)系時(shí)，隨機(jī)變量的觀測值越大，說明“與有關(guān)系”的可信度越大②以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3③已知兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系，其回歸直線方程為，若，，則A．0 B．1 C．2 D．33．已知復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面上位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．設(shè)，且，若能被100整除，則等于（）A．19 B．91 C．18 D．815．設(shè)，則使得的的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．已知定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．8．觀察下列各式：則（）A．28B．76C．123D．1999．已知集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．7 D．810．抽查10件產(chǎn)品，設(shè)事件A：至少有兩件次品，則A的對立事件為（）A．至多兩件次品 B．至多一件次品C．至多兩件正品 D．至少兩件正品11．“”是“直線與直線平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要12．隨機(jī)變量的分布列如下：-101若，則的值是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知全集，集合，，則_______．14．若函數(shù)，若，則=______．15．若，且，則稱集合是“兄弟集合”，在集合中的所有非空子集中任選一個(gè)集合，則該集合是“兄弟集合”的概率是__________16．曲線的參數(shù)方程，化成普通方程為_____________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）將直線：（為參數(shù)）化為極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)是（1）中的直線上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值.18．（12分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)在曲線上，直線l過點(diǎn)且與垂直，垂足為P.（1）當(dāng)時(shí)，求及l(fā)的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程.20．（12分）第十二屆全國人名代表大會(huì)第五次會(huì)議和政協(xié)第十二屆全國委員會(huì)第五次會(huì)議（簡稱兩會(huì)）分別于2017年3月5日和3月3日在北京開幕，某高校學(xué)生會(huì)為了解該校學(xué)生對全國兩會(huì)的關(guān)注情況，隨機(jī)調(diào)查了該校200名學(xué)生，并將這200名學(xué)生分為對兩會(huì)“比較關(guān)注”與“不太關(guān)注”兩類，已知這200名學(xué)生中男生比女生多20人，對兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中男生人數(shù)與女生人數(shù)之比為，對兩會(huì)“不太關(guān)注”的學(xué)生中男生比女生少5人.（1）該校學(xué)生會(huì)從對兩會(huì)“比較關(guān)注”的學(xué)生中根據(jù)性別進(jìn)行分層抽樣，從中抽取7人，再從這7人中隨機(jī)選出2人參與兩會(huì)宣傳活動(dòng)，求這2人全是男生的概率.（2）根據(jù)題意建立列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為男生與女生對兩會(huì)的關(guān)注有差異？附：，其中.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）已知定義在上的函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；Ⅱ若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．22．（10分）函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為空集，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①把5個(gè)個(gè)參會(huì)國的人員分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2；由組合數(shù)公式可得分組的方法數(shù)目，②，將分好的三組對應(yīng)三家酒店；由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：

①、五個(gè)參會(huì)國要在a、b、c三家酒店選擇一家，且這三家至少有一個(gè)參會(huì)國入住，

∴可以把5個(gè)國家人分成三組，一種是按照1、1、3；另一種是1、2、2

當(dāng)按照1、1、3來分時(shí)共有C53=10種分組方法；

當(dāng)按照1、2、2來分時(shí)共有種分組方法；

則一共有種分組方法；

②、將分好的三組對應(yīng)三家酒店，有種對應(yīng)方法；

則安排方法共有種；

故選D．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類、分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，對于復(fù)雜一點(diǎn)的計(jì)數(shù)問題，有時(shí)分類以后，每類方法并不都是一步完成的，必須在分類后又分步，綜合利用兩個(gè)原理解決．2、D【解析】

①分類變量與的隨機(jī)變量越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大②對同取對數(shù)，再進(jìn)行化簡，可進(jìn)行判斷③根據(jù)線性回歸方程，將，代入可求出值【詳解】對于①,分類變量A與B的隨機(jī)變量越大,說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大,正確;

對于②,,兩邊取對數(shù),可得,

令,可得,.即②正確;

對于③,根據(jù)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程為中,,,則.故

③正確因此，本題正確答案是:①②③答案選D【點(diǎn)睛】二聯(lián)表中越大，說明“A與B有關(guān)系”的可信度越大；將變量轉(zhuǎn)化成一般線性方程時(shí)，可根據(jù)系數(shù)對應(yīng)關(guān)系對號(hào)入座進(jìn)行求解；線性回歸方程的求解可根據(jù),代入求出值3、D【解析】

先利用復(fù)數(shù)的乘法求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義求出復(fù)數(shù)，即可得出復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所處的象限．【詳解】，，所以，復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法，考查共軛復(fù)數(shù)的概念與復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

將化為，根據(jù)二巷展開式展開后再根據(jù)余數(shù)的情況進(jìn)行分析后可得所求．【詳解】由題意得，其中能被100整除，所以要使能被100整除，只需要能被100整除．結(jié)合題意可得，當(dāng)時(shí)，能被100整除．故選A．【點(diǎn)睛】整除問題是二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用問題，解答整除問題時(shí)要關(guān)注展開式的最后幾項(xiàng)，本題考查二項(xiàng)展開式的應(yīng)用，屬于中檔題．5、B【解析】分析：根據(jù)題意，由函數(shù)f（x）的解析式分析可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，當(dāng)x≥1時(shí)，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)分析可得函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，則原不等式變形可得f（|x|）＜f（|2x﹣3|），結(jié)合單調(diào)性可得|x|＞|2x﹣3|，解可得x的取值范圍，即可得答案．詳解：根據(jù)題意，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）=﹣（x﹣1）2﹣2（ex﹣1+）+1，分析可得：y=﹣（x﹣1）2+1與函數(shù)y=2（ex﹣1+e1﹣x）都關(guān)于直線x=1對稱，則函數(shù)f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱，f（x）=﹣x2+2x﹣2（ex﹣1+e1﹣x），當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）=﹣2x+2﹣（ex﹣1﹣）=﹣2（x+1+ex﹣1﹣），又由x≥1，則有ex﹣1≥，即ex﹣1﹣≥0，則有f′（x）＜0，即函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，f（x+1）＜f（2x﹣2）?f（|x+1﹣1|）＜f（|2x﹣2﹣1|）?f（|x|）＜f（|2x﹣3|）?|x|＞|2x﹣3|，變形可得：x2﹣4x+3＜0，解可得1＜x＜3，即不等式的解集為（1，3）；故選：B．點(diǎn)睛：處理抽象不等式問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號(hào)“f”，轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)的單調(diào)性的問題或解不等式(組)的問題，若為偶函數(shù)，則，若函數(shù)是奇函數(shù)，則．6、A【解析】

由題意，求得，則，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，，則，則根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，得.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的表示，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性可得，距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較小，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，且函數(shù)在上是減函數(shù)，所以可知距離y軸近的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值較??；，且，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).8、C【解析】試題分析：觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第十項(xiàng)．繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第十項(xiàng)為123，即考點(diǎn)：歸納推理9、D【解析】分析：先求出集合B中的元素，從而求出其子集的個(gè)數(shù)．詳解：由題意可知，集合B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}={0，1，2}，則B的子集個(gè)數(shù)為：23=8個(gè)，故選D．點(diǎn)睛：本題考察了集合的子集個(gè)數(shù)問題，若集合有n個(gè)元素，其子集有2n個(gè)，真子集有2n-1個(gè)，非空真子集有2n-2個(gè).10、B【解析】試題分析：事件A不包含沒有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的對立事件為至多一件次品．故B正確．考點(diǎn)：對立事件．11、B【解析】

時(shí)，直線與直線不平行，所以直線與直線平行的充要條件是，即且，所以“”是直線與直線平行的必要不充分條件．故選B．12、D【解析】由題設(shè)可得，，所以由隨機(jī)變量的方差公式可得，應(yīng)選答案D。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由,得：，則，故答案為.14、【解析】

本題首先可以對分段函數(shù)進(jìn)行研究，確定每一個(gè)分段函數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)解析式以及取值范圍，然后先計(jì)算出的值，再對與之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)所以，若即則解得（舍去），若，即，則解得，綜上所述，答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)求值，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．考查分段函數(shù)的時(shí)候一定要能夠?qū)γ恳粋€(gè)取值范圍所對應(yīng)的函數(shù)解析式有一個(gè)確定的認(rèn)識(shí)．15、【解析】

首先確定非空子集的個(gè)數(shù)；根據(jù)“兄弟集合”的定義，可列舉出所有“兄弟集合”，根據(jù)古典概型概率公式求得結(jié)果.【詳解】集合的非空子集共有：個(gè)集合的非空子集中，為“兄弟集合”的有：，，，，，，，共個(gè)根據(jù)古典概型可知，所求概率本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)“兄弟集合”的定義確定符合題意的集合個(gè)數(shù).16、．【解析】

用代入法或消元法可化參數(shù)方程為普通方程．【詳解】在中，由得，代入得，整理得．又，∴所求普通方程為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的互化，在轉(zhuǎn)化時(shí)要注意變量的取值范圍有沒有發(fā)生變化，如果有變化必須加上變量的范圍，如本題中，如果答案是，則其為直線，如果答案是，則其為射線，圖形發(fā)生了變化．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）先將直線的參數(shù)方程化為普通方程，再由可將直線的普通方程化為極坐標(biāo)方程；（2）將點(diǎn)的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，點(diǎn)所在曲線的方程化為普通方程，可知該曲線為圓，利用當(dāng)、、與圓心四點(diǎn)共線且點(diǎn)為圓心與點(diǎn)連線線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，可得出答案。【詳解】（1）消去參數(shù)得，即，∴直線的極坐標(biāo)方程為．（答案也可以化為）（2）∵的直角坐標(biāo)為，曲線是圓：（為圓心）．∴．∴的最小值為（這時(shí)是直線與直線的交點(diǎn)）．【點(diǎn)睛】本題第（1）問考查的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程之間的互化，第（2）問考查圓的幾何性質(zhì)，考查折線段長度的最小值問題，做題時(shí)充分利用數(shù)形結(jié)合思想來求解，屬于中等題。18、(1)見證明；(2)【解析】

（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．推導(dǎo)出AB⊥PD，AB⊥CD，從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，連結(jié)OE．推導(dǎo)出PO⊥AB，從而PO⊥平面ABC，由三垂線定理得OE⊥BC，從而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)?，，所以，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，則，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．19、（1），l的極坐標(biāo)方程為；（2）【解析】

（1）先由題意，將代入即可求出；根據(jù)題意求出直線的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2）先由題意得到P點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可，要注意變量的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以；即，所以，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)且與垂直，所以直線的直角坐標(biāo)方程為，即；因此，其極坐標(biāo)方程為，即l的極坐標(biāo)方程為；（2）設(shè)，則，，由題意，，所以，故，整理得，因?yàn)镻在線段OM上，M在C上運(yùn)動(dòng)，所以，所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為，即.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，熟記公式即可，屬于?？碱}型.20、（1）沒有99%的把握認(rèn)為男生與女生對兩會(huì)的關(guān)注有差異；（2）．【解析】【試題分析】（1）可先設(shè)男生比較關(guān)注和不太關(guān)注的人分別為，則女生比較關(guān)注和不太關(guān)注的為，建立方程組，由此可得列聯(lián)表為：，然后運(yùn)用計(jì)算公式算出，借助表中的參數(shù)可以斷定沒有99%的把握認(rèn)為男生與女生對兩會(huì)的關(guān)注有差異；（2）先由分層抽樣的知識(shí)點(diǎn)算得：在男生和女生中分別抽取的人數(shù)為4人、3人，再運(yùn)用古典概型的計(jì)算公式算得其概率.解：(1)設(shè)男生比較關(guān)注和不太關(guān)注的人分別為，則女生比較關(guān)注和不太關(guān)注的為，則由題意得：，因此可得列聯(lián)表為：∴，所以沒有99%的把握認(rèn)為男生與女生對兩會(huì)的關(guān)注有差異.（2）由分層抽樣的知識(shí)點(diǎn)可得：在男生和女生中分別抽取的人數(shù)為4人、3人.則.21、時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為；Ⅱ.【解析】

分三種情況討論，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)圖象的開口方向，可得不同情況下函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；Ⅱ若關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的