第56講 空間點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距的求法-高中數(shù)學(xué)常見題型解法歸納反饋訓(xùn)練及詳細(xì)解析

1122【知識要點(diǎn)】一、空間的三種距離1、點(diǎn)點(diǎn)距：兩點(diǎn)A,B之間的線段AB的長度.常見求法：①幾何法：把該線段放到三角形中解三角形.②向量法：利用公式(xx)2((xx)2(yy)2(zz)21 2 1 2 1 22、點(diǎn)線距：點(diǎn)P到直線a的距離為點(diǎn)P到直線a的垂線段的長.1）幾何法：是找或作直線a.（2）A到直線a的距離公式ABa2d |AB|2

|a

求解，其中Baa是直線a的方向向量3P是平面PPAAPAP到平面常用求法：①幾何法：作出點(diǎn)P到平面的垂線后求出垂線段的長，常要把垂線段放到三角形中去解三角形；②等體積法：根據(jù)體積相等求出點(diǎn)到面的距離；如求點(diǎn)P到平面ABC的距離，如果已知點(diǎn)C到平面PAB的距離，則可以根據(jù)VPABC

VCPAB

求出點(diǎn)C到平面PAB的距離；③向量法：如下圖所示，已知AB是平面n為平面A到平面的距離為d|ABn|；|n|AnCAnCBα二、以上所說的距離（點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距）四、在三種距離的解法中，最常用的是幾何的方法和向量的方法.五、在這三個距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)和難點(diǎn).【方法講評】空間點(diǎn)點(diǎn)距空間點(diǎn)點(diǎn)距方法一幾何法使用情景把該線段放到三角形中比較方便解三角形解題步驟把該線段放到三角形中解答.方法二向量法使用情景解三角形比較困難，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo).建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ),B的坐標(biāo)代入空間兩點(diǎn)間的距離公式解題步驟|AB|(xx)2(yy)2(zz)21 2 1 2 1 24 55【例】已知矩形ABCD的邊長AB ,一塊直角三角板PBD的邊PD2,PBD300，4 55BPD900，如圖．要使直角三角板PBDABCDPC的長；在的條件下，求二面角PACD的平面角的余弦值．PAPADBC∴cosBDC

，cosBDA ，52 55 552 5PO2∴PO2

，同理，PC .2 652 35AD22 652 35AD2OD22ADODcosBDAzzPAoDyBxC【點(diǎn)評】本題求PA,PC的長，就是把PA,PC放到三角形中，再利用解三角形的知識解答，多利用直角三角函數(shù)和正弦余弦定理等.學(xué)科.網(wǎng)1PAABCDABCDAB1BC2,EBCPEDE；如果異面直線AE與PD所成的角的大小為，求PA的長及點(diǎn)A到平面PED 的距.232ABCAB

中，HAABBAA

CH⊥平面5AABB，且CH＝ .5

11 1

11 1 111 1ACAB所成角的余弦值；11AACB的正弦值；1 1 1NBC的中點(diǎn)，點(diǎn)MAABBMNABC

，求線段BM的長．1 1 11 11 1【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)．（2）AA1

＝（0,2

，0，AC2112

＝（－

， ．225225設(shè)平面AAC的法向量m（，則1 1mAC 0 2x 2y 5z0 1 1 ，即mAA0212

2 2y05不妨令x＝5，可得m5

，， ．同樣的，設(shè)平面ABC的法向量n（，，則1 1 1nAC 0 2x 2y 5z0 1 1 ，即nAB0 2 2x01152不妨令＝5，可得n0， ， ．52nmn于是cosnmn

mn

2 ,從而sinm,n .3 57 73 57 7所以二面角7 7

C－B1 1

35的正弦值為 .57【點(diǎn)評】本題中求BM 的長度就是利用了向量的方法，先分別求點(diǎn)B,M的坐標(biāo)，再代入空間兩點(diǎn)的距離公.2ABBECAB//CD,ABBC4BEC為等邊三角形，ADB CE（1）若平面ABE平面ADE，求CD2）求直線AB與平面ADE所成角的取值范圍．空間點(diǎn)線距空間點(diǎn)線距方法一幾何法使用情景解題步驟比較容易找到點(diǎn)在直線上的射影，解三角形比較方便.找到或作點(diǎn)在直線上的射影把該垂線段放到三角形中解答.方法二向量法找點(diǎn)在直線上的射影比較麻煩，解三角形比較困難，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標(biāo)系，使用情景寫出點(diǎn)的坐標(biāo).建立空間直角坐標(biāo)系分別求出直線a的方向向量aB的坐標(biāo)，其中Aa，解題步驟Ba代入點(diǎn)到直線的距離公式d|AB|2ABa2|a|，其中Ba，是直線aa的方向向量【例如圖已知二面角AB的大小為1200PC于CPD于D且C D .（1）求異面直線AB與CD）求點(diǎn)P到直線AB【點(diǎn)評PABPAB的距離PE放到三角形中，再利用解三角形的知識解答，多利用直角三角函數(shù)和正弦余弦定理等.（2）【反饋檢測3】如圖，在直三棱柱ABCABC（側(cè)棱和底面垂直的棱柱）中，平面ABC側(cè)面11 1 1AABBABBCAA3AF，且滿足2AEEC,2BFFA.1 1 1 1 1C1B1C1B1AEFCB求證：ABBC（2）求點(diǎn)E到直線AB（）求二面角FBEC1點(diǎn)到平面的距離點(diǎn)到平面的距離方法一幾何法方法二點(diǎn)在平面的射影位置比較容易確定.找作證（定義）求（解三角形）等體積法使用情景點(diǎn)和平面內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成一個三棱錐，而三棱錐的一個高已知.解題步驟利用VPABCVCPAB方法三向量法使用情景點(diǎn)在平面內(nèi)的射影位置不好確定，根據(jù)已知條件比較容易建立坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo).建立空間直角坐標(biāo)系求平面的法向量nAB的坐標(biāo)代入公式解題步驟d|ABn|n|，即得點(diǎn)A到平面的距離.PA垂直圓OC是圓OQPAG為AOC的重心，AB是圓OAB2AC2．求證：QG//平面PBC2）求G到平面PAC的距離．（1）如圖，連結(jié)OGACM，連結(jié)QMQO．AB是圓OBCAC由（，知OM//BC，∴OMAC．∵PA平面ABC,OM平面ABC，∴PAOM．又PA平面PAC,AC平面PAC，PA ACAOMPACGM就是GPAC的距離．（1）.（2）GPAC為點(diǎn)GPACM的距離，再利用平面幾何三角形的知識求GM的長度.本題就是利用轉(zhuǎn)4ABCDOACBDSA平面ABCD.（Ⅰ）求證：平面SAC平面SBD；（Ⅱ）若DAB120，DSBS，AB2 ，求SO的長及點(diǎn)A到平面SBD的距離．【例5】如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C在圓O上,矩形DCBE所在的平面垂直于圓O所在的平面，AB4，BE1．證明：平面ADE 平面ACD；若ABC30，求點(diǎn)B到平面ADE 的距離．中ACBC DCBC BC)面ADC DC＝CDC＝C

DE面ADC

ADCADC

DBC

面ADE面ACDDEADE【點(diǎn)評】本題利用等體積法求點(diǎn)到面的距離就顯得比較簡單.5PABCDABCDABCD60，ABPD2OACBDEPB上一點(diǎn)．（1）證明：平面EAC⊥平面PBD（）若E是線段PBB到平面EDC的距離．ABCAB

ACB900ACBC

2.11 1 1（1）

BC

（2）求點(diǎn)B到平面B

（）求二面角

A1 1 1 1 1 1 1（2）V =V

，設(shè)點(diǎn)B到平面ABC

的距離為dBABC ABBC 1 111 1113

△ABC11

d

1S3△BBC311

AC1 1所以

B

d

1 1B

AC，解得d23 2 1 1 1 3 2 1 1 12BABC

的距離為 .21 12〖解法二〗（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則AB(2,2,2) BC1

(0,2,2) AB1

BC1

0440 ∴AB1

⊥BC16ABCABC2D為

中點(diǎn).11 1 1（1）求證：AB面ABD（）求二面角AADB（3）求點(diǎn)C到平面ABD1 1 1 156空間點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距的求法參考答案【反饋檢測1答案（1）證明見解析（）PA2，2 3.3（2）取PA的中點(diǎn)M,AD的中點(diǎn)N，連MC,NC,MN,AC,NC AE,MN PD,MNC的大小等于異面直線PD與AE所成的角或其補(bǔ)角的大小，即MNC23

或MNC3 3

，不需分類討論)設(shè)PAx，則NC 2,MN 1

x2x254,MCx25441x2 x1若MNC2，由cosMNC

252 1 2 1 x242

，得PA2.3 2V V

11

22.A

P

3 2 322RtPEDPE22

6,DE 2,2 322 3

PED

1 ，263226333點(diǎn)A到平面PED的距離為 3333x2 x212 1 x242 若MNC2 1 x242

254 4

1，顯然不適合題意． 3 PA2APED233.【反饋檢測2（1）2（2）0, 42 3 2 3（2）由（1）可知：平面ADE的一個法向量n1,2a,1，ABADE所成角為，則nnABnAB0044 11a12

22 22sin

0,

，∴

0,4． 【反饋檢測31）（）

（3） .366363AADABDABCA

ABB，1 1 1 1ABCAABBABADABCBCADBCAA，1 1 1 1 1 1AD

ABC

ABBCABCADBCABC—ABC是1 1 1

111AA1

ABCAA1

BCAA1

ADABCA1

ABB1

ABA1

ABB1

ABBC.（2）由（1）BBB1

xyz軸，可建立如B(0,0,0),A(0,3,0C(3,0,0)A1

(0,3,3)又由線段AC、AB上分別有一點(diǎn)E、F，滿足2AEEC,2BFFA

，所以E(1,2,0)，F(xiàn)(0,1,1)，1EFBA1

1,(0,3,3).EFBA,13所以點(diǎn)E到直線AB的距離dEF .316【反饋檢測4答案】Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）SO 3,A到面SBD的距離為 .634（Ⅰ）證明：因?yàn)镾A面ABCDBD面ABCD，所以SABD.又因?yàn)锳BCD是菱形，所以ACBD，ACA又SA ，所以BD面ACA又BD面SBD,面SBD面SAC.A到面SBD的距離為h，由VSABD

V ，ASBD13

ABD

SA

1S663 66

h，即112 31

11

h，3 2 3 2h

，即A到面SBD的距離為 .663 366法二：在菱形ABCD 中，DAB120，所以CAB60，AO1AB1,323BO

AB323

DSBS是中點(diǎn),SO

1DB= .323SOAAG于G.由（1）知面SBD面SAC，且面SBD 面SACSO，AG面SAC所以AG面SBD，即AG是A到面SBD的距.SO2AO22SASO2AO221126SAAO 1 6263AG ，即A到面SBD的距離為 .3SO 3 32 21【反饋檢測5答案1）見解析（） ．2 217【反饋檢測6（1）（2）

（）d

|BCAB1

||2| 2．62 2 4 |AB| 262 2 16（1）BC中點(diǎn)OAO．

ABCAOBC．ABCAB

中， 平面ABC⊥平面BCC

，AOBCCB11 1