北師大版-必修三-第一章 統(tǒng)計(jì)-§4 數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 全省一等獎(jiǎng)

《用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)分析教科書結(jié)合實(shí)例展示了頻率分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．對(duì)于眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，重點(diǎn)放在比較它們的特點(diǎn)，以及它們的適用場(chǎng)合上，使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，在日常生活中某些人通過(guò)混用這些（描述平均位置的）統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行誤導(dǎo)．另一方面，教科書通過(guò)思考欄目讓學(xué)生注意到，直接通過(guò)樣本計(jì)算所得到的中位數(shù)與通過(guò)頻率直方圖估計(jì)得到的中位數(shù)不同．在得到這個(gè)結(jié)論后，教師可以舉一反三，使學(xué)生思考對(duì)于眾數(shù)和平均數(shù)，是否也有類似的結(jié)論．進(jìn)一步，可以解釋對(duì)總體眾數(shù)、總體中位數(shù)和總體平均數(shù)的兩種不同估計(jì)方法的特點(diǎn)．在知道樣本數(shù)據(jù)的具體數(shù)值時(shí)，通常通過(guò)樣本計(jì)算中位數(shù)、平均值和眾數(shù)，并用它們估計(jì)總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)．但有時(shí)我們得到的數(shù)據(jù)是整理過(guò)的數(shù)據(jù)，比如在媒體中見到的頻數(shù)表或頻率表，用教科書中的方法也可以得到總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)的估計(jì)．教科書通過(guò)幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征．通過(guò)對(duì)如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索，使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過(guò)程．教科書通過(guò)例題向?qū)W生展示如何用樣本數(shù)字特征解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)閱讀與思考欄目“生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量控制圖”，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分布的數(shù)字特征在實(shí)際中的應(yīng)用．二、三維目標(biāo)1．能利用頻率分布直方圖估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；能用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，并結(jié)合實(shí)際，對(duì)問(wèn)題作出合理判斷，制定解決問(wèn)題的有效方法；初步體會(huì)、領(lǐng)悟“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的統(tǒng)計(jì)思想方法；通過(guò)對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學(xué)生“實(shí)事求是”的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)．2．正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)．3．在解決統(tǒng)計(jì)問(wèn)題的過(guò)程中，進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用，能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系．三、重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋，估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性．教學(xué)難點(diǎn)：用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．四、課時(shí)安排2課時(shí)五、教學(xué)過(guò)程第1課時(shí)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)（一）導(dǎo)入新課思路1在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲運(yùn)動(dòng)員：7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙運(yùn)動(dòng)員：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律，我們要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究．用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征．（板書課題）思路2在日常生活中，我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài)，而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征，例如：買燈泡時(shí)，我們希望知道燈泡的平均使用壽命，我們?cè)鯓恿私鉄襞莸氖褂脡勖?？?dāng)然不能把所有燈泡一一測(cè)試，因?yàn)闇y(cè)試后燈泡則報(bào)廢了．于是，需要通過(guò)隨機(jī)抽樣，把這批燈泡的壽命看作總體，從中隨機(jī)取出若干個(gè)個(gè)體作為樣本，算出樣本的數(shù)字特征，用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征．（二）推進(jìn)新課1．提出問(wèn)題（1）什么是眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？（1）如何繪制頻率分布直方圖？（3）如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)？活動(dòng)：那么學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識(shí)，思考后展開討論，教師提示引導(dǎo)．2．討論結(jié)果（1）初中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)眾數(shù)（在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù)）、中位數(shù)（在按大小順序排列的一組數(shù)據(jù)中，居于中間的數(shù)稱為中位數(shù)）、平均數(shù)（一般是一組數(shù)據(jù)和的算術(shù)平均數(shù)）等各種數(shù)字特征，應(yīng)當(dāng)說(shuō)，這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息．（2）畫頻率分布直方圖的一般步驟為：計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖．（3）教材前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問(wèn)題中，從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是（最高的矩形的中點(diǎn)），它告訴我們，該市的月均用水量為的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒(méi)有告訴我們到底多多少．請(qǐng)大家翻回到課本看看原來(lái)抽樣的數(shù)據(jù)，有沒(méi)有這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義，怎么會(huì)是眾數(shù)呢？為什么？（請(qǐng)大家思考作答）分析：這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了，而是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來(lái)的，所以存在一些偏差．提問(wèn)：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中，有50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù)，也有50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù)．因此，在頻率分布直方圖中，矩形的面積大小正好表示頻率的大小，即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等．由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為．思考：這個(gè)中位數(shù)的估計(jì)值，與樣本的中位數(shù)值不一樣，你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）課本顯示，大部分居民的月均用水量在中部（左右），但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高，顯然，對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的．思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但是它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？（讓學(xué)生討論，并舉例）對(duì)極端值不敏感有利的例子：考察課本中表21中的數(shù)據(jù)，如果把最后一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)寫成22，并不會(huì)對(duì)樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響．也就是說(shuō)對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響，而在實(shí)際應(yīng)用中，人為操作的失誤經(jīng)常造成錯(cuò)誤數(shù)據(jù)．對(duì)極端值不敏感有弊的例子：某人具有初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平，想找一份收入好的工作，這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn)：很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低，其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)據(jù)不敏感．這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)來(lái)作為參考指標(biāo)，選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè)．對(duì)極端值不敏感的方法，不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況．同樣的，可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù)，上圖就顯示了居民用水的平均數(shù)，它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．由估計(jì)可知，居民的月均用水量的平均值為．顯示了居民月均用水量的平均數(shù)，它是頻率分布直方圖的“重心”．由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān)，所以，任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都會(huì)引起平均數(shù)的改變．這是中位數(shù)、眾數(shù)都不具有的性質(zhì)．也正因?yàn)檫@個(gè)原因，與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來(lái)，平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息．從圖上可以看出，用水量最多的幾個(gè)居民對(duì)平均數(shù)影響較大，這是因?yàn)樗麄兊脑戮盟颗c平均數(shù)相差太多了．利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字．（最高矩形的中點(diǎn)）估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．總之，眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對(duì)數(shù)據(jù)中心位置的描述，可以作為總體相應(yīng)特征的估計(jì)．樣本眾數(shù)易計(jì)算，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息，與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，絕對(duì)值越大的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響也越大．三者相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，描述了數(shù)據(jù)的平均水平，是一組數(shù)據(jù)的“重心”．（三）應(yīng)用示例思路1例1．（1）若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X，N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y，則這M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是___________；（2）如果兩組數(shù)x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的樣本平均數(shù)分別是x和y，那么一組數(shù)x1+y1，x2+y2，…，xn+yn的平均數(shù)是___________．活動(dòng)：學(xué)生思考或交流，教師提示，根據(jù)平均數(shù)的定義得到結(jié)論．解：（1）；（2）．例2．某校高一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)（均為50人）的語(yǔ)文測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢偡郑?50分），試確定這次考試中，哪個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)更好一些．甲班：1128610684100105981029410787112949499901209895119108100961151111049510811110510410711910793102981121129992102938494941009084114乙班：116951099610698108991101039498105101115104112101113961081001109810787108106103971071061111219710711412210110710711111410610410495111111110分析：我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平，因此，分別求出甲、乙兩個(gè)班的平均分即可．解：用計(jì)算器分別求出甲班的平均分為，乙班的平均分為，故這次考試乙班成績(jī)要好于甲班．思路2例1．下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間抽樣頻率分布表（單位：h），試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間．睡眠時(shí)間人數(shù)頻率［6，）5［，7）17［7，）33［，8）37［8，）6［，9）2合計(jì)1001分析：要確定這100名學(xué)生的平均睡眠時(shí)間，就必須計(jì)算其總睡眠時(shí)間，由于每組中的個(gè)體睡眠時(shí)間只是一個(gè)范圍，可以用各組區(qū)間的組中值近似地表示．解法一：總睡眠時(shí)間約為×5+×17+×33+×37+×6+×2=739（h），故平均睡眠時(shí)間約為．解法二：求組中值與對(duì)應(yīng)頻率之積的和×+×+×+×+×+×=（h）．答：估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間約為．例2．某單位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之間的職工所占的比分別為10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，試估計(jì)該單位職工的平均年收入．分析：上述百分比就是各組的頻率．解：估計(jì)該單位職工的平均年收入為12500×10%+17500×15%+22500×20%+27500×25%+32500×15%+37500×10%+45000×5%=26125（元）．答：估計(jì)該單位人均年收入約為26125元．（四）知能訓(xùn)練從甲、乙兩個(gè)公司各隨機(jī)抽取50名員工月工資：甲公司：80080080080080010001000100010001000100010001000100010001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120012001200120010015001500150015001500150020002000200020002000250025002500乙公司：700700700700700700700700700700700700700700700100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010001000100010006000800010000試計(jì)算這兩個(gè)公司50名員工月工資平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，并估計(jì)這兩個(gè)企業(yè)員工平均工資．答案：甲公司：?jiǎn)T工月工資平均數(shù)1240，眾數(shù)1200，中位數(shù)1200；乙公司：?jiǎn)T工月工資平均數(shù)1330，眾數(shù)1000，中位數(shù)1000；從總體上看乙公司員工月工資比甲公司少，原因是乙公司有幾個(gè)收入特高的員工影響了工資平均數(shù)．（五）拓展提升“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”，這是我們經(jīng)常可以聽到的一句話．但是，數(shù)據(jù)有時(shí)也會(huì)被利用，從而產(chǎn)生誤導(dǎo)．例如，一個(gè)企業(yè)中，絕大多數(shù)是一線工人，他們的年收入可能是一萬(wàn)元左右，另有一些經(jīng)理層次的人，年收入可以達(dá)到幾十萬(wàn)元．這時(shí)，年收入的平均數(shù)會(huì)比中位數(shù)大得多．盡管這時(shí)中位數(shù)比平均數(shù)更合理些，但是這個(gè)企業(yè)的老板到人力市場(chǎng)去招聘工人時(shí)，也許更可能用平均數(shù)來(lái)回答有關(guān)工資待遇方面的提問(wèn)．你認(rèn)為“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話應(yīng)當(dāng)怎么解釋？這句話的目的是謹(jǐn)防利用人們對(duì)統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)的模糊認(rèn)識(shí)進(jìn)行誤導(dǎo)（蒙騙）．使學(xué)生能夠正確理解在日常生活中像“我們單位的收入水平比別的單位高”這類話的模糊性，這里的“收入水平”是指員工收入數(shù)據(jù)的某個(gè)中心點(diǎn)，即可以是中位數(shù)、平均數(shù)或眾數(shù)，不同的解釋有不同的含義．在這里應(yīng)該注意以下幾點(diǎn)：1．樣本眾數(shù)通常用來(lái)表示分類變量的中心值，容易計(jì)算，但是它只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息，通常用于描述分類變量的中心位置．2．中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端數(shù)據(jù)（即排序靠前或排序靠后的數(shù)據(jù)）的影響，容易計(jì)算，它僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差，即存在一些錯(cuò)誤數(shù)據(jù)（如數(shù)據(jù)的錄入錯(cuò)誤、測(cè)量錯(cuò)誤等）時(shí)，應(yīng)該用抗極端數(shù)據(jù)強(qiáng)的中位數(shù)表示數(shù)據(jù)的中心值，可以利用計(jì)算機(jī)模擬樣本，向?qū)W生展示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)樣本中位數(shù)的影響程度．3．平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響，“越離群”的數(shù)據(jù)，對(duì)平均數(shù)的影響也越大．與眾數(shù)和中位數(shù)相比，平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息．當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時(shí)，使用平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差．可以利用計(jì)算機(jī)模擬樣本，向?qū)W生展示錯(cuò)誤數(shù)據(jù)對(duì)樣本平均數(shù)的影響程度．在體育、文藝等各種比賽的評(píng)分中，使用的是平均數(shù)．計(jì)分過(guò)程中采用“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”的方法，就是為了防止個(gè)別裁判的人為因素而給出過(guò)高或過(guò)低的分?jǐn)?shù)對(duì)選手的得分造成較大的影響，從而降低誤差，盡量保證公平性．4．如果樣本平均數(shù)大于樣本中位數(shù)，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較大的極端值；反之，說(shuō)明數(shù)據(jù)中存在許多較小的極端值．在實(shí)際應(yīng)用中，如果同時(shí)知道樣本中位數(shù)和樣本平均數(shù)，可以使我們了解樣本數(shù)據(jù)中極端數(shù)據(jù)的信息，幫助我們作出決策．5．使用者常根據(jù)自己的利益去選取使用中位數(shù)或平均數(shù)來(lái)描述數(shù)據(jù)的中心位置，從而產(chǎn)生一些誤導(dǎo)作用．（六）課堂小結(jié)1．能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)），會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；2．平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)有“取齊”的作用，代表一組數(shù)據(jù)的平均水平；3．形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí)．（七）作業(yè)習(xí)題2．2A組3．（八）設(shè)計(jì)感想本堂課在初中學(xué)習(xí)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)了利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，這是一種近似估計(jì)，但都能說(shuō)明總體的分布特征，各有優(yōu)缺點(diǎn)，講解時(shí)緊扣課本內(nèi)容，講清講透，使學(xué)生活學(xué)活用，會(huì)畫頻率分布直方圖，會(huì)利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)，對(duì)總體作出正確的估計(jì)．第2課時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差（一）導(dǎo)入新課思路1平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，但是，有時(shí)平均數(shù)也會(huì)使我們作出對(duì)總體的片面判斷．某地區(qū)的統(tǒng)計(jì)顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176cm，給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長(zhǎng)發(fā)育好，身高較高．但是，假如這個(gè)平均數(shù)是從五十萬(wàn)名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計(jì)算出來(lái)的話，那么，這個(gè)平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)．因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀態(tài)．所以我們學(xué)習(xí)從另外的角度來(lái)考察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)量——標(biāo)準(zhǔn)差．（教師板書課題）思路2在一次射擊選拔比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下﹕甲運(yùn)動(dòng)員：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4；乙運(yùn)動(dòng)員：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．觀察上述樣本數(shù)據(jù)，你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練，選哪位選手去參加正式比賽？我們知道，x甲=7，x乙=7．兩個(gè)人射擊的平均成績(jī)是一樣的．那么，是否兩個(gè)人就沒(méi)有水平差距呢？從上圖直觀上看，還是有差異的．很明顯，甲的成績(jī)比較分散，乙的成績(jī)相對(duì)集中，因此我們從另外的角度來(lái)考察這兩組數(shù)據(jù)——標(biāo)準(zhǔn)差．（二）提出問(wèn)題（1）如何通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)）？（2）有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個(gè)標(biāo)本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位：kg/mm2），通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)樣本的平均數(shù)均為125．甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125145哪種鋼筋的質(zhì)量較好？（3）某種子公司為了在當(dāng)?shù)赝菩袃煞N新水稻品種，對(duì)甲、乙兩種水稻進(jìn)行了連續(xù)7年的種植對(duì)比實(shí)驗(yàn)，年畝產(chǎn)量分別如下：（千克）甲：600，880，880，620，960，570，900（平均773）乙：800，860，850，750，750，800，700（平均787）請(qǐng)你用所學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識(shí)，說(shuō)明選擇哪種品種推廣更好？（4）全面建設(shè)小康社會(huì)是我們黨和政府的工作重心，某市按當(dāng)?shù)匚飪r(jià)水平計(jì)算，人均年收入達(dá)到萬(wàn)元的家庭即達(dá)到小康生活水平．民政局對(duì)該市100戶家庭進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，它們的人均收入達(dá)到了萬(wàn)元，民政局即宣布該市民生活水平已達(dá)到小康水平，你認(rèn)為這樣的結(jié)論是否符合實(shí)際？（5）如何考查樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小呢？把數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來(lái)，是否能直觀地判斷數(shù)據(jù)的離散程度？（三）討論結(jié)果（1）利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)：估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字．（最高矩形的中點(diǎn)）估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等．估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．（2）由上圖可以看出，乙樣本的最小值100低于甲樣本的最小值110，乙樣本的最大值145高于甲樣本的最大值135，這說(shuō)明乙種鋼筋沒(méi)有甲種鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定．我們把一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差稱為極差（range）．由上圖可以看出，乙的極差較大，數(shù)據(jù)點(diǎn)較分散；甲的極差小，數(shù)據(jù)點(diǎn)較集中，這說(shuō)明甲比乙穩(wěn)定．運(yùn)用極差對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，操作簡(jiǎn)單方便，但如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時(shí)，就不容易得出結(jié)論．（3）選擇的依據(jù)應(yīng)該是，產(chǎn)量高且穩(wěn)產(chǎn)的品種，所以選擇乙更為合理．（4）不符合實(shí)際．樣本太小，沒(méi)有代表性．若樣本里有個(gè)別高收入者與多數(shù)低收入者差別太大．在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，對(duì)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析，需要結(jié)合實(shí)際，側(cè)重于考察總體的相關(guān)數(shù)據(jù)特征．比如，市民平均收入問(wèn)題，都是考察數(shù)據(jù)的分散程度．（5）把問(wèn)題（3）中的數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中刻畫出來(lái)．我們可以很直觀地知道，乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)更集中在平均數(shù)的附近，即乙的分散程度小，如何用數(shù)字去刻畫這種分散程度呢？考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是方差和標(biāo)準(zhǔn)差．標(biāo)準(zhǔn)差：考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差（standarddeviation）．標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示．所謂“平均距離”，其含義可作如下理解：假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是x1，x2，…，xn，表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．xi到的距離是|xi-|（i=1，2，…，n）．于是，樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn到的“平均距離”是S=．由于上式含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來(lái)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：s=．意義：標(biāo)準(zhǔn)差用來(lái)表示穩(wěn)定性，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度就越大，也就越不穩(wěn)定．標(biāo)準(zhǔn)差越小，數(shù)據(jù)的離散程度就越小，也就越穩(wěn)定．從標(biāo)準(zhǔn)差的定義可以看出，標(biāo)準(zhǔn)差s≥0，當(dāng)s=0時(shí)，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)．標(biāo)準(zhǔn)差還可以用于對(duì)樣本數(shù)據(jù)的另外一種解釋．例如，在關(guān)于居民月均用水量的例子中，平均數(shù)=，標(biāo)準(zhǔn)差s=，所以+s=，+2s=；-s=，-2s=．這100個(gè)數(shù)據(jù)中，在區(qū)間［-2s，+2s］=［，］外的只有4個(gè)，也就是說(shuō)，［-2s，+2s］幾乎包含了所有樣本數(shù)據(jù)．從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2——方差來(lái)代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測(cè)量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：s2=［（x1-）2+（x2-）2+…+（xn-）2］．顯然，在刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度上，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是一樣的．但在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，一般多采用標(biāo)準(zhǔn)差．需要指出的是，現(xiàn)實(shí)中的總體所包含的個(gè)體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的．如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差呢？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差．這與前面用樣本的頻率分布來(lái)近似地代替總體分布是類似的．只要樣本的代表性好，這樣做就是合理的，也是可以接受的．兩者都是描述一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小，實(shí)際應(yīng)用中比較廣泛的是標(biāo)準(zhǔn)差．如導(dǎo)入中的運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算器計(jì)算．用計(jì)算器計(jì)算運(yùn)動(dòng)員甲的成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差的過(guò)程如下：即s甲=2．用類似的方法，可得s乙≈．由s甲>s乙可以知道，甲的成績(jī)離散程度大，乙的成績(jī)離散程度小．由此可以估計(jì)，乙比甲的射擊成績(jī)穩(wěn)定．（四）應(yīng)用示例思路1例1．畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說(shuō)明它們的異同點(diǎn)．（1）5，5，5，5，5，5，5，5，5；（2）4，4，4，5，5，5，6，6，6；（3）3，3，4，4，5，6，6，7，7；（4）2，2，2，2，5，8，8，8，8．分析：先畫出數(shù)據(jù)的條形圖，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)，利用標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式即可算出每一組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．解：四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖如下：四組數(shù)據(jù)的平均數(shù)都是，標(biāo)準(zhǔn)差分別是：，，，．它們有相同的平均數(shù)，但它們有不同的標(biāo)準(zhǔn)差，說(shuō)明數(shù)據(jù)的分散程度是不一樣的．例2．甲、乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為的一種零件．為了對(duì)兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評(píng)比，從他們生產(chǎn)的零件中各抽出20件，量得其內(nèi)徑尺寸如下（單位：mm）：甲乙從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看，誰(shuí)生產(chǎn)的質(zhì)量較高？分析：每一個(gè)工人生產(chǎn)的所有零件的內(nèi)徑尺寸組成一個(gè)總體．由于零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)給出（內(nèi)徑），生產(chǎn)質(zhì)量可以從總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差兩個(gè)角度來(lái)衡量．總體的平均數(shù)與內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)尺寸的差異大時(shí)質(zhì)量低，差異小時(shí)質(zhì)量高；當(dāng)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)尺寸很接近時(shí)，總體的標(biāo)準(zhǔn)差小的時(shí)候質(zhì)量高，標(biāo)準(zhǔn)差大的時(shí)候質(zhì)量低．這樣，比較兩人的生產(chǎn)質(zhì)量，只要比較他們所生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸所組成的兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的大小即可．但是，這兩個(gè)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差都是不知道的，根據(jù)用樣本估計(jì)總體的思想，我們可以通過(guò)抽樣分別獲得相應(yīng)的樣本數(shù)據(jù)，然后比較這兩個(gè)樣本的平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差，以此作為兩個(gè)總體之間差異的估計(jì)值．解：用計(jì)算器計(jì)算可得≈，≈；s甲≈，s乙≈．從樣本平均數(shù)看，甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)（），但是差異很?。粡臉颖緲?biāo)準(zhǔn)差看，由于s甲<s乙，因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙的穩(wěn)定程度高得多．于是，可以作出判斷，甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比乙的高一些．點(diǎn)評(píng)：從上述例子我們可以看到，對(duì)一名工人生產(chǎn)的零件內(nèi)徑（總體）的質(zhì)量判斷，與所抽取的零件內(nèi)徑（樣本數(shù)據(jù)）直接相關(guān)．顯然，我們可以從這名工人生產(chǎn)的零件中獲取許多樣本．這樣，盡管總體是同一個(gè)，但由于樣本不同，相應(yīng)的樣本頻率分布與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等都會(huì)發(fā)生改變，這就會(huì)影響到我們對(duì)總體情況的估計(jì)．如果樣本的代表性差，那么對(duì)總體所作出的估計(jì)就會(huì)產(chǎn)生偏差；樣本沒(méi)有代表性時(shí)，對(duì)總體作出錯(cuò)誤估計(jì)的可能性就非常大．這也正是我們?cè)谇懊嬷v隨機(jī)抽樣時(shí)反復(fù)強(qiáng)調(diào)樣本代表性的理由．在實(shí)際操作中，為了減少錯(cuò)誤的發(fā)生，條件許可時(shí)，通常采取適當(dāng)增加樣本容量的方法．當(dāng)然，關(guān)鍵還是要改進(jìn)抽樣方法，提高樣本的代表性．（五）變式訓(xùn)練某地區(qū)全體九年級(jí)的3000名學(xué)生參加了一次科學(xué)測(cè)試，為了估計(jì)學(xué)生的成績(jī)，從不同學(xué)校的不同程度的學(xué)生中抽取了100名學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦拢?00分12人，90分30人，80分18人，70分24人，60分12人，50分4人．請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該地區(qū)3000名學(xué)生的平均分、合格率（60或60分以上均屬合格）．解：運(yùn)用計(jì)算器計(jì)算得：=，（12+30+18+24+12）÷100=96%，所以樣本的平均分是分，合格率是96%，由此來(lái)估計(jì)總體3000名學(xué)生的平均分是分，合格率是96%．思路2例1．甲、乙兩種水稻試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2），試根據(jù)這組數(shù)據(jù)估計(jì)哪一種水稻品種的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．品種第1年第2年第3年第4年第5年甲10乙解：甲品種的樣本平均數(shù)為10，樣本方差為［（）2+（）2+（）2+（10-10）2+（）2］÷5=．乙品種的樣本平均數(shù)也為10，樣本方差為［（）2+（）2+（）2+（）2+（）2］÷5=．因?yàn)?gt;，所以，由這組數(shù)據(jù)可以認(rèn)為甲種水稻的產(chǎn)量比較穩(wěn)定．例2．為了保護(hù)學(xué)生的視力，教室內(nèi)的日光燈在使用一段時(shí)間后必須更換．已知某校使用的100只日光燈在必須換掉前的使用天數(shù)如下，試估計(jì)這種日光燈的平均使用壽命和標(biāo)準(zhǔn)差．天數(shù)151—180181—210211—240241—270271—300301—330331—360361—390燈泡數(shù)1111820251672分析：用每一區(qū)間內(nèi)的組中值作為相應(yīng)日光燈的使用壽命，再求平均壽命．解：各組中值分別為165，195，225，255，285，315，345，375，由此算得平均數(shù)約為165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=≈268（天）．這些組中值的方差為×［1×（165-268）2+11×（195-268）2+18×（225-268）2+20×（255-268）2+25×（285-268）2+16×（315-268）2+7×（345-268）2+2×（375