空間與圖形知識(shí)拓展

空間與圖形知識(shí)拓展第1頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/22浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院蔣志萍?xì)W氏幾何直觀幾何非歐幾何幾何分形空間與圖形知識(shí)拓展第2頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/23浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院蔣志萍《墨經(jīng)》公元前4世紀(jì)《歐氏幾何》公元前3世紀(jì)《解析幾何》公元16世紀(jì)《非歐幾何》公元19世紀(jì)《分形幾何》公元20世紀(jì)《直觀幾何》生活中的幾何

幾何發(fā)展簡(jiǎn)史第3頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二《墨經(jīng)》是我國(guó)春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的思想家、政治家墨子的弟子及其再傳弟子對(duì)墨子言行的記述?！赌?jīng)》中有17條專(zhuān)論數(shù)學(xué)，墨子給出了不少幾何概念的定義，也對(duì)一些數(shù)學(xué)概念進(jìn)行了論述，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)理論以邏輯方法加以研究的最早嘗試。如：“平，同高也”，這是關(guān)于平行的定義。

“圜，一中同長(zhǎng)也”，這是圓的定義。等等《墨經(jīng)》的一些定義和論述雖然不成一個(gè)完整的體系，也不夠嚴(yán)密，但仍然值得我們珍視，因?yàn)樗某蓵?shū)比《幾何原本》要早近一世紀(jì)。

中國(guó)古代幾何——《墨經(jīng)》第4頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

《幾何原本》是古希臘偉大數(shù)學(xué)家歐幾里德在公元前3世紀(jì)是所著的，古往今來(lái)最偉大的著作之一。在西方是僅次于《圣經(jīng)》而流傳最廣的書(shū)籍。

兩千多年來(lái)，《幾何原本》一直是學(xué)習(xí)幾何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多偉大的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過(guò)《幾何原本》，從中吸取了豐富的營(yíng)養(yǎng)，從而作出了許多偉大的成就。

歐氏幾何——《幾何原本》第5頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

《幾何原本》《幾何原本》共十三卷。整個(gè)著作以23個(gè)定義開(kāi)始，同時(shí)列置了五條公設(shè)和五條公理，然后按邏輯次序，系統(tǒng)而有組織地排列命題，并以嚴(yán)格的演繹方法進(jìn)行命題的證明。第6頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二23條定義

1.點(diǎn)是沒(méi)有部分的東西

2.線(xiàn)只有長(zhǎng)度而沒(méi)有寬度

3.一線(xiàn)的兩端是點(diǎn)

4.直線(xiàn)是它上面的點(diǎn)一樣地平放著的線(xiàn)

5.面只有長(zhǎng)度和寬度

6.面的邊緣是線(xiàn)

7.平面是它上面的線(xiàn)一樣地平放著的面第7頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二8.平面角是在一平面內(nèi)但不在一條直線(xiàn)上的兩條相交線(xiàn)相互的傾斜度.9.當(dāng)包含角的兩條線(xiàn)都是直線(xiàn)時(shí)，這個(gè)角叫做直線(xiàn)角.10.當(dāng)一條直線(xiàn)和另一條直線(xiàn)交成鄰角彼此相等時(shí)，這些角每一個(gè)被叫做直角，而且稱(chēng)這一條直線(xiàn)垂直于另一條直線(xiàn)。11.大于直角的角稱(chēng)為鈍角。12.小于直角的角稱(chēng)為銳角。13.邊界是物體的邊緣。14.圖形是一個(gè)邊界或者幾個(gè)邊界所圍成的。第8頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二15.圓：由一條線(xiàn)包圍著的平面圖形，其內(nèi)有一點(diǎn)與這條線(xiàn)上任何一個(gè)點(diǎn)所連成的線(xiàn)段都相等。16.這個(gè)點(diǎn)（指定義15中提到的那個(gè)點(diǎn)）叫做圓心。17.圓的直徑是任意一條經(jīng)過(guò)圓心的直線(xiàn)在兩個(gè)方向被圓截得的線(xiàn)段，且把圓二等分。18.半圓是直徑與被它切割的圓弧所圍成的圖形，半圓的圓心與原圓心相同。19.直線(xiàn)形是由直線(xiàn)圍成的.三邊形是由三條直線(xiàn)圍成的,四邊形是由四條直線(xiàn)圍成的,多邊形是由四條以上直線(xiàn)圍成的.第9頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二20.在三邊形中,三條邊相等的,叫做等邊三角形;只有兩條邊相等的,叫做等腰三角形;各邊不等的,叫做不等邊三角形.21.此外,在三邊形中,有一個(gè)角是直角的,叫做直角三角形;有一個(gè)角是鈍角的,叫做鈍角三角形;三個(gè)都是銳角的,叫做銳角三角形.第10頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二22.在四邊形中,四邊相等且四個(gè)角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四邊不全相等的,叫做長(zhǎng)方形;四邊相等,但角不是直角的,叫做菱形;對(duì)角相等且對(duì)邊相等,但邊不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四邊形叫做不規(guī)則四邊形.23.平行直線(xiàn)是在同一個(gè)平面內(nèi)向兩端無(wú)限延長(zhǎng)不能相交的直線(xiàn).第11頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五條公理

《幾何原本》中有“公設(shè)”與“公理”之分，近代數(shù)學(xué)對(duì)此不再區(qū)分，都稱(chēng)“公理”。

1.等于同量的量彼此相等；

2.等量加等量，其和相等；

3.等量減等量，其差相等；

4.彼此能重合的物體是全等的；

5.整體大于部分。

第12頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二五條公設(shè)

1.過(guò)兩點(diǎn)能作且只能作一直線(xiàn)；

2.線(xiàn)段(有限直線(xiàn))可以無(wú)限地延長(zhǎng)；

3.以任一點(diǎn)為圓心,任意長(zhǎng)為半徑,可作一圓；

4.凡是直角都相等；

5.同平面內(nèi)一條直線(xiàn)和另外兩條直線(xiàn)相交，若在直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于180°，則這兩條直線(xiàn)經(jīng)無(wú)限延長(zhǎng)后在這一側(cè)一定相交。第13頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二《幾何原本》共有十三卷第一卷幾何基礎(chǔ)第二卷幾何與代數(shù)第三卷圓與角第四卷圓與正多邊形第五卷比例第六卷相似第七卷數(shù)論（一）第八卷數(shù)論（二）第九卷數(shù)論（三）第十卷無(wú)理量第十一卷立體幾何第十二卷立體的測(cè)量第十三卷建正多面體第14頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第一卷：幾何基礎(chǔ)重點(diǎn)內(nèi)容有三角形全等的條件，三角形邊和角的大小關(guān)系，平行線(xiàn)理論，三角形和多角形等積（面積相等）的條件，第一卷最后兩個(gè)命題是畢達(dá)哥拉斯定理的正逆定理；第二卷：幾何與代數(shù)講如何把三角形變成等積的正方形；其中12、13命題相當(dāng)于余弦定理。第三卷：圓與角闡述圓，弦，切線(xiàn)，割線(xiàn)，圓心角，圓周角的一些定理。第四卷：圓與正多邊形討論圓內(nèi)接和外切多邊形的做法和性質(zhì)；

第15頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第五卷：比例討論比例理論，多數(shù)是繼承自歐多克斯的比例理論,被認(rèn)為是"最重要的數(shù)學(xué)杰作之一"第六卷：相似講相似多邊形理論，以此闡述了比例的性質(zhì)第七、八、九卷：數(shù)論講述算術(shù)理論；第十卷：無(wú)理量篇幅最大的一卷，討論無(wú)理量（與給定的量不可通約的量），其中第一命題是極限思想的雛形。第十一、十二、十三卷：立體幾何講述立體幾何的內(nèi)容.從這些內(nèi)容可以看出，目前中學(xué)課程里的初等幾何的主要內(nèi)容已經(jīng)完全包含在《幾何原本》里了。第16頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二公理化方法

指在一個(gè)理論體系中盡可能少地選取一組原始概念和一組不加證明的基本公理，以此為出發(fā)點(diǎn)并運(yùn)用純邏輯推理法則，把該系統(tǒng)建成一個(gè)演繹體系的方法

發(fā)展歷史歐幾里德產(chǎn)生羅巴切夫斯基、黎曼半形式化希爾伯特形式化純形式化哥德?tīng)柌煌陚湫远ɡ恚?931）第17頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二公理化方法的基本內(nèi)容(1)選擇基本概念

基本概念應(yīng)當(dāng)是該論域中最原始對(duì)象的最簡(jiǎn)單的思想規(guī)定。

點(diǎn)線(xiàn)面第18頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二選擇基本公理公理是對(duì)基本概念之間相互關(guān)系的規(guī)定。獨(dú)立性基本公理相容性完備性第19頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二歐幾里德的《幾何原本》誕生后，它統(tǒng)治了幾何學(xué)2000余年，但對(duì)其持懷疑態(tài)度者也為數(shù)不少，最集中的懷疑點(diǎn)就是第五公設(shè)：

“當(dāng)兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，如有一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，則將這兩條直線(xiàn)向該側(cè)適當(dāng)延長(zhǎng)后必定相交。”非歐幾何第20頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

懷疑的原因主要有兩點(diǎn)，一是它遠(yuǎn)不如前面四條公設(shè)那樣簡(jiǎn)單清楚，而是語(yǔ)句冗長(zhǎng)，做含意不清；二是歐幾里德本人也似乎盡量少用第五公設(shè)，直到第29個(gè)定理才用到它。1795年，蘇格蘭的普雷菲爾提出了更為簡(jiǎn)明替代公設(shè)：“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有且只有一條直線(xiàn)與該直線(xiàn)平行?！边@一公設(shè)也叫平行公設(shè)，它被普遍采用。第21頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

1816年，俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基首先提出了一個(gè)不同的假設(shè)：“過(guò)直線(xiàn)外上一點(diǎn)不止作一條直線(xiàn)與該直線(xiàn)不相交?！睆倪@個(gè)假設(shè)出發(fā)，推導(dǎo)出一第列前后一貫的命題，構(gòu)成了邏輯上沒(méi)有矛盾，但與歐幾里德幾何完全不同的另外一種幾何，他稱(chēng)之為“虛幾何學(xué)”。

第22頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二但由于羅巴切夫斯基的新學(xué)說(shuō)背離了幾千年的傳統(tǒng)思想，他的學(xué)說(shuō)一發(fā)表，就遭到了社會(huì)上的攻擊、侮辱和謾罵。面對(duì)這種種攻擊和非難，羅巴切夫斯基毫不畏懼，并為自己的學(xué)說(shuō)奮斗了一生。在逝世的前一年，已雙目失明的羅巴切夫斯基，還口授了一部非歐幾何的著作《泛幾何學(xué)》。第23頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二同時(shí)發(fā)現(xiàn)非歐幾何的還有兩個(gè)人，一是德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，另一個(gè)是匈牙利的鮑耶。但都因能想象的原因沒(méi)有發(fā)表他們的研究結(jié)果。

第24頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二非歐幾何還包括黎曼幾何，其出發(fā)點(diǎn)是將平行公設(shè)改為“在平面上過(guò)直線(xiàn)外任一點(diǎn)所作直線(xiàn)必定與該直線(xiàn)相交?！钡?5頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1868年，意大利數(shù)學(xué)家貝特拉米發(fā)表《非歐幾何解釋的嘗試》，首次證明非歐幾何可以在歐氏空間的曲面上實(shí)現(xiàn)。兩年后，德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因也對(duì)非歐幾何給出解釋?zhuān)褮W氏幾何叫“拋物幾何”，羅巴切夫斯基幾何叫“雙曲幾何”，黎曼幾何叫“橢圓幾何”，三者之間就其空間概念來(lái)說(shuō)，所不同的僅是“曲率”。第26頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二歐氏幾何:

同一直線(xiàn)的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)相交。垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行。存在相似而不全等的多邊形。過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)可以做且僅能做一個(gè)圓。羅巴切夫斯基幾何:同一直線(xiàn)的垂線(xiàn)和斜線(xiàn)不一定相交。垂直于同一直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)，當(dāng)兩端延長(zhǎng)的時(shí)候離散到無(wú)窮不存在相似而不全等的多邊形。過(guò)不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)，不一定能做一個(gè)圓。

第27頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二從上面所列舉得羅巴切夫斯基幾何的一些命題可以看到，這些命題和我們所習(xí)慣的直觀形象有矛盾。所以羅巴切夫斯基幾何中的一些幾何事實(shí)沒(méi)有象歐氏幾何那樣容易被接受。但是，數(shù)學(xué)家們經(jīng)過(guò)研究，提出可以用我們習(xí)慣的歐氏幾何中的事實(shí)作一個(gè)直觀“模型”來(lái)解釋羅氏幾何是正確的。

第28頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第29頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

用四根筷子，先在桌面上擺成有一對(duì)角很小的菱形，這時(shí)菱形的內(nèi)角和等于360度。之后，你將一對(duì)筷子沿鈍角翻折，保持在翻折過(guò)程中，兩根筷子之間的頂角不變。此時(shí)--如圖所示，四個(gè)筷子之間的夾角就小于360度了。

第30頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解析幾何解析幾何是用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科。它的創(chuàng)始人是法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡兒，笛卡兒同時(shí)是一位杰出的哲學(xué)家和生物學(xué)家。第31頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二歐拉在研究七橋問(wèn)題中，把問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一種只研究圖形各部分位置的相對(duì)次序，而不考慮它們大小的新幾何學(xué)，如今這一新的幾何學(xué)，已經(jīng)發(fā)展成一門(mén)重要的數(shù)學(xué)分支——拓樸學(xué)。

關(guān)于拓樸第32頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在拓樸學(xué)中人們感興趣的只是圖形的位置，而不是它的大小。有人把拓樸學(xué)說(shuō)成是橡皮膜上的幾何學(xué)是很恰當(dāng)?shù)?。因?yàn)橄鹌つど系膱D形，隨著橡皮膜的拉動(dòng)，其長(zhǎng)度、曲直、面積等等都將發(fā)生變化。此時(shí)談?wù)摗坝卸嚅L(zhǎng)？”、“有多大？”之類(lèi)的問(wèn)題，是毫無(wú)意義的！第33頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二不過(guò)在橡皮幾何里也有一些圖形的性質(zhì)保持不變。例如點(diǎn)變化后仍然是點(diǎn)；線(xiàn)變化后依舊是線(xiàn)；相交的圖形絕不因橡皮的拉伸和彎曲而變得不相交！拓樸學(xué)正是研究諸如此類(lèi)，使圖形在橡皮膜上保持不變性質(zhì)的幾何學(xué)。第34頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在橡皮幾何中，有一個(gè)極為重要的公式，這個(gè)公式是歐拉于公元1750年證得的。公式說(shuō)：對(duì)于一個(gè)平面脈絡(luò)（連通的網(wǎng)絡(luò)），脈絡(luò)的頂點(diǎn)數(shù)V、弧線(xiàn)數(shù)E和區(qū)域數(shù)F，三者之間有如下關(guān)系：

V＋F－E＝2這個(gè)結(jié)論，推廣到多面體顯然也是成立的。事實(shí)上多面體的歐拉公式只是平面歐拉公式的一個(gè)特例。第35頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1.去掉一個(gè)面，再將它壓縮為平面圖形．四面體頂點(diǎn)數(shù)V、棱數(shù)E與剩下的面數(shù)F1變形后都沒(méi)有變．只需證V＋F1－E＝1．2.將所得的平面圖形外圍的線(xiàn)段逐一去掉．每去掉一條線(xiàn)段，就減少一個(gè)面，V＋F1－E不變．依次去掉所有的外圍線(xiàn)段，變?yōu)椤皹?shù)枝形”．3.從剩下的樹(shù)枝形中，逐一去掉線(xiàn)段，直至只剩一條線(xiàn)段．每去掉一條線(xiàn)段，就減少一個(gè)頂點(diǎn)，V＋F1－E不變，最后只剩下一條線(xiàn)段，此時(shí)V＋F1－E＝2＋0－1＝1．4.以上V＋F1－E＝1．所以加上去掉的一個(gè)面，V＋F－E＝2．證明V＋F－E＝2（V=頂點(diǎn)F=面E=棱）第36頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二證明2：計(jì)算多面體各面內(nèi)角和設(shè)多面體頂點(diǎn)數(shù)V，面數(shù)F，棱數(shù)E．剪掉一個(gè)面，使它變?yōu)槠矫鎴D形（拉開(kāi)圖），求所有面內(nèi)角總和∑α．一方面，在原圖中利用各面求內(nèi)角總和．設(shè)有F個(gè)面，各面的邊數(shù)分別為n1，n2，…，nF，各面內(nèi)角總和為：

∑α＝[(n1－2)·180＋(n2－2)·180＋…＋(nF－2)·180〕＝(n1＋n2＋…＋nF－2F)·180＝(2E－2F)·180＝（E－F）·360（1）第37頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二另一方面，在拉開(kāi)圖中利用頂點(diǎn)求內(nèi)角總和．設(shè)剪去的一個(gè)面為n邊形，其內(nèi)角和為(n－2)·1800，則所有V個(gè)頂點(diǎn)中，有n個(gè)頂點(diǎn)在邊上，V－n個(gè)頂點(diǎn)在中間．中間V－n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和為(V－n)·360，邊上的n個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角和(n－2)·1800．所以，多面體各面的內(nèi)角總和：∑α＝（V－n）·360＋（n－2）·180＋（n－2）·180＝（V－2）·360（2）由（1）（2）得：（E－F）·3600＝（V－2）·360所以V＋F－E＝2．第38頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題：還有其它的正多面體么？為什么？Fn=2EVm=2E（每個(gè)面n邊形每個(gè)頂點(diǎn)m條棱）正多面體第39頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二問(wèn)題1：蜂房構(gòu)造問(wèn)題問(wèn)題2：圓周率計(jì)算問(wèn)題3：等距圖形。。。。。。相關(guān)問(wèn)題第40頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二普通幾何學(xué)簡(jiǎn)述歐氏幾何學(xué)的元素

點(diǎn)：現(xiàn)實(shí)中的點(diǎn)抽象為幾何中的點(diǎn)——0維；線(xiàn)：現(xiàn)實(shí)中的線(xiàn)抽象為幾何中的線(xiàn)——一維；面：現(xiàn)實(shí)中的面抽象為幾何中的面——二維；體：現(xiàn)實(shí)中的體抽象為幾何中的體——三維；時(shí)空：空間加時(shí)間抽象為幾何時(shí)空——四維；以上概念再抽象為一般的歐氏空間——n維。第41頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二歐氏幾何學(xué)的特征

1維數(shù)——整數(shù)；

2測(cè)度——特征長(zhǎng)度；

3圖形——光滑（可微）。非歐幾何學(xué)

1球面幾何學(xué)：三角形三內(nèi)角和定理、勾股定理等不再成立。其模型是球面。第42頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

2羅巴契夫斯基幾何：過(guò)已知直線(xiàn)外一點(diǎn)，至少可作兩條直線(xiàn)平行于該直線(xiàn)。其模型類(lèi)似于“馬鞍面”。

3黎曼幾何：過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，不再有直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行。其模型基本上是的球面。歐氏幾何、羅氏幾何、黎曼幾何各自所有的命題都構(gòu)成了一個(gè)嚴(yán)密的公理體系，各公理之間滿(mǎn)足和諧性、完備性和獨(dú)立性。因此這三種幾何都是正確的。第43頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二在常觀領(lǐng)域，歐氏幾何是適用的；在宇觀或微觀世界，羅氏幾何更符合客觀實(shí)際；在地球表面研究航海、航空等實(shí)際問(wèn)題中，黎曼幾何更準(zhǔn)確一些。但大自然既豐富多彩又姿態(tài)萬(wàn)千，呈現(xiàn)十分的復(fù)雜性。以上各種幾何均不能確切反映大自然的這種異常復(fù)雜性、自相似性、標(biāo)度（尺度）不變性（無(wú)特征長(zhǎng)度或稱(chēng)伸縮對(duì)稱(chēng)性）、層次性、遞歸性等,而分形幾何對(duì)此卻可大顯身手。第44頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分形幾何

分形幾何學(xué)是一門(mén)研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。分形包括線(xiàn)性分形和非線(xiàn)性分形。自相似性、標(biāo)度不變性和分?jǐn)?shù)維是分形幾何最基本的特征。分形幾何學(xué)描述了真實(shí)大自然的形狀、性質(zhì)等，具有廣泛的應(yīng)用性。第45頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

傳統(tǒng)幾何學(xué)對(duì)研究大自然具有很大局限性。它們?cè)诒磉_(dá)自然時(shí)總是會(huì)遇到這樣的難題：即無(wú)法表現(xiàn)大自然在不同尺度層次上的無(wú)窮無(wú)盡的細(xì)節(jié)。正如曼德布羅特所說(shuō)：“云朵不是球，山巒不是錐，海岸線(xiàn)不是圓，樹(shù)皮不光滑，閃電也不走直線(xiàn)”。曼德布羅特曾提出一個(gè)劃時(shí)代的問(wèn)題：英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)？分形幾何學(xué)起源第46頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

第47頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

這個(gè)問(wèn)題在數(shù)學(xué)上可以理解為：用折線(xiàn)段擬合任意不規(guī)則的連續(xù)曲線(xiàn)是否一定有效？這個(gè)問(wèn)題的提出實(shí)際上是對(duì)以歐氏幾何為核心的傳統(tǒng)幾何的挑戰(zhàn)。為研究自然的復(fù)雜性和一些所謂的“病態(tài)圖形”，需要一種新的幾何學(xué)——分形幾何學(xué)，即所謂的大自然幾何學(xué)。

可以這樣說(shuō)，從大自然到歐氏幾何、非歐幾何，是人類(lèi)抽象思維的奇葩；從大自然到分形幾何，是人類(lèi)描述客觀世界的瑰寶。

第48頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分形幾何學(xué)圖述

1請(qǐng)欣賞繁復(fù)多姿的大自然（1）浩瀚星空第49頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（2）

層疊山巒第50頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（3）

千姿云霞第51頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（4）

縱橫水系第52頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（5）

清幽文竹第53頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（6）交錯(cuò)氣管第54頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

（7）腎臟血管第55頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（8）

曲折海岸第56頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（9）

交織閃電第57頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

（10）參天大樹(shù)第58頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

猜想：它們雖然很復(fù)雜且各不相同，但每個(gè)事物的局部與整體具有很大的相似性。我國(guó)海岸線(xiàn)自鴨綠江口至北侖河口，長(zhǎng)達(dá)1.8萬(wàn)多千米。此長(zhǎng)度是以千米為標(biāo)尺測(cè)量所得，測(cè)得海岸線(xiàn)有段。如果用厘米為標(biāo)尺，則測(cè)得海岸線(xiàn)就有段，可以算出這時(shí)海岸線(xiàn)的長(zhǎng)度為381.2萬(wàn)千米。這是書(shū)上給出長(zhǎng)度的212倍。復(fù)雜大自然的共性第59頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二曼德布羅特其人第60頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1924年出生在華沙的一個(gè)猶太家庭中，父親是成衣批發(fā)商，母親是牙科醫(yī)生。1936年遷往巴黎。他受的教育很不正規(guī)，時(shí)斷時(shí)續(xù)，他自己說(shuō)從來(lái)沒(méi)有學(xué)過(guò)字母表，沒(méi)有學(xué)過(guò)5乘5以上的乘法表。他當(dāng)過(guò)車(chē)窗維修學(xué)徒工。然而當(dāng)他回憶起個(gè)人的艱辛歷程時(shí)，始終記住在學(xué)校里與老師成為朋友，其中有幾位是因戰(zhàn)爭(zhēng)而流落的杰出學(xué)者。第61頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二巴黎解放后，由于他天賦好，雖然缺乏準(zhǔn)備，卻通過(guò)了高等師范和高等工業(yè)學(xué)院的嚴(yán)格考試，筆試和口試竟長(zhǎng)達(dá)一個(gè)月，還包括繪畫(huà)課。他在臨摹維納斯雕像時(shí)表現(xiàn)出潛在的靈巧。數(shù)學(xué)考試他成功地靠幾何直覺(jué)掩蓋了缺乏訓(xùn)練。不管給出什么解析問(wèn)題，他幾乎總可以用腦海中的形象加以思考。給出一個(gè)圖形，它可以設(shè)法變換它，改變它的對(duì)稱(chēng)，使他更為和諧。他的變換往往直接導(dǎo)致問(wèn)題的解決。由于學(xué)術(shù)思想上的尖銳沖突，他離開(kāi)法國(guó)到美國(guó)定居。1958年，他接受?chē)?guó)際商用機(jī)器公司（IBM）沃森研究中心的聘請(qǐng)，開(kāi)始他的異國(guó)科學(xué)研究生涯。第62頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二他嘗試過(guò)語(yǔ)言學(xué)，解釋詞的一種分布規(guī)律；在哈佛大學(xué)教過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)；在耶魯大學(xué)教過(guò)工程學(xué)；在愛(ài)因斯坦醫(yī)學(xué)院教過(guò)生理學(xué)，等等。他自己說(shuō)過(guò)：“當(dāng)我聽(tīng)到過(guò)去從事過(guò)的一連串職業(yè)時(shí)，常常懷疑自己是否存在，這些集合的交集肯定是空集。”彎彎曲曲的海岸線(xiàn)，蜿蜒起伏的山巒輪廓線(xiàn)，變換飛渡的浮云，裊裊上升的煙柱，一瀉千里的江河，‥‥‥他反復(fù)觀察，持續(xù)思考，試圖從中悟出大自然的真諦。第63頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二1967年，他在美國(guó)《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇題為《英國(guó)的海岸線(xiàn)有多長(zhǎng)》的論文。這篇論文成為分形誕生的標(biāo)志。1977年，他出版了奠基性著作《分形：形、機(jī)遇與維數(shù)》，緊接著于1982年又出版了《自然界的分形幾何學(xué)》。曼德布羅特獲得了巨大的成就，贏得了崇高榮譽(yù)。他是IBM公司的高級(jí)研究員，哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，美國(guó)國(guó)家科學(xué)院院士，美國(guó)藝術(shù)與科學(xué)研究員院士。第64頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二曼德布羅特這樣定義分形①若一個(gè)集合在歐氏空間中的豪斯道夫維數(shù)大于其拓?fù)渚S數(shù)，則稱(chēng)該集合為分形集，簡(jiǎn)稱(chēng)分形。②組成部分以某種方式與整體相似的形體叫分形。分形是非線(xiàn)性科學(xué)中與混沌、孤子平列的三個(gè)最重要的概念之一。分形的定義第65頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分形可以看成具有下列性質(zhì)的集合F：①F具有精細(xì)結(jié)構(gòu)，即在任意小的比例尺度內(nèi)包含整體；②F是不規(guī)則的，以致于不能用普通幾何語(yǔ)言來(lái)描述；③F通常具有某種自相似性或自反射性，這可以是統(tǒng)計(jì)意義下的；④F在某種方式下定義的分維數(shù)通常大于其拓?fù)渚S數(shù)；⑤F的定義常常是非常簡(jiǎn)單的，或是遞歸（迭代）的。第66頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二研究無(wú)限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形或結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)稱(chēng)為分形幾何學(xué)。分形幾何學(xué)研究的基本對(duì)象是：①自仿射集（每個(gè)映射都是壓縮的仿射映射—平面間保持點(diǎn)組共線(xiàn)的可逆映射）；②迭代函數(shù)系統(tǒng)的不變集（每個(gè)映射都是壓縮映射）③分形函數(shù)（如魏爾斯托拉斯函數(shù)）；④隨機(jī)分形（如隨機(jī)科赫曲線(xiàn)）。分形幾何學(xué)的定義第67頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分形幾何學(xué)的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時(shí)間、空間等方面具有形態(tài)或統(tǒng)計(jì)意義上的相似性，即自相似性。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有兩極，不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場(chǎng)。這種自相似的層次結(jié)構(gòu)，適當(dāng)放大或縮小幾何尺寸，整個(gè)結(jié)構(gòu)不變。第68頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二曼德布羅特集第69頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

曼德?tīng)柌剂_特集是在復(fù)平面上組成分形的點(diǎn)的集。

集最經(jīng)常被用來(lái)說(shuō)明何為分形幾何。它顯示了分形之美，已成為分形、混沌的國(guó)際標(biāo)志性圖案；它可以幫助我們更好地理解我們周?chē)灰?guī)則和粗糙的世界集合可以用復(fù)二次多項(xiàng)式來(lái)定義，其中

是一個(gè)復(fù)參數(shù)。給定(一般取Z=0)為一初始復(fù)數(shù)，對(duì)Z進(jìn)行以上迭代。第70頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

朱莉亞集第71頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二邏輯斯蒂映射第72頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（1）康托爾三分集康托爾集是由不斷去掉線(xiàn)段中間三分之一而得出。首先從區(qū)間[0,

1]中去掉中間三分之一(1/3,

2/3)，留下兩條線(xiàn)段[0,

1/3]∪[2/3,

1]。再把它們中間三分之一都去掉,留下四條線(xiàn)段[0,

1/9]∪[2/9,

1/3]∪[2/3,

7/9]∪[8/9,

1]。把這個(gè)過(guò)程一直進(jìn)行下去，其中第個(gè)集合為：康托爾集即由所有過(guò)程中未被去掉的區(qū)間[0,

1]中的點(diǎn)組成。幾個(gè)著名“病態(tài)”圖形第73頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二下面的圖顯示了最初六個(gè)步驟

康托爾集是完備集、疏朗集、零測(cè)集和不可數(shù)集。類(lèi)似地，可構(gòu)造康托爾四分集、五分集…康托爾三分集第74頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二科赫曲線(xiàn)第75頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

設(shè)一等邊三角形（邊長(zhǎng)設(shè)為1）,把等邊三角形的一邊等分成三段，將中間的一段用夾角為60度的兩條等長(zhǎng)折線(xiàn)來(lái)代替，形成一生成元；經(jīng)無(wú)窮次迭代后就呈現(xiàn)出一條有無(wú)窮多彎曲的科赫曲線(xiàn)。科赫雪花邊的總長(zhǎng)度將趨于無(wú)窮它所圍的面積是一個(gè)確定的值：科赫曲線(xiàn)的長(zhǎng)度和面積第76頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二類(lèi)似地可以構(gòu)造一些“病態(tài)”圖形：①將單位線(xiàn)段中間一段用正方形的另外三條邊來(lái)代替，得到

第77頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二②將單位線(xiàn)段四等分，中間兩段分別用方向相反的兩個(gè)正方形的另三條邊代替，得到

第78頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二③將單位線(xiàn)段五等分，第二段和第四段用方向相反的兩個(gè)正方形的另三條邊代替，得到

第79頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

取一正方形將其作9等分，得9個(gè)較小的正方形，并舍去中央的那個(gè)小正方形，保留周?chē)?個(gè)小正方形。然后將保留的每個(gè)小正方形再進(jìn)行9等分，并且同樣舍去中央的正方形。按此規(guī)則不斷細(xì)分與舍去，直至無(wú)窮。

謝爾賓斯基地毯第80頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第81頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

謝爾賓斯基地毯的極限圖形面積趨于零，它實(shí)際上是一個(gè)線(xiàn)集，圖形具有嚴(yán)格的自相似性。

類(lèi)似地可以構(gòu)造謝爾賓斯基海綿。將一個(gè)立方體的棱三等分后得到27個(gè)小立方體。將體心和面心上的共7個(gè)小立方體舍去保留其余的20個(gè)小立方體。下一步再對(duì)每個(gè)小立方體進(jìn)行與上面一樣的操作，這樣就得到更小的20×20＝400個(gè)立方體。將如此操作一直進(jìn)行下去直至無(wú)窮。第82頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二謝爾賓斯基海綿第83頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二（1）無(wú)規(guī)則性：從整體上看，分形幾何的圖形處處無(wú)規(guī)則。（2）自相似性：微小局部能夠體現(xiàn)較大局部的特征，進(jìn)而也能體現(xiàn)其整體的特征。大自然中的許多不規(guī)則物體，可能存在不同尺度上的相似性，稱(chēng)為自相似性。標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象，如科赫雪花曲線(xiàn)、謝爾賓斯基地毯曲線(xiàn)等。這種有規(guī)分形只是少數(shù)，絕大部分分形是統(tǒng)計(jì)意義上的無(wú)規(guī)分形。分形幾何學(xué)的特征第84頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二對(duì)于規(guī)則圖形，如長(zhǎng)一千米的線(xiàn)段，用千米作單位和用米等作單位去度量，其結(jié)果相同。這表明規(guī)則圖形具有特征長(zhǎng)度性質(zhì)。但對(duì)于大自然中的許多形體，卻不具有這樣的性質(zhì)。例如我們知道海岸線(xiàn)的長(zhǎng)度就會(huì)因單位的不同，而發(fā)生大的變化。這說(shuō)明海岸線(xiàn)沒(méi)有特征尺寸。另一方面，海岸線(xiàn)卻具有自相似性。這種自相似性，實(shí)際上就是一種尺度（標(biāo)度）不變性。這表明標(biāo)度不變性刻畫(huà)了一種圖形的自相似性質(zhì)。標(biāo)度不變性第85頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量。整數(shù)維是幾何對(duì)象中一個(gè)點(diǎn)的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)目。但歐幾里德的測(cè)量——長(zhǎng)度、高度、寬度不能捕捉不規(guī)則圖形的實(shí)質(zhì)。在分形幾何學(xué)中，一條極為重要而簡(jiǎn)單的結(jié)論是表面與表面并不在每一處都接觸。曼德布羅特放棄了這些測(cè)量而轉(zhuǎn)向維數(shù)概念的研究。在某種意義上說(shuō)，不規(guī)則程度相當(dāng)于一個(gè)物體占領(lǐng)空間的本領(lǐng)。因此，一個(gè)形體的維數(shù)就表示該形體占領(lǐng)空間的程度。分?jǐn)?shù)維是描述一個(gè)分形對(duì)空間填充程度的統(tǒng)計(jì)量。分?jǐn)?shù)維數(shù)的概念第86頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二取單位長(zhǎng)度的一根線(xiàn)段，用這要線(xiàn)段為邊長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)正方形，為棱長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)正方體?，F(xiàn)在我們把這根線(xiàn)段等分為二，那么我們得到：線(xiàn)段（一維圖形）

正方體（二維圖形）

立方體（三維圖形）第87頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二一條線(xiàn)段放大二倍，得到長(zhǎng)線(xiàn)段是它的二倍；一個(gè)正方形邊長(zhǎng)放大二倍，其面積放大四倍；一個(gè)立方體棱邊放大兩倍，其體積放大八倍。

將線(xiàn)段放大的倍數(shù)記為

，放大后圖形變化的倍數(shù)記為

，則上述關(guān)系可以表達(dá)為

由以上關(guān)系式，明顯可得分別為1,2,3,即為相應(yīng)圖形的維數(shù)。這就是幾何圖形維數(shù)的定義。第88頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

將改記為，并對(duì)的兩邊取對(duì)數(shù)則得

對(duì)于規(guī)則圖形，是整數(shù)，即為歐氏幾何的維數(shù)；但對(duì)于不規(guī)則的幾何圖形，上式不總是可以整除的，故在一般情況下，一個(gè)幾何圖形的維數(shù)是個(gè)分?jǐn)?shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)為分維。豪斯道夫維數(shù)第89頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分?jǐn)?shù)維數(shù)的計(jì)算例1康托爾集的維數(shù)。

豪斯道夫維數(shù)：每次三等分后的一小段，將此放大三倍，把中間的1/3段舍去得到兩個(gè)1/3段，在豪斯道夫維數(shù)公式中，L＝3，K＝2，因此有：第90頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二解：由于迭代到第步時(shí)，其等長(zhǎng)折線(xiàn)段總數(shù)為，每段的長(zhǎng)度為，則科赫曲線(xiàn)的維數(shù)為:科赫曲線(xiàn)的維數(shù)第91頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二用3維尺度測(cè)量時(shí)體積為零，用2維尺度測(cè)量時(shí)面積為無(wú)窮大，分維值介于2、3之間。從一個(gè)小立方體出發(fā)，棱長(zhǎng)擴(kuò)大3倍體積擴(kuò)大27倍，但舍去了7個(gè)體心和面心立方體。謝爾賓斯基海綿的維數(shù)第92頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分?jǐn)?shù)維數(shù)模糊了點(diǎn)、線(xiàn)、面、體的絕對(duì)界限。如線(xiàn)的彎曲使維數(shù)進(jìn)化，面由于挖空而使維數(shù)退化。在這個(gè)意義上，線(xiàn)彎曲向面挺進(jìn)，面挖空向線(xiàn)靠攏。同樣，面由于長(zhǎng)棱角而維數(shù)進(jìn)化，體由于挖空而維數(shù)退化。在這個(gè)意義上，面棱角向體挺進(jìn)，體挖空向面靠攏。分形的復(fù)雜性比整數(shù)線(xiàn)、面、體大得多。第93頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何學(xué)基礎(chǔ)歐幾里德幾何學(xué)分形幾何學(xué)形態(tài)構(gòu)成元素理想化的基本幾何形式任何具有自相似性的形式形態(tài)構(gòu)成層次及方式單層次疊加或減式構(gòu)成多層次、自相似的嵌套構(gòu)成哲學(xué)視野靜態(tài)的機(jī)械作用結(jié)果動(dòng)態(tài)的有機(jī)發(fā)展過(guò)程分形幾何與歐氏幾何的比較第94頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二歐氏幾何分形幾何歷史經(jīng)典的，2000多年現(xiàn)代數(shù)學(xué)“怪物”，最近四十年對(duì)象人造物體，圖形規(guī)則，層次結(jié)構(gòu)有限適于自然形態(tài)，圖形不規(guī)則，結(jié)構(gòu)層次無(wú)限尺度基于特征長(zhǎng)度和比例沒(méi)有特征長(zhǎng)度和比例，具有無(wú)限細(xì)節(jié)性性質(zhì)局部一般不具有整體的信息，圖形越復(fù)雜背后的規(guī)則也越復(fù)雜局部往往具有整體的信息，圖形越復(fù)雜背后的規(guī)則經(jīng)常越簡(jiǎn)單。簡(jiǎn)言之，研究不規(guī)則形體的規(guī)則方法公式、基本元素遞歸、迭代算法第95頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二分形幾何的應(yīng)用1.分形幾何與等比數(shù)列分形有兩個(gè)顯著的特點(diǎn)：分形是發(fā)展的，分形是自相似的。完全類(lèi)似，有的數(shù)列同樣有這兩個(gè)特點(diǎn)：數(shù)列是發(fā)展的，數(shù)列是自相似的。最典型的要數(shù)等比數(shù)列了（也是迭代），.

這一數(shù)列不斷變化，但后項(xiàng)與前項(xiàng)之比不變。這就是等比數(shù)列的自相似性。第96頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

等比數(shù)列有許多不同的背景，最著名的要算生物無(wú)節(jié)制繁殖——兔子繁殖。第97頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

我們可以進(jìn)一步猜測(cè)：幾乎一切（無(wú)節(jié)制）繁殖數(shù)列都可能是等比數(shù)列的組合。菲波那契數(shù)列是假設(shè)兔子繁殖的一種規(guī)律而提出的。無(wú)獨(dú)有偶，科學(xué)家魯?shù)戮S格在樹(shù)分義中又發(fā)現(xiàn)了魯?shù)戮S格定律：一棵樹(shù)苗在一年后分出一條新枝，第二年新枝修生養(yǎng)息，老枝依然萌發(fā)，當(dāng)年的新枝則休息一年?？磥?lái)，菲波那契數(shù)列是體現(xiàn)生物繁殖的一個(gè)較普遍規(guī)律的數(shù)列。第98頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二第99頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

科學(xué)家們經(jīng)過(guò)廣泛計(jì)算，發(fā)現(xiàn)自然界的一維分形維度大多集中在1.6—1.7附近，這讓人很自然想起神秘的黃金分割率“1.618”。黃金分割實(shí)際上是一種特殊的自相似結(jié)構(gòu)，如果一條線(xiàn)段AB連接上它的黃金分割線(xiàn)段BC=0.618···×AB排列，BC再連接CD＝0.618···×BC，無(wú)限下去，用等比數(shù)列求和公式便可以證明，線(xiàn)段的總長(zhǎng)度為AB乘上黃金分?jǐn)?shù)，即1.618···×AB。黃金分割充分體現(xiàn)了部分和整體“依次排列”的自相似性。

分形幾何與黃金分割第100頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二

長(zhǎng)邊與短邊比值是黃金數(shù)1.618···的矩形稱(chēng)為黃金矩形，矩形內(nèi)截取掉一個(gè)正方形，剩下的小矩形仍然為黃金矩形。依次無(wú)限下去，會(huì)獲得依次呈螺旋形排列的自相似正方形。將這些正方形內(nèi)的1/4圓弧連接起來(lái)，構(gòu)成一個(gè)平滑的自相似螺旋，即黃金螺旋。第101頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二黃金螺旋是一個(gè)典型的一維分形，可大致計(jì)算一下其分形維度。用小方格法，將黃金矩形分成8×8＝64個(gè)小黃金矩形。一般情況下自然界的黃金螺旋有一定粗細(xì)，上面有更細(xì)微的分形結(jié)構(gòu)，基本能占滿(mǎn)它所經(jīng)過(guò)的小格。因此將包含黃金螺旋和與之相切的方格都納入其中，數(shù)得N(ε)＝29，因而有一定粗細(xì)的黃金螺旋分形維度log29/log8=1.619327···，很接近黃金數(shù)1.618。第102頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二生物界中近似的黃金螺旋

第103頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二2023/5/2104浙江外國(guó)語(yǔ)學(xué)院蔣志萍幾何證明幾何計(jì)算初等變換軌跡幾何作圖立體幾何幾何教學(xué)第104頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何證明——度量關(guān)系的證明構(gòu)造全等線(xiàn)段或角的相等利用已知的定理和結(jié)論借助計(jì)算直接用定理和相關(guān)結(jié)論線(xiàn)段或角的和（差/倍/分）證明轉(zhuǎn)化為相等借助計(jì)算利用定理和相關(guān)結(jié)論證明比例線(xiàn)段轉(zhuǎn)化（乘積、面積、構(gòu)造等）計(jì)算探求（從特殊到一般）定值問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化（已知定值）計(jì)算（引進(jìn)參變量）第105頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何證明——位置關(guān)系的證明

三線(xiàn)八角平行平等四邊形、中位線(xiàn)比例及相關(guān)定理和結(jié)論直接證明（利用定理和相關(guān)結(jié)論）垂直轉(zhuǎn)化（旋轉(zhuǎn)化證平行、等角）計(jì)算第106頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何量的計(jì)算1線(xiàn)段度量等長(zhǎng)性可加性長(zhǎng)度單位勾股定理及其推廣海倫公式秦九韶公式面積度量等積性可加性面積單位兩個(gè)常用面積比——共邊三角形的面積比共角三角形的面積比面積的基本算法——分塊法等分法補(bǔ)差分塊法第107頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何量的計(jì)算2解三角形兩邊之和大于第三邊三角形中的基本結(jié)論兩邊之差小于第三邊三角之和等于180度正弦定理基本定理射影定理余弦定理第108頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二初等變換1初等變換——平面到自身的一一映射（1）軸對(duì)稱(chēng)（反射）：基本不變量（距離）（2）平移：可分解為兩個(gè)反射之積（平行）（3）旋轉(zhuǎn)：可分解為兩個(gè)反射之積（共點(diǎn)）（4）中心對(duì)稱(chēng)（旋轉(zhuǎn)角為180度的旋轉(zhuǎn)）

保持距離不變的變換稱(chēng)合同變換，任一合同變換皆可分解為不多于三個(gè)反射之積。第109頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二初等變換2（5）位似變換：（同向位似與異向位似）基本不變量：任兩線(xiàn)段之比是定值基本不變性：平行性保角性保圓性（6）相似變換：（同向相似與異向相似）基本不變量：任兩線(xiàn)段之比、任意兩直線(xiàn)交角基本不變性：平等性保角性保圓性任一相似變換皆可分解為一個(gè)位似變換與一個(gè)合同變換之積。第110頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二軌跡（1）軌跡的意義：質(zhì)點(diǎn)按給定條件運(yùn)動(dòng)所留的痕跡（應(yīng)遵循的線(xiàn)路）曲線(xiàn)未必是軌跡；軌跡未必曲線(xiàn)。同一個(gè)圖形可以是是兩個(gè)不同的軌跡。只要給定的條件不同便是不同的軌跡，即便是同一圖形。（2）軌跡的證明：完備性和純粹性（條件的充分必要性）（3）軌跡的類(lèi)型第一類(lèi)軌跡題：給出軌跡的形狀、位置和大小第二類(lèi)軌跡題：給出軌跡的形狀、沒(méi)給出位置和大小第一類(lèi)軌跡題：軌跡的形狀、位置和大小均沒(méi)有給出第111頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二常見(jiàn)軌跡命題及其證明（1）基本軌跡中垂線(xiàn)角平分線(xiàn)圓橢圓雙曲線(xiàn)（2）軌跡命題：到兩定點(diǎn)之比為常值（不等于1的正數(shù)）的點(diǎn)的軌跡是圓（阿波羅尼斯圓）。（3）圓冪的概念：設(shè)P為定點(diǎn)，為圓O的半徑，若過(guò)P作任一直線(xiàn)交圓于A，B則PA與PB的積為定值，此定值為定點(diǎn)對(duì)圓O的冪，記第112頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二幾何作圖（1）作圖的意義：以圖形的特征為依據(jù)正確作出圖形，是工程技術(shù)中廣泛運(yùn)用的制圖理論基礎(chǔ)。（2）作圖的工具：一般約定限于直尺和圓規(guī)。（3）作圖的公法：過(guò)兩點(diǎn)作一條直線(xiàn)以某定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑作圓作二直線(xiàn)的交點(diǎn)作直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)作兩圓的交點(diǎn)第113頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二常用的作圖方法交軌法：合乎條件甲（軌跡）合乎條件乙（軌跡）兩軌跡交點(diǎn)奠基法：先作容易的部分，逐步作出全部圖形例：已經(jīng)三角形的三條中線(xiàn)作三角形利用變換：利用反射、平移、旋轉(zhuǎn)和解極值問(wèn)題的作圖法代數(shù)法：若對(duì)所作的點(diǎn)、線(xiàn)通過(guò)已知線(xiàn)段的四則運(yùn)算及開(kāi)方而表示出來(lái)，基于這種方式的作圖法第114頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二尺規(guī)作圖的不可能問(wèn)題（1）化圓為方求作一個(gè)正方形，使其面積為已知圓的面積（2）倍立方求作一正立方體，使它的體積等于已知正立方體的二倍。（3）三等分角第115頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二立體幾何直線(xiàn)與平面點(diǎn)線(xiàn)面的相關(guān)位置、空間兩直線(xiàn)的位置關(guān)系、直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系（三垂線(xiàn)定理及逆定理）、兩平面的位置關(guān)系（二面角）多面體四面體的一些性質(zhì)，凸多面體的歐拉定理，正多面體，截面圖的畫(huà)法體積計(jì)算體積概念，擬柱體體積公式，體積計(jì)算第116頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)學(xué)思維發(fā)展的不同階段直觀動(dòng)作的直觀形象的理論的（抽象的、概念的）0－33－1213－18

第117頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)自然科學(xué)研究對(duì)象——自然界的具體運(yùn)動(dòng)形態(tài)。

數(shù)學(xué)研究對(duì)象——形式化了的思想材料，不和某種物質(zhì)運(yùn)動(dòng)形態(tài)相聯(lián)系

人對(duì)自然界的概括和認(rèn)識(shí)摒棄一切現(xiàn)實(shí)內(nèi)容成為純粹的形式，布爾巴基派稱(chēng)之為“結(jié)構(gòu)”

第118頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二斯托利亞爾數(shù)學(xué)思維分級(jí)1－2幾何數(shù)與代數(shù)把幾何圖形看作整體，并只按形狀區(qū)分它們。數(shù)不脫離它所表征的許多具體事物，而演算直接在事物的集合上進(jìn)行。幾何圖形作為自己性質(zhì)的載體，并根據(jù)性質(zhì)進(jìn)行判定，但圖形性質(zhì)本身在邏輯上還不是有序的，就象圖形本身也不是有序的一樣，因?yàn)閳D形只是被描述，而不是被定義。數(shù)已經(jīng)脫離開(kāi)它們所表征的具體對(duì)象，同時(shí)與用一定的計(jì)數(shù)制寫(xiě)出的數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算的性質(zhì)用歸納的方法來(lái)判明。第119頁(yè)，共132頁(yè)，2023年，2月20日，星期二斯托利亞爾數(shù)學(xué)思維分級(jí)3幾何數(shù)與代數(shù)對(duì)圖形的性質(zhì)和圖形本身進(jìn)行邏輯整理，在借助定義建立的一定的邏輯聯(lián)系中突出幾何圖形，用邏輯方法推出圖形的其它性質(zhì)。但演繹法本身的意義基本上還沒(méi)有被了解，因?yàn)檠堇[體系基本上沒(méi)被了解。從數(shù)字表示的具體的數(shù)過(guò)渡到抽象的