第七章 拉伸和壓縮

第七章拉伸和壓縮1第1頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三§7-1軸向拉伸壓縮2第2頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3第3頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三4第4頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三軸向拉伸壓縮特點：

作用在桿件上的外力合力的作用線與桿件軸線重合，桿件變形是沿軸線方向的伸長或縮短。桿的受力簡圖為:FF拉伸FF壓縮5第5頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三軸力和軸力圖1、軸力：橫截面上的內(nèi)力2、截面法求軸力FFmmFFN截:

假想沿m-m橫截面將桿切開取:

留下左半段或右半段代:

將拋掉部分對留下部分的作用力用內(nèi)力代替平:

對留下部分寫平衡方程求出內(nèi)力即軸力的值FFN6第6頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3、軸力正負號：拉為正、壓為負4、軸力圖：軸力沿桿件軸線變化的圖形由于外力的作用線與桿件的軸線重合，內(nèi)力的作用線也與桿件的軸線重合。所以稱為軸力。FFmmFFNFFN7第7頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三已知:F1=10kN；F2=20kN；F3=35kN；F4=25kN;試畫出圖示桿件的軸力圖。FN1F1解：1、計算各段的軸力。AB段:11F1F3F2F4ABCD2233FN3F4FN2F1F2BC段:CD段:2、繪制軸力圖。8第8頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三解：x坐標向右為正，坐標原點在自由端。取左側(cè)x段為對象，內(nèi)力ＦN(x)為：qq

LxO

圖示桿長為L，受分布力q=kx作用，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。Lq(x)ＦN(x)xq(x)xO–ＦN(x)9第9頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三問題提出：PPPP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。2.強度：①內(nèi)力在截面分布集度應力；

②材料承受荷載的能力?！?-2截面上的應力桿件的強度不僅與軸力有關(guān)，還與橫截面面積有關(guān)。必須用應力來比較和判斷桿件的強度。10第10頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三變形前1.變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。縱向纖維變形相同。abcd受載后PP

d′a′c′

b′一、拉（壓）桿橫截面上的應力11第11頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三橫截面上的應力：均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當然均勻分布。橫截面上的正應力σ和軸力FN同號。符號規(guī)定：拉應力為正，壓應力為負。12第12頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.拉伸應力：sFN(x)P軸力引起的正應力

——

：在橫截面上均布。危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應力最大的點。4.危險截面及最大工作應力：直桿、桿的截面無突變、截面到載荷作用點有一定的距離。3.公式的應用條件：13第13頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

圖示結(jié)構(gòu)，A、B、C為鉸鏈連接，求桿件AB、CB的應力。已知F=20kN；AB為直徑20mm的圓截面桿，CB為15mm×15mm的方截面桿。FABC解：1、計算各桿件的軸力。用截面法取節(jié)點B為研究對象45°12BF45°14第14頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、計算各桿件的應力。FABC45°12BF45°15第15頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三一安全系數(shù)和許用應力工作應力極限應力塑性材料脆性材料

—許用應力，

n

—安全系數(shù)?！?-3拉壓桿的強度條件16第16頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三材料的拉、壓許用應力塑性材料：脆性材料：許用拉應力其中，ns——對應于屈服極限的安全因數(shù)其中，nb——對應于拉、壓強度的安全因數(shù)17第17頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三二強度條件根據(jù)強度條件，可以解決三類強度計算問題1、強度校核：2、設(shè)計截面：3、確定許可載荷：18第18頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三解：1、研究節(jié)點A的平衡，計算軸力。由于結(jié)構(gòu)幾何和受力的對稱性，兩斜桿的軸力相等，根據(jù)平衡方程

F=1000kN，b=25mm，h=90mm，α=200。〔σ〕=120MPa。試校核斜桿的強度。FF得F19第19頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、強度校核由于斜桿由兩個矩形桿構(gòu)成，故A=2bh，工作應力為：斜桿強度足夠20第20頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三D=350mm，p=1MPa。螺栓[σ]=40MPa，求直徑。每個螺栓承受軸力為總壓力的1/6解：油缸蓋受到的力即螺栓的軸力為：21第21頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)強度條件得即螺栓的直徑為22第22頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

AC為50×50×5的等邊角鋼，AB為10號槽鋼，〔σ〕=120MPa。求F。解：1、計算軸力，用截面法取節(jié)點A為研究對象AFα23第23頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2、根據(jù)斜桿的強度，求許可載荷AFα查表得斜桿AC的面積為A1=2×4.8cm224第24頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三3、根據(jù)水平桿的強度，求許可載荷AFα查表得水平桿AB的面積為A2=2×12.74cm225第25頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三4、許可載荷AFα26第26頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三轉(zhuǎn)角α規(guī)定：橫截面外法線轉(zhuǎn)至斜截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”§7-4斜截面上的應力27第27頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三斜截面上的內(nèi)力：變形假設(shè)：兩平行的斜截面在桿受拉(壓)而變形后仍相互平行。=>兩平行的斜截面之間的所有縱向線段伸長變形相同。28第28頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三斜截面上的總應力：

推論：斜截面上各點處軸向分布內(nèi)力的集度相同，即斜截面上各點處的總應力pa相等。

式中，為拉(壓)桿橫截面上(a=0)的正應力。

29第29頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三斜截面上的正應力(normalstress)和切應力(shearingstress)：

正應力和切應力的正負規(guī)定：

30第30頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三反映：通過構(gòu)件上一點不同截面上應力變化情況。31第31頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三縱向變形

：基本情況下(等直桿，兩端受軸向力)：

縱向總變形Δl=l1-l

（反映絕對變形量）

縱向線應變（反映變形程度）

§7-5拉壓桿的變形32第32頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三引進比例常數(shù)E，且注意到F=FN，有

E—彈性模量，由實驗測定，單位為Pa；EA—桿的拉伸(壓縮)剛度。胡克定律(Hooke’slaw)工程中常用材料制成的拉(壓)桿，當應力不超過材料的某一特征值(“比例極限”)時，若兩端受力33第33頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三橫向變形——與桿軸垂直方向的變形在基本情況下34第34頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三鋼材的E約為200GPa，υ約為0.25～0.33泊松比35第35頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三36第36頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

2.橫截面B,C及端面D的縱向位移與各段桿的縱向總變形是什么關(guān)系？思考：等直桿受力如圖，已知桿的橫截面面積A和材料的彈性模量E。

1.列出各段桿的縱向總變形ΔlAB，ΔlBC，ΔlCD以及整個桿縱向變形的表達式。

37第37頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三FFFN

圖F+-+位移：變形：38第38頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例題

如圖所示桿系，荷載P=100kN，試求結(jié)點A的位移ΔA。已知：a

=30°，l=2m，d=25mm，桿的材料(鋼)的彈性模量為E=210GPa。39第39頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三由胡克定律得

其中

1.求桿的軸力及伸長解：結(jié)點A的位移ΔA系由兩桿的伸長變形引起，故需先求兩桿的伸長。

由結(jié)點A的平衡(如圖)有40第40頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三2.由桿的總變形求結(jié)點A的位移

根據(jù)桿系的布置、約束、桿的材料以及受力情況均與通過結(jié)點A的鉛垂線對稱可知，結(jié)點A只有豎向位移(如圖)。41第41頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三亦即畫桿系的變形圖，確定結(jié)點A的位移

由幾何關(guān)系得42第42頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三從而得

此桿系結(jié)點A的位移(displacement)是因桿件變形(deformation)所引起，但兩者雖有聯(lián)系又有區(qū)別。變形是指桿件幾何尺寸的改變，是個標量；位移是指結(jié)點位置的移動，是個矢量，它除了與桿件的變形有關(guān)以外，還與各桿件所受約束有關(guān)。43第43頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

應變能(strainenergy)——彈性體受力而變形時所積蓄的能量。

彈性變形時認為，積蓄在彈性體內(nèi)的應變能Vε在數(shù)值上等于外力所作功W，Vε=W。應變能的單位為J（1J=1N·m）。§7-6拉伸(壓縮)內(nèi)的應變能44第44頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三拉桿(壓桿)在線彈性范圍內(nèi)的應變能或

外力F所作功：

桿內(nèi)應變能：45第45頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三亦可寫作或

或

應變能密度

vε——單位體積內(nèi)的應變能。應變能密度的單位為J/m3。46第46頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三沿桿長均勻分布的荷載集度為f軸力圖微段的分離體47第47頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三解：應變能

例題求例題2-5中所示桿系的應變能，并按彈性體的功能原理(Vε=W)求結(jié)點A的位移ΔA。已知：P=100kN，桿長l=2m，桿的直徑d=25mm，a=30°，材料的彈性模量E=210GPa。48第48頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三結(jié)點A的位移由知49第49頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三§7-7材料拉伸時的力學性質(zhì)力學性質(zhì)：在外力作用下材料在變形和破壞方面所表現(xiàn)出的力學性能一試件和實驗條件常溫、靜載矩形截面試樣：或。

50第50頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三試驗設(shè)備：(1)萬能試驗機：強迫試樣變形并測定試樣的抗力。(2)變形儀（常用引伸儀）：將試樣的微小變形放大后加以顯示的儀器。51第51頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三二低碳鋼的拉伸52第52頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三Ⅱ.低碳鋼試樣的拉伸圖及低碳鋼的力學性能

拉伸圖

縱坐標——試樣的抗力F(通常稱為荷載)

橫坐標——試樣工作段的伸長量53第53頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三低碳鋼試樣在整個拉伸過程中的四個階段：

(1)階段Ⅰ——彈性階段變形完全是彈性的，且Δl與F成線性關(guān)系，即此時材料的

力學行為符合胡克定律。54第54頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

(2)階段Ⅱ——屈服階段在此階段伸長變形急劇增大，但抗力只在很小范圍內(nèi)波動。此階段產(chǎn)生的變形是不可恢復的所謂塑性變形；在拋光的試樣表面上可見大約與軸線成45°的滑移線(，當α=±45°時τa的絕對值最大)。55第55頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三(3)階段Ⅲ——強化階段

56第56頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三卸載及再加載規(guī)律

若在強化階段卸載，則卸載過程中F－Δl關(guān)系為直線?？梢娫趶娀A段中，Δl=Δle+Δlp。

卸載后立即再加載時，F(xiàn)－Δl關(guān)系起初基本上仍為直線(cb)，直至當初卸載的荷載——冷作硬化現(xiàn)象。試樣重新受拉時其斷裂前所能產(chǎn)生的塑性變形則減小。57第57頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三三卸載定律及冷作硬化1、彈性范圍內(nèi)卸載、再加載2、過彈性范圍卸載、再加載即材料在卸載過程中應力和應變是線形關(guān)系，這就是卸載定律。材料的比例極限增高，延伸率降低，稱之為冷作硬化或加工硬化。58第58頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

(4)階段Ⅳ——局部變形階段試樣上出現(xiàn)局部收縮——頸縮，并導致斷裂。

59第59頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三低碳鋼的應力—應變曲線(s－e曲線)為消除試件尺寸的影響，將低碳鋼試樣拉伸圖中的縱坐標和橫坐標換算為應力s和應變e，即，其中：A——試樣橫截面的原面積，l——試樣工作段的原長。60第60頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三明顯的四個階段:1、彈性階段ob比例極限彈性極限2、屈服階段bc（失去抵抗變形的能力）屈服極限3、強化階段ce（恢復抵抗變形的能力）強度極限4、局部徑縮階段ef61第61頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三兩個塑性指標:1.斷后伸長率:2.斷面收縮率:為塑性材料為脆性材料低碳鋼的為塑性材料62第62頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三四其它材料拉伸時的力學性質(zhì)

對于沒有明顯屈服階段的塑性材料，用名義屈服極限σp0.2來表示。63第63頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三

對于脆性材料（鑄鐵），拉伸時的應力應變曲線為微彎的曲線，沒有屈服和徑縮現(xiàn)象，試件突然拉斷。斷后伸長率約為0.5%。為典型的脆性材料。

σbt—拉伸強度極限。它是衡量脆性材料（鑄鐵σbt約為140MPa）拉伸的唯一強度指標。64第64頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三壓縮試樣

圓截面短柱(用于測試金屬材料的力學性能)

正方形截面短柱(用于測試非金屬材料的力學性能)

實驗條件常溫、靜載壓縮試件和實驗條件65第65頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三塑性材料（低碳鋼）的壓縮屈服極限比例極限彈性極限拉伸與壓縮在屈服階段以前完全相同。E---彈性摸量66第66頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三脆性材料（鑄鐵）的壓縮

脆性材料的抗拉與抗壓性質(zhì)不完全相同

壓縮時的強度極限遠大于拉伸時的強度極限67第67頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三1、超靜定問題：

單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力（外力、內(nèi)力、應力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法拉壓2、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程相結(jié)合，進行求解?！?-8簡單的拉壓超靜定問題68第68頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——彈性定律；

補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。拉壓3、超靜定問題的方法步驟：69第69頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例題設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。拉壓CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N270第70頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：物理方程——彈性定律：補充方程：由幾何方程和物理方程得。解由平衡方程和補充方程組成的方程組，得:拉壓CABD123A171第71頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三例題木制短柱的四角用四個40404的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應力分別為[]1=160MPa和[]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和

E2=10GPa；求許可載荷P。幾何方程物理方程及補充方程：解：平衡方程:拉壓PPy4N1N272第72頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三PPy4N1N2拉壓解平衡方程和補充方程，得:求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:

A1=3.086cm273第73頁，共81頁，2023年，2月20日，星期三所以在△1=△2的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)，

即角鋼決定最大載荷。求結(jié)構(gòu)的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？

若將木的面積變?yōu)?5mm，又怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著。拉壓方法2: