競賽電路等效電阻計算方法技巧

競賽課件電路等效電阻計算方法技巧第1頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二對稱法電流疊加法

Y-△變換法

對具有一定對稱性的電路,通過對等勢點的拆、合，對稱電路的“折疊”，將電路簡化為基本的串并聯電路。

直流電路中各電源單獨存在時的電路電流代數疊加后與所有電源同時存在的電路電流分布是一樣的，任一直流電路電流分布，總可歸結為只含某一個直流電源的電路電流分布．這就是電流的可疊加性．對于一些并不具備直觀的對稱性的電路，可根據電流的可疊加性，重新設置電流的分布方式，將原本不對稱問題轉化成具有對稱性的問題加以解決。利用Y型聯接電阻與△型聯接電阻間等價關系的結論，通過電阻Y型聯接與△型聯接方式的互換，達到簡化電路成單純串聯或并聯的目的．第2頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGACBDEGFHAC間等效電阻:

如圖所示，12個阻值都是R的電阻，組成一立方體框架，試求AC間的電阻RAC、AB間的電阻RAB與AG間的電阻RAG．專題19-例1續(xù)解第3頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGAB間等效電阻:EGFHABCD續(xù)解第4頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二ABCDEFHGAG間等效電阻:FHCABEDG第5頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二AB電源外電路等效電阻:通過電源的電流由

如圖所示的正方形網格由24個電阻r0=8Ω的電阻絲構成，電池電動勢ε=6.0V，內電阻不計，求通過電池的電流．專題19-例2第6頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

波蘭數學家謝爾賓斯基1916年研究了一個有趣的幾何圖形．他將如圖1所示的一塊黑色的等邊三角形ABC的每一個邊長平分為二，再把平分點連起來，此三角形被分成四個相等的等邊三角形，然后將中間的等邊三角形挖掉，得到如圖2的圖形；接著再將剩下的黑色的三個等邊三角形按相同的方法處理，經過第二次分割就得到圖3的圖形．經三次分割后，又得到圖4的圖形．這是帶有自相似特征的圖形，這樣的圖形又稱為謝爾賓斯基鏤墊．它的自相似性就是將其中一個小單元（例如圖4中的△BJK）適當放大后，就得到圖2的圖形．如果這個分割過程繼續(xù)下去，直至無窮，謝爾賓斯基鏤墊中的黑色部分將被不斷地鏤空．

圖1圖2圖3圖4數學家對這類幾何圖形的自相似性進行了研究，創(chuàng)造和發(fā)展出了一門稱為“分形幾何學”的新學科．近三十多年來，物理學家將分形幾何學的研究成果和方法用于有關的物理領域，取得了有意義的進展．我們現在就在這個背景下研究按謝爾賓斯基鏤墊圖形的各邊構成的電阻網絡的等效電阻問題：設如圖1所示的三角形ABC邊長L0的電阻均為r；經一次分割得到如圖2所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的二分之一；經二次分割得到如圖3所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的四分之一；三次分割得到如圖4所示的圖形，其中每個小三角形邊長的電阻是原三角形ABC的邊長的電阻r的八分之一．⑴試求經三次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻．⑵試求按此規(guī)律作了n次分割后，三角形ABC任意兩個頂點間的等效電阻專題19-例3ABCDEFABCDEFABCl0ABCDEFKGIJ解答第7頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二讀題對三角形ABC,任意兩點間的電阻rA

BC對分割一次后的圖形對分割二次后的圖形可見,分割三次后的圖形遞推到分割n次后的圖形

第8頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的平面電阻絲網絡中，每一直線段和每一弧線段電阻絲的電阻均為r．試求A、B兩點間的等效電阻．

小試身手題9ABABBABArAB第9頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二AB

三個相同的均勻金屬圓圈兩兩相交地連接成如圖所示的網絡．已知每一個金屬圓圈的電阻都是R，試求圖中A、B兩點間的等效電阻RAB．小試身手題12三個金屬圈共有六個結點，每四分之一弧長的電阻R/4.將三維金屬圈“壓扁”到AB所在平面并“抻直”弧線成下圖BA第10頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

正四面體框架形電阻網絡如圖所示，其中每一小段電阻均為R．試求RAB和RCD．

小試身手題15BAEFABHIE乙DCIGHL甲甲BAFDCIGHLEDC丙第11頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二解題方向:由于對稱，可將AB中垂線上各電勢點拆分，原電路變換為圖乙，我們看到這是一個具有自相似性的無限網絡，其基本單元如圖丙BBnAnRxRRRR2R丙BA甲A乙當n→∞時，多一個單元，只是使Rx按邊長同比增大，即

試求框架上A、B兩點間的電阻RAB．此框架是用同種細金屬制作的，單位長度的電阻為ρ．一連串內接等邊三角形的數目可認為趨向無窮，如圖所示．取AB邊長為a，以下每個三角形的邊長依次減少一半．小試身手題5第12頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二解題方向:將原無限長立體正三棱柱框架沿左、右遞縮為三棱臺再“壓”在AB所在平面，各電阻連接如圖ABCAB

如圖所示是由電阻絲連接成的無限電阻網絡，已知每一段電阻絲的電阻均為r，試求A、B兩點之間的總電阻．小試身手題11ABC返回第13頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二專題19-例4ABABOOABO

田字形電阻絲網絡如圖所示，每小段電阻絲的電阻均為R，試求網絡中A、B兩點間的等效電阻RAB．第14頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的一個無限的平面方格導線網，連接兩個結點的導線的電阻為r0，如果將A和B接入電路，求此導線網的等效電阻RAB．專題19-例5BA第15頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二專題19-例6ba

有一無限大平面導體網絡，它有大小相同的正六邊形網眼組成，如圖所示，所有六邊形每邊的電阻均為R0，求間位結點a、b間的等效電阻．第16頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

如圖是一個無限大導體網絡，它由無數個大小相同的正三角形網眼構成，小三角形每邊的電阻均為r，求把該網絡中相鄰的A、B兩點接入電路中時，AB間的電阻RAB．小試身手題4AB第17頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

半徑為R的薄壁導電球由連在A、B兩點上的（AO⊥BO，O點是球心）兩根細導線接到直流電源上，如圖．通過電源的電流為I0．問在球面上C點處（OC⊥OA，OC⊥OB）電荷朝什么方向運動？若在C點附近球面上作兩個小標志，使它們相距R／1000，其連線垂直電荷運動方向．問總電流中有多大部分通過這兩標志之連線？小試身手題6BAＯCi1i2C處單位長度上電流C處垂直于電荷運動方向上一段弧是的電流為第18頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

如圖所示的電阻網絡包括兩個立方形，每邊電阻均為2r，求A、B間的電阻．小試身手題10ABBACCBAC返回第19頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二ACIAIc甲BIBRABRACRBCacIaIcO乙RaRbRcbIbY→△變換

△→Y變換

第20頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二專題19-例8abBAdcDCABAB間等效電阻:cabO2rr1.5r1.25rOBAC

如圖所示,一個原來用12根相同的電阻絲構成的立方體框架，每根電阻絲的電阻均為r，現將其中一根拆去，求A、B兩點間的電阻．第21頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二

如圖所示,甲中三端電容網絡為△型網絡元，乙中三端電容網絡為Ｙ型網絡元，試導出其間的等效變換公式．小試身手題1ACqAqC甲BqBCABCACCBC乙acqaqcbqbCbCaCcOY→△變換

△→Y變換

第22頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二小試身手題2RABR/3R/8R/2R/6

電阻均為R的九個相同的金屬絲組成構架如圖所示，求構架上A、B兩點間電路的電阻．第23頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二如圖所示，由九根相同的導線組成的一個三棱柱框架，每根導線的電阻為R，導線之間接觸良好，求BD之間的電阻值．小試身手題3BDRBR/3DR/62R/32R/15第24頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二小試身手題14ABRR/8R/4

如圖所示，由電阻絲構成的網絡中，每一段電阻絲的電阻均為R，試求RAB．

第25頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二由7個阻值相同的均為r的電阻組成的網絡元如圖所示，由這種網絡元彼此連接形成的無限網絡如圖⑵所示，試求P、Q兩點之間的等效電阻．小試身手題13Rxr/4r/2rrrrrrr⑴⑵PQ第26頁，共28頁，2023年，2月20日，星期二如圖所示，一長為L的圓臺形均勻導體，兩底面半徑分別為