用灰色模型進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

數(shù)學(xué)建模中的灰色(huīsè)方法第一頁，共27頁。1在數(shù)學(xué)建模的過程中，常常遇到一些諸如：人口模型、全國的物資調(diào)運(yùn)、運(yùn)輸、生產(chǎn)銷售等問題，其中有許多信息都無法確定，要建立這樣的模型很困難?，F(xiàn)有的系統(tǒng)分析方法—量化分析方法，大都是數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法但這種方法多用于少因素的、線性的情形。對于多因素的、非線性的那么難以處理。針對這些缺乏(quēfá)，鄧聚龍教授創(chuàng)立了一種就數(shù)找數(shù)的方法，即灰色系統(tǒng)生成法。創(chuàng)立灰色系統(tǒng)的學(xué)科體系和灰色系統(tǒng)“概念與公理體系〞，提出灰生成空間、灰關(guān)聯(lián)空間理論、灰建模理論并創(chuàng)立灰預(yù)測理論及方法體系。第二頁，共27頁。2一、灰色(huīsè)系統(tǒng).定義：系統(tǒng)作為一個(gè)包含假設(shè)(jiǎshè)干相互關(guān)聯(lián)、相互制約的任意種類元素組成的具有某種特定功能的整體。系統(tǒng)內(nèi)部存在有物質(zhì)流、信息流、能量流。

系統(tǒng)（根據(jù)信息明確程度）黑色系統(tǒng)（信息毫無所知或知之甚少）灰色系統(tǒng)（既含有已知信息又有未知信息）白色系統(tǒng)（信息完全明確）第三頁，共27頁。3〔一〕灰色系統(tǒng)公理：1.信息不完全、不確定的解是非唯一的；〔解的非唯一性原理〕2.信息是認(rèn)識的根據(jù)；〔認(rèn)識根據(jù)原理〕3.灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已占有的“最小信息〞；〔最小信息原理〕4.新信息對認(rèn)識的作用大于老信息；〔新信息優(yōu)先原理〕〔二〕灰色系統(tǒng)的描述：灰色系統(tǒng)用灰色參數(shù)、灰色方程、灰色矩陣(jǔzhèn)、灰色度等綜合描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的根本單元。第四頁，共27頁。41.灰色參數(shù)〔灰數(shù)〕灰數(shù)是那些只知道大概范圍而不知其確切值的數(shù)〔只知道局部數(shù)學(xué)特征，而不知道具體數(shù)值的參數(shù)〕。例如：“某人的身高約為170cm、體重大致為60kg〞，這里的“〔約為〕170〔cm〕〞、“60〞都是灰數(shù)，分別記為、。又如，“那女孩身高在157－160cm之間〞，那么關(guān)于身高的灰數(shù)。記為灰數(shù)的白化默認(rèn)數(shù)，簡稱白化數(shù)。在灰色系統(tǒng)理論中，把隨機(jī)變量看成灰數(shù)，即是在指定范圍內(nèi)變化的所有白色數(shù)的全體。如代購一件價(jià)格為100元左右(zuǒyòu)的衣服，100可作為預(yù)購衣服價(jià)格的白化值?；覕?shù)有離散灰數(shù)〔屬于離散集〕和連續(xù)灰數(shù)〔屬于某一區(qū)間〕。

第五頁，共27頁。52.灰色代數(shù)方程—含有灰色系數(shù)的代數(shù)方程如：

灰色微分方程為含有灰色導(dǎo)數(shù)或灰色微分的方程，如

3.灰色矩陣—行列數(shù)確知而含有灰元的矩陣假設(shè)在A的m*n個(gè)元素中，有N個(gè)灰色元素，那么(nàme)可以用d表示這一矩陣的灰色度第六頁，共27頁。6二、灰色(huīsè)生成數(shù)列灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀表象復(fù)雜，但總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何(rúhé)選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蚝屠盟?。灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋求數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，即為灰色序列的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。數(shù)據(jù)生成的常用方式有累加生成、累減生成和加權(quán)累加生成。第七頁，共27頁。7〔1〕累加生成把數(shù)列各項(xiàng)〔時(shí)刻〕數(shù)據(jù)依次累加的過程(guòchéng)稱為累加生成過程(guòchéng)〔AGO〕。由累加生成過程(guòchéng)所得的數(shù)列稱為累加生成數(shù)列。設(shè)原始數(shù)列為，令稱所得到的新數(shù)列為數(shù)列的1次累加生成數(shù)列。類似地有稱為的r次累加生成數(shù)列。第八頁，共27頁。8〔2〕累減生成對于原始(yuánshǐ)數(shù)據(jù)列依次做前后相鄰的兩個(gè)數(shù)據(jù)相減的運(yùn)算過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始(yuánshǐ)數(shù)據(jù)列為令稱所得到的數(shù)列為的1次累減生成數(shù)列。注：從這里的記號也可以看到，從原始(yuánshǐ)數(shù)列，得到新數(shù)列，再通過累減生成可以復(fù)原出原始(yuánshǐ)數(shù)列。實(shí)際運(yùn)用中在數(shù)列的根底上預(yù)測出，通過累減生成得到預(yù)測數(shù)列。第九頁，共27頁。9〔3〕加權(quán)鄰值生成(shēnɡchénɡ)設(shè)原始數(shù)列為稱為數(shù)列的鄰值。為后鄰值，為前鄰值，對于常數(shù)，令

由此得到的數(shù)列稱為數(shù)列在權(quán)下的鄰值生成數(shù)，權(quán)也稱為生成(shēnɡchénɡ)系數(shù)。特別地，當(dāng)生成(shēnɡchénɡ)系數(shù)時(shí)，那么稱為均值生成(shēnɡchénɡ)數(shù)，也稱等權(quán)鄰值生成(shēnɡchénɡ)數(shù)。第十頁，共27頁。10灰色系統(tǒng)(xìtǒng)理論的主要方法關(guān)聯(lián)度分析法—最根本的方法〔一個(gè)由眾多因素構(gòu)成(gòuchéng)的系統(tǒng)中哪些因素對系統(tǒng)的影響大/中/?。俊郴诎谆瘷?quán)函數(shù)的灰色統(tǒng)計(jì)和灰色聚類法?；疑A(yù)測法〔如GM〔1，1〕〕?；疑珱Q策?；疑珒?yōu)化技術(shù)〔如灰色規(guī)劃等〕。第十一頁，共27頁。11三、灰色預(yù)測(yùcè)模型GM(m,n)灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義灰導(dǎo)數(shù)與灰微分方程，進(jìn)而利用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程形式的動(dòng)態(tài)模型，稱為灰色模型〔GM〕。灰色預(yù)測是應(yīng)用灰色模型GM對灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模、求解、預(yù)測的過程。由于灰色建模理論應(yīng)用數(shù)據(jù)生成手段，弱化了系統(tǒng)的隨機(jī)性，使紊亂的原始序列呈現(xiàn)某種規(guī)律，規(guī)律不明顯的變得較為明顯，建模后還能進(jìn)行殘差辨識，即使較少的歷史數(shù)據(jù)，任意隨機(jī)分布，也能得到較高的預(yù)測精度。因此，灰色預(yù)測在社會(huì)經(jīng)濟(jì)、管理決策、農(nóng)業(yè)規(guī)劃(guīhuà)、氣象生態(tài)等各個(gè)部門和行業(yè)都得到了廣泛的應(yīng)用第十二頁，共27頁。12(一)GM〔1，1〕模型(móxíng)設(shè)為原始數(shù)列，其1次累加生成數(shù)列為，其中定義的灰導(dǎo)數(shù)為令為數(shù)列的鄰值生成數(shù)列，即于是(yúshì)定義GM〔1，1〕的灰微分方程模型為第十三頁，共27頁。13即或〔1〕在式〔1〕中，稱為(chēnɡwéi)灰導(dǎo)數(shù)，a稱為(chēnɡwéi)開展系數(shù)，稱為(chēnɡwéi)白化背景值，b稱為(chēnɡwéi)灰作用量。將時(shí)刻表代入〔1〕式有引入矩陣向量記號：數(shù)據(jù)向量參數(shù)向量數(shù)據(jù)矩陣第十四頁，共27頁。14于是GM〔1，1〕模型可表示為現(xiàn)在問題歸結(jié)為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它們的估計(jì)值為注：實(shí)際上回歸分析中求估計(jì)值是用軟件計(jì)算的，有標(biāo)準(zhǔn)程序求解，如matlab等。GM〔1，1〕的白化型對于GM〔1，1〕的灰微分方程〔1〕，如果將灰導(dǎo)數(shù)的時(shí)刻視為連續(xù)變量t，那么(nàme)視為時(shí)間t函數(shù)，于是對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)量級，白化背景值

對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)。于是GM〔1，1〕的灰微分方程對應(yīng)于的白微分方程為〔2〕第十五頁，共27頁。15〔二〕GM〔1，1〕灰色(huīsè)預(yù)測的步驟為了保證GM〔1，1〕建模方法的可行性，需要對數(shù)據(jù)做必要的檢驗(yàn)處理。設(shè)原始數(shù)據(jù)列為了，計(jì)算數(shù)列的級比如果所有的級比都落在可容覆蓋區(qū)間內(nèi)，那么數(shù)據(jù)列可以建立GM〔1，1〕模型(móxíng)且可以進(jìn)行灰色預(yù)測。否那么，對數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q處理，如平移變換：取C使得數(shù)據(jù)列的級比都落在可容覆蓋內(nèi)。第十六頁，共27頁。162.建立GM〔1，1〕模型(móxíng)不妨設(shè)滿足上面的要求，以它為數(shù)據(jù)列建立GM〔1，1〕模型(móxíng)用回歸分析求得a,b的估計(jì)值，于是相應(yīng)的白化模型(móxíng)為解為〔4〕于是得到預(yù)測值從而相應(yīng)地得到預(yù)測值：第十七頁，共27頁。173.檢驗(yàn)預(yù)測值〔1〕殘差檢驗(yàn)：計(jì)算相對殘差如果對所有的，那么認(rèn)為到達(dá)(dàodá)較高的要求：否那么，假設(shè)對所有的，那么認(rèn)為到達(dá)(dàodá)一般要求?！?〕級比偏差值檢驗(yàn)：計(jì)算如果對所有的，那么認(rèn)為到達(dá)(dàodá)較高的要求；否那么假設(shè)對所有的，那么認(rèn)為到達(dá)(dàodá)一般要求。第十八頁，共27頁。18四、應(yīng)用(yìngyòng)舉例SARS疫情對某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響問題2003年的SARS疫情對中國局部行業(yè)的經(jīng)濟(jì)開展產(chǎn)生了一定的影響，特別是對局部疫情較嚴(yán)重的省市的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是明顯(míngxiǎn)的，經(jīng)濟(jì)影響主要分為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影響，直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合效勞業(yè)等。很多方面難以進(jìn)行定量地評估，現(xiàn)僅就SARS疫情較嚴(yán)重的某市商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合效勞業(yè)的影響進(jìn)行定量的評估分析。第十九頁，共27頁。19究竟(jiūjìng)SARS疫情對商品零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合效勞業(yè)的影響有多大,某市從1997年1月到2003年12月的商品零售額、接待旅游人數(shù)、綜合效勞收入的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如圖:第二十頁，共27頁。20根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全年的總和〔或平均值〕較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律。從而我們把預(yù)測分成兩局部：利用灰色理論建立GM(1,1)模型(móxíng)，由1997－2002年的各年度總和值預(yù)測2003年的年度總和值；再通過歷史數(shù)據(jù)計(jì)算每個(gè)月的指標(biāo)值與全年總和的關(guān)系，就可以預(yù)測出2003年每個(gè)月的指標(biāo)值。假設(shè)：(1)假設(shè)所給的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可靠、準(zhǔn)確的；(2)假設(shè)該市在SARS疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化只與SARS疫情的影響有關(guān)，不考慮其他隨即因素的影響。第二十一頁，共27頁。213.建立灰色預(yù)測模型GM(1,1)由數(shù)據(jù)，對于1997－2002年某項(xiàng)指標(biāo)記為矩陣計(jì)算每年的總和，記為檢驗(yàn)(jiǎnyàn)比〔都符合要求〕。對作一次累加得數(shù)列，再作的鄰值加權(quán)平均，得數(shù)列，即為確定參數(shù)，得到GM(1,1)的白化微分方程模型為其中參數(shù)由灰微分方程確定。第二十二頁，共27頁。22根據(jù)系數(shù)可求得白化微分方程的解：故相應(yīng)地可以求出即得到2003年的年度總和值。再根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)出第個(gè)月的指標(biāo)值占全年總和值的比例(bǐlì)，即于是2003年的每個(gè)月的指標(biāo)值(預(yù)測值)為第二十三頁，共27頁。23(1)商品零售額由題目所給數(shù)據(jù)計(jì)算得計(jì)算說明的所有級比都再可容覆蓋區(qū)間內(nèi)。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)時(shí)，殘差檢驗(yàn)(jiǎnyàn)中的相對誤差的絕對值之和最小，用GM(1,1)模型計(jì)算得,2003年的年度商品零售額總和為。計(jì)算得各月的比例為(0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838,0.0872,0.0886,0.0866,0.0920)因此2003年的各月的商品零售額的預(yù)測值為(153.3065155.8166144.6178151.7618158.1335157.9404163.1536161.8021168.3668171.0700167.2083177.6347)第二十四頁，共27頁。24將預(yù)測值與所給03年數(shù)據(jù)做比照