第二章地球坐標(biāo)系和地球橢球

第二章地球坐標(biāo)系和地球橢球第1頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三§2.1概述大地測量采用的坐標(biāo)系：天球坐標(biāo)系、地球坐標(biāo)系地球坐標(biāo)系：固定在地球上與地球一起自轉(zhuǎn)和公轉(zhuǎn)的坐標(biāo)系地球坐標(biāo)系分類：參心坐標(biāo)系、地心坐標(biāo)系定義坐標(biāo)系的要素：原點位置與坐標(biāo)軸指向；若采用大地坐標(biāo)還需要橢球元素。第2頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三§2.2地球橢球面的數(shù)學(xué)計算和有關(guān)計算2.2.1地球橢球的幾何、物理元素橢球方程：扁率：第一偏心率：第二偏心率：XYZO第3頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.1地球橢球的幾何、物理元素（續(xù)1）幾個關(guān)系式：1954年北京坐標(biāo)系，克拉索夫斯基橢球元素：第4頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.1地球橢球的幾何、物理元素（續(xù)2）1980年大地坐標(biāo)系采用第16屆IAG—IUGG橢球，其橢球元素為：第5頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)1、經(jīng)線和緯線的曲線方程在XOZ坐標(biāo)面上的起始經(jīng)線方程：OXYZM1M0MLLrARSM0饒Z軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平行圈），其半徑：經(jīng)度為L的經(jīng)線方程：第6頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)1）OXYZM1M0MLLrARS緯圈方程：第7頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)2）2、橢球面法線與子午線主法線的同一性、經(jīng)緯線的Frenet標(biāo)架POQMP′RTNA如圖為過M點的子午面。子午線的主法線MP′位于子午面內(nèi)，且垂直于子午線切線T；R為過M點的平行圈切線，顯然R垂直于M點的子午面，因此R垂直于MP′。所以，MP′垂直于橢球面在M點的切平面，因此它是橢球面的法線。Frenet標(biāo)架：曲線上任意一點處的三個相互正交的單位向量構(gòu)成是三維直角坐標(biāo)系。一般取切向、主法向和與該兩個方向正交的第三個方向第8頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)3）3、旋轉(zhuǎn)橢球面及經(jīng)緯線的參數(shù)方程1).以大地經(jīng)度L及歸化緯度u為參數(shù)的方程uaXZOM′M在XOZ子午面內(nèi)，有在三維空間坐標(biāo)系中：第9頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三(2).以大地經(jīng)緯度L、B為參數(shù)的方程XZK0B90°+BOTM0切線M0T的斜率的導(dǎo)數(shù)式：由橢圓方程求導(dǎo)得：代入第一式得：12.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)4）第10頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)5）將代入橢圓方程，化簡后得：1引入輔助符號：則有：第11頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)6）在三維空間坐標(biāo)系中，橢球面上點的三維坐標(biāo)的經(jīng)緯度表示為：第12頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)7）(3).以大地經(jīng)度L及球心緯度為參數(shù)的方程XZOM0球心緯度，向徑，則對于XOZ平面上的橢圓有：在橢圓上，向徑由球心緯度唯一確定，將上式代入橢圓方程，得：第13頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)8）對于XOZ平面上的橢圓有：在三維空間坐標(biāo)系中，橢球面上點的經(jīng)度、球心緯度表示為：第14頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)9）不難得出，u,B,的關(guān)系為：因此有：由球心緯度公式，得：第15頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.2旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)（續(xù)10）4、旋轉(zhuǎn)橢球面的幾何性質(zhì)a).對稱性b).有界性c).正則性：曲面上每點都對應(yīng)于唯一確定的非零法向量。其單位法向量可表示為：d).不可展性第16頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑1、空間曲線的曲率幾曲率半徑若以曲線的弧長s為參數(shù)，曲線上的點位用向量r(s)表示。則曲線的曲率為：若以t參數(shù)，則曲線的曲率可表示為：第17頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2、橢球面法截線的曲率(1).子午線曲率半徑不失一般性，以起始子午線為例推導(dǎo)。若以歸化緯度u為子午線方程的參數(shù)，則有：2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)1）第18頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)2）則有：同理，若以大地緯度為參數(shù)，得：子午曲率半徑M，就是曲率是倒數(shù)，即：第19頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)3）(2).卯酉線曲率半徑定義：與子午面切線正交的法截面與橢球面的交線為卯酉線。根據(jù)微分幾何中的麥尼爾定理，卯酉圈曲率kn與平行圈曲率kr的關(guān)系為：平行圈半徑為子午面XOZ平面內(nèi)的X坐標(biāo)，即：則有，上述兩式得卯酉曲率半徑N為：第20頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)4）(3).任意方向法截線的曲率半徑根據(jù)微分幾何中的Euler公式，任意方向法截線的曲率與子午、卯酉曲率半徑的關(guān)系為：因此，任意方向的曲率半徑為：當(dāng)A為0，/2，，3/2時，取得極值。第21頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)5）(4).平均曲率半徑定義：所有方向法截線曲率半徑的平均值。代入上式，得：第22頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.3法截線曲率及曲率半徑（續(xù)6）不難得到：NRM引入輔助量：存在下列關(guān)系：第23頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算1.橢球面的第一基本形式橢球面上點的向量：橢球面上的微分弧長：其中：對于橢球面：第24頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)1）2、子午線弧長子午線微分弧長：積分得：用二項式展開，并逐項積分得：常數(shù)A、B、C、D、E、F、G的計算公式見教材第25頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)2）對于小于400km的弧長，可采用以下簡化式。其中：根據(jù)：求出導(dǎo)數(shù)，代入上式并化簡，得：對于小于40km的弧長，可進(jìn)一步簡化為：第26頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)3）已知B1和弧長S1~2求B2稱為反算，可采用疊代法計算。初值：疊代格式：其中：要求：第27頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)4）3、平行圈的半徑與弧長相同經(jīng)差的平行圈弧長在赤道最長，越靠近兩極越小。第28頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)5）4、利用經(jīng)緯格網(wǎng)計算橢球面的面積LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd第29頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三2.2.4橢球面上第一基本形式及弧長面積計算（續(xù)6）上式利用二項式展開并積分，得：取L2-L1=2，B2=/2，B1=0算得半球面積，乘2可以估算全球面積約為5.1億平方公里第30頁，共31頁，2023年，2月20日，星期三習(xí)題1、導(dǎo)出三種緯度φ、u與B的關(guān)系。2、導(dǎo)出子午曲率半徑M與卯酉曲率半徑N的計算公式。3、M、N、R的關(guān)系