吉林省長春市“BEST合作體”2022-2023學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．若是的極小值點(diǎn)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減B．函數(shù)的圖像可以是中心對(duì)稱圖形C．，使D．若是的極值點(diǎn)，則2．已知數(shù)列{an}滿足，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為（）A． B． C． D．3．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A． B． C． D．4．若函數(shù)fx=3sinπ-ωx+sin5π2+ωx，且fA．2kπ-2π3C．kπ-5π125．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（）A．-1 B．1 C． D．6．某市委積極響應(yīng)十九大報(bào)告提出的“到2020年全面建成小康社會(huì)”的目標(biāo)，鼓勵(lì)各縣積極脫貧，計(jì)劃表彰在農(nóng)村脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)中的杰出村代表，已知A，B兩個(gè)貧困縣各有15名村代表，最終A縣有5人表現(xiàn)突出，B縣有3人表現(xiàn)突出，現(xiàn)分別從A，B兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則B縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是（）A． B． C． D．7．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為（）A． B． C． D．8．在二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，若，則（）A． B． C． D．9．設(shè)函數(shù)，若a=),，則（）A． B． C． D．10．復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．某科研單位準(zhǔn)備把7名大學(xué)生分配到編號(hào)為1，2，3的三個(gè)實(shí)驗(yàn)室實(shí)習(xí)，若要求每個(gè)實(shí)驗(yàn)室分配到的大學(xué)生人數(shù)不小于該實(shí)驗(yàn)室的編號(hào)，則不同的分配方案的種數(shù)為（）A．280 B．455 C．355 D．35012．等差數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，，則（）A．39 B．91 C．48 D．51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)對(duì)任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是__________．①②③④14．對(duì)于三次函數(shù)，定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)“任何一個(gè)三次函數(shù)都有‘拐點(diǎn)’；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對(duì)稱中心；且‘拐點(diǎn)’就是對(duì)稱中心.”根據(jù)此發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)，計(jì)算__________．15．引入隨機(jī)變量后，下列說法正確的有：__________（填寫出所有正確的序號(hào)）.①隨機(jī)事件個(gè)數(shù)與隨機(jī)變量一一對(duì)應(yīng)；②隨機(jī)變量與自然數(shù)一一對(duì)應(yīng)；③隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù).16．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則滿足方程的的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）（1）求關(guān)于的不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)在處取到極值.（1）求實(shí)數(shù)的值，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的的值.19．（12分）從某工廠的一個(gè)車間抽取某種產(chǎn)品50件，產(chǎn)品尺寸（單位：）落在各個(gè)小組的頻數(shù)分布如下表：數(shù)據(jù)分組頻數(shù)（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，求該產(chǎn)品尺寸落在的概率；（2）求這件產(chǎn)品尺寸的樣本平均數(shù)；（3）根據(jù)頻率分布對(duì)應(yīng)的直方圖，可以認(rèn)為這種產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布；其中近似為樣本平均值，近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，利用正態(tài)分布，求．20．（12分）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（2）若函數(shù)在處取得極值，且對(duì)任意,恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求證：．21．（12分）（本小題滿分12分）已知，函數(shù)．（I）當(dāng)為何值時(shí)，取得最大值？證明你的結(jié)論；（II）設(shè)在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；（III）設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍．22．（10分）已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，（1）求．（2）在復(fù)平面內(nèi)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是，，若是直角，求實(shí)數(shù)的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：求導(dǎo)f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)，若存在極小值點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象便知一定存在極大值點(diǎn)，并且該極大值點(diǎn)在極小值點(diǎn)的左邊，從而知道存在實(shí)數(shù)x1＜x0，使f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增，從而判斷出A的結(jié)論錯(cuò)誤，而根據(jù)f（x）的值域便知f（x）和x軸至少一個(gè)交點(diǎn)，從而B的結(jié)論正確，而a=b=c=0時(shí)，f（x）=x3為中心對(duì)稱圖形，從而判斷C正確，而根據(jù)極值點(diǎn)的定義便知D正確，從而得出結(jié)論錯(cuò)誤的為A．詳解：A．f′（x）=3x2+2ax+b，導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)；∴在極小值點(diǎn)的左邊有一個(gè)極大值點(diǎn)，即方程f′（x）=0的另一根，設(shè)為x1；則x1＜x0，且x＜x1時(shí)，f′（x）＞0；即函數(shù)f（x）在（﹣∞，x1）上單調(diào)遞增,∴選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．該函數(shù)的值域?yàn)椋ī仭蓿?∞），∴f（x）的圖象和x軸至少一個(gè)交點(diǎn)；∴?x0∈R，使f（x0）=0；∴選項(xiàng)B正確；C．當(dāng)a=b=c=0時(shí)，f（x）=x3，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；∴f（x）是中心對(duì)稱圖形,∴選項(xiàng)C正確；D．函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,∴選項(xiàng)D正確．故選：A．點(diǎn)睛：本題利用導(dǎo)函數(shù)研究了函數(shù)的極值點(diǎn)，零點(diǎn)，對(duì)稱性，單調(diào)性等性質(zhì)，考查了學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題.2、B【解析】

先利用，構(gòu)造新數(shù)列，求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)公式的特點(diǎn)求解最小值.【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)樗裕?，以上各式相乘可得，所以，由于有最小值，所以的最小值?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，利用累乘法求出通項(xiàng)公式是求解本題的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).3、D【解析】

由奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，根據(jù)的圖象和的定義域便可判斷出錯(cuò)誤，而由的單調(diào)性便可判斷選項(xiàng)錯(cuò)誤，從而得出正確．【詳解】選項(xiàng)：根據(jù)的圖象知該函數(shù)非奇非偶，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：的定義域?yàn)?，知該函?shù)非奇非偶，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：時(shí)，為增函數(shù)，不符合題意，可知錯(cuò)誤；選項(xiàng)：，可知函數(shù)為偶函數(shù)，根據(jù)其圖象可看出該函數(shù)在上單調(diào)遞減，可知正確.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)和偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，函數(shù)單調(diào)性的問題，屬于基礎(chǔ)題．4、A【解析】

本題首先要對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行化簡，再通過α-β的最小值是π2推出函數(shù)的最小正周期，然后得出ω【詳解】fx==3sin=2sin再由fα=2，fβ=0，α-β的最小值是fx=2sinx+x∈2kπ-2π3【點(diǎn)睛】本題需要對(duì)三角函數(shù)公式的運(yùn)用十分熟練并且能夠通過函數(shù)圖像的特征來求出周期以及增區(qū)間．5、C【解析】

根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，可得，然后利用復(fù)數(shù)的乘法、除法法則，可得結(jié)果.【詳解】，，，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，注意細(xì)節(jié)，細(xì)心計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】

由古典概型及其概率計(jì)算公式得：有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是，得解．【詳解】由已知有分別從，兩個(gè)縣的15人中各選1人，已知有人表現(xiàn)突出，則共有種不同的選法，又已知有人表現(xiàn)突出，且縣選取的人表現(xiàn)不突出，則共有種不同的選法，已知有人表現(xiàn)突出，則縣選取的人表現(xiàn)不突出的概率是.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查條件概率的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意與古典概率模型的聯(lián)系.7、B【解析】

求導(dǎo)后代入即可得出答案?！驹斀狻抗蔬xB【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)求切線斜率。屬于基礎(chǔ)題。8、A【解析】分析：先根據(jù)賦值法得各項(xiàng)系數(shù)之和，再根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)得，最后根據(jù)解出詳解：因?yàn)楦黜?xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為,因?yàn)?，所?選A.點(diǎn)睛：“賦值法”普遍適用于恒等式，是一種重要的方法，對(duì)形如的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，常用賦值法，只需令即可；對(duì)形如的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令即可.9、D【解析】

把化成,利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得再利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最后根據(jù)的單調(diào)性可得的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)榍?故,又在上為增函數(shù),所以即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的大小比較,可通過尋找合適的單調(diào)函數(shù)來構(gòu)建大小關(guān)系,如果底數(shù)不統(tǒng)一,可以利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)統(tǒng)一底數(shù),不同類型的數(shù)比較大小,應(yīng)找一個(gè)中間數(shù),通過它實(shí)現(xiàn)大小關(guān)系的傳遞,難度較易.10、A【解析】

把已知等式變形，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【詳解】解：由，得．∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．11、B【解析】

每個(gè)實(shí)驗(yàn)室人數(shù)分配有三種情況，即①1，2，4；②1，3，3；③2，2，3；針對(duì)三種情況進(jìn)行計(jì)算組合即可【詳解】每個(gè)實(shí)驗(yàn)室人數(shù)分配有三種情況，即1，2，4；1，3，3；2，2，3.當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為1，2，4時(shí)，分配方案有種；當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為1，3，3時(shí)，分配方案有種；當(dāng)實(shí)驗(yàn)室的人數(shù)為2，2，3時(shí)，分配方案有種.故不同的分配方案有455種.選B.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的問題，解題注意先分類即可，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】解：由題意結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式有：，解得：，數(shù)列的前13項(xiàng)和：.本題選擇B選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①【解析】構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)。因，故，即，所以命題①正確；因，故，即，則命題②不正確；又因?yàn)椋瑒t，即，則命題③不正確；又因?yàn)?，則，即，則命題④不正確。應(yīng)填答案①。點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵和難點(diǎn)是構(gòu)造函數(shù)，這是解答本題的突破口和瓶頸。只要能構(gòu)造出函數(shù)的解析式為，然后運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，借助導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系就分別驗(yàn)證四個(gè)答案即可巧妙獲解。14、1【解析】分析：求出二階導(dǎo)數(shù)，再求出的拐點(diǎn)，即對(duì)稱點(diǎn)，利用對(duì)稱性可求值．詳解：，，由得，，即的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，∴，∴．故答案為1．點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，考查新定義，解題關(guān)鍵是正確理解新概念，轉(zhuǎn)化新定義．通過求出的拐點(diǎn)，得出對(duì)稱中心，從而利用配對(duì)法求得函數(shù)值的和．15、③【解析】

要判斷各項(xiàng)中對(duì)隨機(jī)變量描述的正誤，需要牢記隨機(jī)變量的定義.【詳解】引入隨機(jī)變量,使我們可以研究一個(gè)隨機(jī)實(shí)驗(yàn)中的所有可能結(jié)果，所以隨機(jī)變量的取值是實(shí)數(shù)，故③正確.【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)變量的相關(guān)定義，難度不大.16、1【解析】

設(shè)，可得，解得，即可得出．【詳解】設(shè)，則，解得．

．

令，解得．

故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義、方程的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于容易題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】分析：（1）分類討論，轉(zhuǎn)化為三個(gè)不等式組，即可求解不等式的解集；（2）由題意，令，則不等式恒成立，即為，分類討論即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍．詳解：（1）原不等式化為：①或②或③．解得或或．∴原不等式的解集為（2）令，則只須即可．①當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）；②當(dāng)時(shí)，（時(shí)取等）．∴．點(diǎn)睛：本題主要考查了絕對(duì)值不等式的求解及其應(yīng)用，其中合理分類討論，轉(zhuǎn)化為等價(jià)不等式組進(jìn)行求解是解答絕對(duì)值問題的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．18、（1），函數(shù)在單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增（2），此時(shí)；，此時(shí)【解析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．【詳解】解：（1）由條件得，又在處取到極值，故，解得.此時(shí)由，解得或，由，解得，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故，此時(shí)；此時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19、（1）；（2）；（3）.【解析】分析：（1）根據(jù)條件得到概率為；（2）由平均數(shù)的概念得到數(shù)值；（3）結(jié)合第二問得到的均值，以條件中所給的得到，S=4.73，由得到結(jié)果.詳解：（1）根據(jù)頻數(shù)分布表可知，產(chǎn)品尺寸落在內(nèi)的概率.（2）樣本平均數(shù).（3）依題意.而，，則....即為所求.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了平均數(shù)的計(jì)算，概率的理解，以及正態(tài)分布的應(yīng)用，正態(tài)分布是一種較為理想的分布狀態(tài)，常見的概率.20、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）由題意可得，原問題等價(jià)于恒成立，討論函數(shù)的性質(zhì)可得實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）原問題等價(jià)于，繼而證明函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增即可.試題解析：（1），當(dāng)時(shí)，在上恒成立，函數(shù)在單調(diào)遞減，∴在上沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上有一個(gè)極值點(diǎn)．（2）∵函數(shù)在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調(diào)遞增，又∵，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增．∴，即，∴在上單調(diào)遞增，即，∴當(dāng)時(shí)，有．點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).【解析】試題分析：（I）求得f’(x)=[-x2+2(a-1）x+2a]ex，取得-x2+2(a-1)x+2a=0的根，即可得到數(shù)列