第二型曲面積分

第二型曲面積分第1頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、曲面的側(cè)

設(shè)連通曲面

S上到處都有連續(xù)變動(dòng)的切平面

(

或法線

),曲面在其上每一點(diǎn)處的法線有兩個(gè)方向：當(dāng)取定其中一個(gè)指向?yàn)檎较驎r(shí),另一個(gè)指向就是負(fù)方向.又設(shè)為

S上任一點(diǎn),L為S上任一經(jīng)過(guò)點(diǎn)且不超出S邊界的閉曲線.當(dāng)

S上的動(dòng)點(diǎn)

M從出發(fā)沿

L連續(xù)移動(dòng)一周而回到時(shí),如果有如下特征:出發(fā)時(shí)

M與取相同的法線方向,而回來(lái)時(shí)仍保持原來(lái)的法線方向不變,則稱該曲面

S是雙側(cè)的.第2頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三否則,若由某一點(diǎn)出發(fā),沿

S上某一封閉曲線回到時(shí),其法線方向與出發(fā)時(shí)的方向相反,則稱S是單側(cè)曲面.我們通常遇到的曲面大多是雙側(cè)曲面.單側(cè)曲面的一個(gè)典型例子是默比烏斯(Mobius)帶.它的構(gòu)造方法如下:取一矩形長(zhǎng)紙條ABCD(如圖22-4(a)),將其一端扭轉(zhuǎn)后與另一端粘合在一起

(

即讓

A

與

C

重合,B

與

D

重合,如圖22-4(b)所示

).第3頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三默比烏斯(M?bius,A.F.1790-1868,德國(guó))第4頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三通常由所表示的曲面都是雙側(cè)曲面,其法

線方向與

z軸正向的夾角成銳角的一側(cè)稱為上側(cè),

另一側(cè)稱為下側(cè).當(dāng)

S為封閉曲面時(shí),法線方向朝外的一側(cè)稱為外側(cè)，另一側(cè)稱為內(nèi)側(cè).

習(xí)慣上把上側(cè)

作為正側(cè),下側(cè)作為負(fù)側(cè);又把封閉曲面的外側(cè)作為正側(cè),內(nèi)側(cè)作為負(fù)側(cè).第5頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二．第二型曲面積分的概念先考察一個(gè)計(jì)算流量的問(wèn)題.設(shè)某流體以流速?gòu)那?/p>

S的負(fù)側(cè)流向正側(cè)

(圖22-5),其中P,Q,R為所討論范圍上的連續(xù)函數(shù),求在單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面S的總流量E.設(shè)在S上任一點(diǎn)處的正向單位法向量為第6頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這里

,,

都是

x,y,z的函數(shù).則單位時(shí)間內(nèi)流經(jīng)小曲面塊的流量其中是任意取定的一點(diǎn);

是點(diǎn)處的單位法向量;分別是在坐標(biāo)面第7頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三于是單位時(shí)間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正所以,單位時(shí)間內(nèi)由的負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量這種與曲面的側(cè)有關(guān)的和式極限就是所要討論的第

側(cè)的流量也就近似等于上投影區(qū)域的近似面積,分別記作第8頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的投影區(qū)域的面積,它們的符號(hào)由的方向來(lái)確定:

分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上二型曲面積分.定義1設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對(duì)S作分割T,它把S分為分割T的細(xì)度為第9頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若第10頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無(wú)關(guān),則稱此極限I為向量函數(shù)中的三個(gè)極限都存在,且與分割

T和點(diǎn)

的第11頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為則按指定方向穿過(guò)曲面的磁通量(磁力線總數(shù))為第12頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三若以表示曲面S的另一側(cè),由定義易知第二型曲面積分有類似于第二型曲線積分的性質(zhì):1.若存在,

則有第13頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中2.若曲面S是由兩兩無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的曲面所組成,則有第14頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三．第二型曲面積分的計(jì)算定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面

上的連續(xù)函數(shù),以S的上側(cè)為正側(cè)(這時(shí)的法線方

向與軸正向成銳角),則有證由第二型曲面積分的定義,第15頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三由于R在S上連續(xù),上連續(xù)(曲面光滑),據(jù)在復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,上也連續(xù).由二重積分的定義,這里第16頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三所以這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

類似地,當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時(shí),有第17頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一側(cè)為正側(cè).側(cè)為正側(cè).當(dāng)

在光滑曲面上連續(xù)時(shí),有這里S是取法線方向與軸的正向成銳角的那一

第18頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1計(jì)算其中是球面的外側(cè)（圖22-6）.解曲面S在第一、五卦限部分的方程分別為部分并取球面在第19頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三它們?cè)谄矫嫔系耐队皡^(qū)域都是單位圓在第一象限

部分.因積分是沿的下側(cè)進(jìn)行,故

第20頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中例2計(jì)算是由曲面所圍立體表面的外側(cè).解曲面其中其投影為第21頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其投影為其投影為第22頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此第23頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三如果光滑曲面S由參量方程給出:

若在D上各點(diǎn)它們的函數(shù)行列式不同時(shí)為零,則分別有第24頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三注(5),(6),(7)三式前的正負(fù)號(hào)分別對(duì)應(yīng)S的兩個(gè)側(cè),所選定的正

特別當(dāng)平面的正方向?qū)?yīng)于曲面向一側(cè)時(shí),式前取正號(hào),否則取負(fù)號(hào).其中S為橢球面例3計(jì)算第25頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三的上半部分,并取外側(cè).由(5)式有解把曲面表示為參量方程:第26頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中積分是在S的正側(cè)進(jìn)行.由上述的注,(8)式右端取正

號(hào),即第27頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三五、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當(dāng)曲面的側(cè)確定之后，可以建立兩種類型曲面積分的聯(lián)系.設(shè)S為光滑曲面,并以上側(cè)為正側(cè),R為S上的連續(xù)

函數(shù),曲面積分在

S

的正側(cè)進(jìn)行.因而有由曲面面積公式（第二十一章§6）,第28頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三其中

是曲面的法線方向與z軸正向的交角,它

是定義在上的函數(shù).因?yàn)榉e分沿曲面正側(cè)進(jìn)行,

所以是銳角.又由S是光滑的,所以使這點(diǎn)的法線方向與z軸正向的夾角滿足等式

上連續(xù).應(yīng)用中值定理,在內(nèi)必存在一點(diǎn),

第29頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三或與z軸正向夾角的余弦,則由的連續(xù)性,可推于是現(xiàn)以的法線方向時(shí),(10)式右端極限存在.因此由(9)式得當(dāng)?shù)玫降?0頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三這里注意當(dāng)改變曲面的側(cè)向時(shí),左邊積分改變符號(hào);右邊積分中角改為.因而也改變符號(hào),

其中

,

分別是S上的法線方向與x軸正向和與y

所以右邊積分也相應(yīng)改變了符號(hào).同理可證:第31頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三軸正向的夾角.一般地有這樣,在確定了余弦函數(shù)之后,由

(11),(12),(13),(14)式便建立了兩種不同類型曲面積分的聯(lián)系.注當(dāng)曲面由表示,且取上側(cè)第32頁(yè)，共35頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因此上式避免了同一曲面要向三坐標(biāo)平面作投影,從而使計(jì)算得到簡(jiǎn)化.